黃文趁

［摘 ?要］ 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，不僅要求學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要求學(xué)生具備較強(qiáng)邏輯思維和直觀想象能力. 在中考試卷中，動(dòng)態(tài)幾何試題常常以壓軸題形式出現(xiàn)，這要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)綜合能力. 初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，值得初中數(shù)學(xué)教師深入研究.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)；動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生普遍反映動(dòng)態(tài)幾何知識(shí)很難，部分學(xué)生還存在著抗拒心理，不愿意積極學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，究其原因在于對(duì)該部分知識(shí)的認(rèn)識(shí)不到位，不能準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)知識(shí)體系. 結(jié)合近幾年中考數(shù)學(xué)試卷來(lái)看，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查的知識(shí)點(diǎn)在不斷變化，如何結(jié)合核心素養(yǎng)理念提升學(xué)生初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何解題能力成為教師數(shù)學(xué)課堂關(guān)注的焦點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)予以足夠重視.

幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題解答中常見(jiàn)的問(wèn)題

一般來(lái)說(shuō)，初中學(xué)生在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題解答中常會(huì)遇到以下問(wèn)題：（1）不重視歸納總結(jié)，試題練習(xí)完后忽視了總結(jié)歸納，容易出現(xiàn)丟分現(xiàn)象，失去了學(xué)習(xí)信心；（2）閱讀能力較弱，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的題干信息量豐富，很多人內(nèi)心具有恐懼心理，考試中缺乏足夠的耐心閱讀題干材料，導(dǎo)致解題失?。唬?）未能把握問(wèn)題本質(zhì)，忽視了試題背后的數(shù)學(xué)思維，教師也未能培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，思維方式僵硬死板，不利于解答數(shù)學(xué)問(wèn)題；（4）忽視了輔助線(xiàn)的作用，而解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)輔助線(xiàn)至關(guān)重要，關(guān)乎到學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，但大多數(shù)學(xué)生不能快速、準(zhǔn)確地畫(huà)出輔助線(xiàn)，導(dǎo)致解題時(shí)間較長(zhǎng)；（5）數(shù)形結(jié)合應(yīng)用對(duì)動(dòng)態(tài)幾何解題過(guò)程至關(guān)重要，能幫助學(xué)生把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，但很多學(xué)生在解題時(shí)忽視了數(shù)形結(jié)合思想的作用，解題步驟煩瑣.

核心素養(yǎng)理念下初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題教學(xué)策略

1. 注重知識(shí)分類(lèi)

近些年來(lái)，初中數(shù)學(xué)試卷越來(lái)越重視考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，統(tǒng)計(jì)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題會(huì)發(fā)現(xiàn)，該類(lèi)試卷大多數(shù)以函數(shù)為背景來(lái)探究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中的變化規(guī)律. 每次考試后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，尋找和發(fā)現(xiàn)試題解法，找到普遍性解題方法. 很多學(xué)生心中認(rèn)為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題并沒(méi)有解決的通用方法. 實(shí)際上，通過(guò)總結(jié)能夠發(fā)現(xiàn)試題類(lèi)型，根據(jù)類(lèi)型可以選擇合適的解題方法和思路.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題一般分為兩類(lèi)試題：（1）點(diǎn)動(dòng)型動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，即圖形中的一點(diǎn)在線(xiàn)段、射線(xiàn)或直線(xiàn)上做某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)，探究該點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系或幾何圖形變化規(guī)律. 實(shí)際解題中，點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題又分為單點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題和雙點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題，判斷出點(diǎn)動(dòng)型后結(jié)合函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解能夠簡(jiǎn)化求解思路，找到正確的解答方式. （2）線(xiàn)動(dòng)型動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，即直線(xiàn)、線(xiàn)段在平面直角坐標(biāo)系或其他幾何圖形中做運(yùn)動(dòng)，需要結(jié)合圖形性質(zhì)尋找思路求解問(wèn)題. （3）圖形動(dòng)問(wèn)題，即學(xué)過(guò)的三角形、四邊形或圓形等基本幾何圖形進(jìn)行整體平移、翻折等運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)長(zhǎng)度、面積等變化，進(jìn)而探究變化規(guī)律，找到問(wèn)題的求解方法.

2. 認(rèn)真審好題目

在數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中，受限于時(shí)間和解題習(xí)慣，很多學(xué)生花費(fèi)很少時(shí)間來(lái)審題導(dǎo)致找不到題干中的關(guān)鍵信息. 數(shù)學(xué)教師講課時(shí)要重視培養(yǎng)學(xué)生良好的讀題和審題的習(xí)慣，厘清題干信息中的圖形關(guān)系，必要時(shí)分解題目找到其中的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系，從而把抽象表述變得具體化. 俗話(huà)說(shuō)，“磨刀不誤砍柴工”，初中生在解答動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)要重視審題過(guò)程，找到關(guān)鍵信息之間的聯(lián)系，為正確解答問(wèn)題做好鋪墊.

例如，在直角三角形ABC中，斜邊AB=5，直邊BC=4，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng). 令CD=x，AD=y，試構(gòu)建起y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式. 在試題分析中，學(xué)生首先畫(huà)出圖形，發(fā)現(xiàn)這是一道典型的動(dòng)態(tài)幾何（單點(diǎn)動(dòng)）與函數(shù)知識(shí)相結(jié)合的問(wèn)題. 材料顯示△ABC為直角三角形，AB為斜邊，動(dòng)點(diǎn)D在直邊BC上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)AB，BC的值求出AC的值，借助勾股定理實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題向函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化. 在△ACD中，可知AC=3，CD=x，AD=y，根據(jù)勾股定理得y=，x的取值范圍為［0，4］. 畫(huà)出圖形、解析題干信息后，學(xué)生找了到函數(shù)關(guān)系，列出公式即可求解.

3. 把握問(wèn)題本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大多數(shù)學(xué)生解題后并不思考是如何解答的，做完后就把問(wèn)題放下不管，這是一種錯(cuò)誤的做法. 在問(wèn)題求解中，學(xué)生要找到問(wèn)題的關(guān)鍵所在，發(fā)現(xiàn)題干信息中的關(guān)鍵點(diǎn)，把握問(wèn)題本質(zhì)，找到正確思路有效求解問(wèn)題. 另外，數(shù)學(xué)問(wèn)題分析和求解中要關(guān)注題干背后隱藏的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，抓住關(guān)鍵信息進(jìn)行求解，提升解題的正確率.

例如，如圖1所示，已知直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）過(guò)點(diǎn)F（0，1），與拋物線(xiàn)y=x2相交于B，C兩點(diǎn). （1）當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求直線(xiàn)BC的解析式；（2）在第（1）問(wèn)的條件下，點(diǎn)M是直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)D，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M，D，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單，學(xué)生只需要根據(jù)待定系數(shù)法求解即可. 對(duì)第（2）問(wèn)求解，需要根據(jù)方程思想列出公式，即設(shè)M，D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)M，D，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形得到MD=FO，由此求出M點(diǎn)的坐標(biāo). 本題求解中，要抓住題干中的本質(zhì)內(nèi)容即MDOF為平行四邊形求解.

4. 掌握解題規(guī)律

解題規(guī)律對(duì)學(xué)生來(lái)講至關(guān)重要. 解題規(guī)律針對(duì)著命題規(guī)律，針對(duì)著某類(lèi)題型隱藏背后的規(guī)律，因此只有掌握好解題規(guī)律才能擺脫對(duì)“題海戰(zhàn)術(shù)”的依賴(lài)，學(xué)習(xí)效率才能更高、效果更好. 掌握解題規(guī)律一方面要在課后總結(jié)好解題方法，另一方面要進(jìn)行適度練習(xí). 練習(xí)中難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)題，應(yīng)結(jié)合錯(cuò)題找到錯(cuò)誤原因、梳理出解題方法——題錯(cuò)了，說(shuō)明有的知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有掌握好，是計(jì)算過(guò)程出現(xiàn)了錯(cuò)誤，還是審題出現(xiàn)了錯(cuò)誤，或解題思路不對(duì)？從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)遇到的問(wèn)題找到解決方法.

以函數(shù)動(dòng)點(diǎn)求三角形的面積為例，本類(lèi)問(wèn)題往往是尋找函數(shù)動(dòng)點(diǎn)求其與兩定點(diǎn)圍成的三角形面積的最大值或定值. 在圍成的三角形中，若一邊固定，求其面積往往就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離. 例如，已知拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)P、與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)M. （1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)D，使得△BCD的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和△BCD面積的最大值.

第（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單，利用A，B點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出拋物線(xiàn)的解析式. 針對(duì)第（2）問(wèn)，如圖2所示，過(guò)D點(diǎn)作DH⊥x軸，則△BCD的面積為S=S+S-S，通過(guò)面積轉(zhuǎn)化求出D點(diǎn)的坐標(biāo)和△BCD面積的最大值. 本題考查了二次函數(shù)、梯形、三角形等多種知識(shí)點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作輔助線(xiàn)的方法具有普遍意義，學(xué)生練習(xí)后要總結(jié)出普遍的解題規(guī)律.

5. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

初中數(shù)學(xué)相對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)，知識(shí)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法都有所增加，特別是數(shù)形結(jié)合思想方法，初中的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題更是離不開(kāi)應(yīng)用. 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，幫助他們遇到動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)能夠立刻想起數(shù)形結(jié)合思想方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法指導(dǎo)學(xué)生走出學(xué)習(xí)誤區(qū)，利用數(shù)形結(jié)合思想方法提升初中生做題的速度，強(qiáng)化解題正確率，提升個(gè)體應(yīng)用水平.

在一次課堂練習(xí)中，有這樣一道試題：已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點(diǎn). （1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）在y軸上是否存在著點(diǎn)M，使△ACM為等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由. 經(jīng)過(guò)分析，該試題是一道關(guān)于二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生把A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)很容易求出其解析式. 求解第（2）問(wèn)時(shí)，很多學(xué)生缺乏解題思路，面對(duì)這一情況，教師需要幫助學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想方法討論△ACM為等腰三角形時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)，即討論AC為腰或底時(shí)，是否能夠建立起關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程. 在數(shù)形結(jié)合思想方法的引導(dǎo)下，學(xué)生從中能夠找到解題的關(guān)鍵所在. 數(shù)形結(jié)合思想方法在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)至關(guān)重要，教師要予以正確引導(dǎo)，明晰求解思路，為正確作答做好準(zhǔn)備.

總之，初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題作為近些年考試的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師要從上述幾個(gè)方面幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，結(jié)合常見(jiàn)問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，提升動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題課堂教學(xué)效果.