張贊

［摘 ?要］ “角的存在性問題”是近幾年中考考查的熱點和難點，對學生的邏輯思維能力和建模思想等基本數(shù)學素養(yǎng)有著非常高的要求，所以一直困擾著學生. 文章利用一道函數(shù)典型例題的解析，通過一題多解，從多個角度構造數(shù)學解題模型來解決問題，并把這些模型之間的聯(lián)系和區(qū)別加以辨析，培養(yǎng)學生初步建立數(shù)學解題模型的思維方法，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果.

［關鍵詞］ 存在性；一題多解；解題模型

數(shù)學解題模型能讓學生在解題過程中明確解題思路，形成解題直觀策略，更能直接發(fā)現(xiàn)問題和問題之間的本質聯(lián)系. “角的存在性問題”就是一種很常見的數(shù)學解題模型，在近幾年蘇州市的中考中就多次出現(xiàn)了，其主要考查學生對平面幾何核心知識的掌握程度以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題等基本數(shù)學素養(yǎng). 本文通過一道典型的函數(shù)習題的解析，談談對“角的存在性問題”以及數(shù)學解題模型的初步認識.

以一道45°角為例的“角的存在性問題”為背景

例題 如圖1所示，已知拋物線y= -x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，且經過點C（0，2），D

3，

，點P是直線CD上方拋物線上一動點，當∠PCD=45°時，求P點的坐標.

模型1 45°角→構造出等腰直角三角形→構造出“一線三直角”（即與“K”字形相似）.

解析1 設參數(shù)坐標求解.

易求拋物線的解析式為y=-x2+x+2，直線CD的解析式為y=x+2. 如圖2所示，過點P作PC、y軸的垂線，與y軸相交于點M，與直線CD相交于點G，過G點作y軸的平行線，交PM于點N，則△PCG為等腰直角三角形，△PCM ≌△GPN. 因為P點在拋物線上，設P點的坐標為t，-t2

+t+2，則PM=GN=t，MC=PN=OM-OC=-t2+t，所以MN=-t2+t，所以G點的坐標為-t2

+t，-t2

+t+2；因為G點在直線CD：y=x+2上，將G點的坐標代入直線解析式，解得t=0（舍去），t=，因此P點的坐標為

，.

解析2 利用已知點的坐標求解.

如圖3所示，過點D作DQ⊥CD，交CP的延長線于點Q，過點D作平行于y軸的直線，并分別過點C，Q向該直線作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則△CDQ為等腰直角三角形，△CED ≌△DFQ，從而DF=CE=3，QF=DE=.

利用C，Q兩點可以求出直線CP的解析式為y=3x+2，與拋物線聯(lián)立得y=3x+2，

y=-x2

+x+2，解得x=0，

y=2（舍去）或x=

，

y=.因此P點的坐標為

，.

反思 （1）解析1與解析2的策略是一樣的，區(qū)別在于把P，D哪一點作為直角頂點構造“一線三直角”. 在計算上，解析1更突出“設參數(shù)坐標求解”的思路，這是函數(shù)綜合題的常用方法，也是初高中數(shù)學銜接中“圖像設點”的一種重要手段. 解析2更突出“利用圖形中的已知點求解”的思路，更強調圖形本身的特點，計算上較解析1簡單.

（2）理論上，在直線CD上任取一個已知點，將它作為等腰直角三角形的直角頂點，都可以順利求解，如圖4所示，可以自行探究.

模型2 一個45°角→補出兩個45°角→構造出“一線三等角”.

解析3 如圖5所示，過點P，D向y軸作垂線，補出兩個45°角，構造出“一線三等角”結構，即△PCE∽△CDF，則=，即PE·DF=CE·CF.

由題意可設Pt，-t2

+t+2，易得PE=t，DF=3，CE=-t2+t+2+t-2=-t2+t，CF=2-

-3=，因此t·3=-t2

+t，解得t=0（舍去），t=. 故P點的坐標為

，.

反思 （1）由于本題數(shù)據的特殊性，最后我們可以發(fā)現(xiàn)，點P，D的縱坐標相等，所以過點P，D作y軸的垂線，垂足是重合的，即為圖5中的G點，其實是否巧合，對于解題并沒有影響.

（2）所謂的“一線”對“位置”上并沒有很大的要求，可以作成“水平線”，“也可以作成“斜線”，一般選擇現(xiàn)有的“一線”比較合適.

模型3 一個45°角→再補一個45°角→構造出“母子型相似”.

解析4 如圖6所示，過點D作y軸的平行線交CP的延長線于點Q，交x軸于點G，再作CE⊥QG于E，構造出等腰直角三角形CEF，則∠F=45°，EF=CE=3，DE=.

由∠PCD=45°，可得△QCD∽△QFC，所以QC2=QD·QF. 設QD=t，則QC2=QE2+CE2=

t+2+9，故

t+2+9=t·

t+，解得t=. 故點Q的坐標為（3，11）.

利用C，Q兩點的坐標求出直線CP的解析式為y=3x+2，與拋物線聯(lián)立得y=3x+2，

y=-x2

+x+2，解得x=0，

y=2（舍去）或x=

，

y=.因此P點的坐標為

，.

反思 “母子型相似”與“一線三等角”是非常重要的基本相似形，上述解法都是將其視為基本的“工具”，結合這些基本圖形的結構特征，補上所缺的元素，巧妙構造，順利完成求解.

模型4 45°角→構造出正方形的“半角模型”.

解析5 如圖7所示，作正方形CEFG，使CG邊在y軸上，且邊EF過點D，直線CP與FG相交于點Q.

設QG=x，由∠PCD=45°，結合正方形中的“半角模型”，可得QD=QG+DE=x+；最后鎖定Rt△QDF，由勾股定理得（3-x）2+

2=

x+2，解得x=1. 故Q點坐標為（1，5）. 下略.

反思 正方形的“半角模型”由于其得到的結論非常多，因此其應用非常廣泛. 在本題中巧妙地構造出正方形的“半角模型”，通過求出Q點的坐標順利完成求解.

“角的存在性問題”的方法總結

通過對這道典型的函數(shù)例題的辨析，我們大致可以把“角的存在性問題”的模型細分為以下幾種具體的子模型：（1）構造“一線三等角”（含“一線三直角”，即“K”字形）；（2）利用已知角構造“母子型相似”；（3）構造“整體旋轉”轉化為矩形或正方形模型.

這道例題是以45°角為例的，如果換成30°等其他特殊角甚至非特殊角，以上幾種解題模型均能使用. 對于“角”，經常會利用正切轉化為“邊”進行處理，再結合更常見的“橫平豎直”的輔助線，以達到“改斜歸正”“化斜為直”的效果，從而將“角的存在性問題”順利解決.

對中考復習中解題模型的進一步思考

數(shù)學解題模型是對新課標、教材、學材中的各個知識點的進一步拓展延伸或另一個維度的直觀表達，具體說就是一種能有效解決某些類型問題的方法和思路. 審題時能快速識別模型并正確使用模型，能把試題中出現(xiàn)的復雜的幾何圖形分解成平時所熟悉的基本圖形，能辨析復雜的模型又是由哪些幾何基本模型融合而成的……要讓學生做到以上幾點，需要教師如何在平時的教學過程中培養(yǎng)學生的這種綜合應用能力呢？

現(xiàn)以“角的存在性問題”模型中的“一線三等角”這個子模型為例. 蘇科版數(shù)學八年級上冊第1章“全等三角形”復習鞏固第5題中，以及“圖形的相似”“中心對稱圖形”等章節(jié)的習題中多次出現(xiàn) 了“一線三等角”這一基本模型. 中考的很多試題都是在教材“一線三等角”這一基本模型的基礎上進行延伸和改編而成的，因為中考試題的命制首先是源于教材的，但最終又高于教材. 類似這樣的線、角模型還有許多.這就啟示教師在平時的教學中應充分利用教材中的資源，深度研究教材的例題、習題和教學建議. 在學生已經掌握了教材中的基礎知識、基本技能和基本方法的基礎上，教師要對教材中的例題、習題進一步進行分析、歸納、總結，從不同的角度嘗試解決問題，從而引導學生歸納、總結出不同的解題模型；要對教材中原有的例題、習題進行改編、演變、拓展，可以改變條件或結論或讓條件從原來的靜態(tài)變成動態(tài)，改變成一個新的題型考查學生的審題能力、發(fā)散性思維能力、逆向思維能力和靈活應變能力. 從變化的問題中發(fā)現(xiàn)不變的模型的本質，從不變的模型的本質中探索模型的規(guī)律，讓學生在例題、習題的變式訓練中潛移默化地學會發(fā)現(xiàn)和提出問題，進而分析問題并順利解決問題.

結束語

中考數(shù)學試題的命制基本上都體現(xiàn)了在新課標要求下的教學導向，而回歸教材、充分發(fā)掘教材是中考試題命制常見的思路. 因此，教師在平時的中考復習過程中，要引導和幫助學生總結和提煉出一些常見的幾何基本模型，在解題教學中要善于抓住問題的本質，引導學生充分利用基本模型分析問題，讓學生在分析問題、解決問題的過程中充分體會基本模型中所蘊含的數(shù)學結論和數(shù)學思想方法. 當然，還要倡導問題解法的多樣化，倡導一題多解，發(fā)展學生的審題能力，開闊學生的解題思路，發(fā)散學生的思維，使學生學會從多方面、多角度去分析問題、解決問題，既“心中要有模型”，又“不拘泥于模型”，這對發(fā)展學生的數(shù)學思維能力、拓寬解題思路、提升學生的數(shù)學素養(yǎng)具有重要的現(xiàn)實意義.