張鵬

［摘 ?要］ 文章以“無理數(shù)”教學(xué)為例，立足概念的建構(gòu)過程，在引導(dǎo)學(xué)生掌握無理數(shù)概念的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 概念建構(gòu)；核心素養(yǎng)；無理數(shù)

由于七年級(jí)學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備不夠，沒有認(rèn)識(shí)無理數(shù)的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)，因此學(xué)生理解無理數(shù)存在一定的困難. 如何建構(gòu)無理數(shù)概念呢？如何使用有限逼近、合情推理的方法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)無理數(shù)呢？在學(xué)習(xí)無理數(shù)的過程中，如何落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升呢？筆者就本節(jié)課教學(xué)展開討論，與大家分享筆者的教學(xué)實(shí)踐與思考.

教材分析

經(jīng)過前一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解了正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義，構(gòu)建了整數(shù)體系與分?jǐn)?shù)體系，讓數(shù)集體系得到了進(jìn)一步的擴(kuò)充. 本節(jié)課將學(xué)習(xí)兩個(gè)重要的概念——有理數(shù)和無理數(shù)，無理數(shù)是對(duì)數(shù)系的又一次擴(kuò)充. 教材這樣安排教學(xué)內(nèi)容是基于知識(shí)的延續(xù)性，學(xué)生學(xué)完有理數(shù)與無理數(shù)后，可以為后面學(xué)習(xí)數(shù)軸、在數(shù)軸上表示數(shù)、完善數(shù)系都有很大的幫助，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也避免了圓周率π無處安放的尷尬.

本節(jié)課的難點(diǎn)在于無理數(shù)的認(rèn)識(shí). 由于在學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活中，與無理數(shù)相關(guān)的信息實(shí)在太少，僅有的內(nèi)容是圓周長(zhǎng)計(jì)算與圓面積計(jì)算時(shí)接觸的圓周率π. 同時(shí)，對(duì)于研究“無限”，學(xué)生也缺乏經(jīng)驗(yàn)，因此建構(gòu)無理數(shù)的概念具有一定困難. 教材安排了這樣一個(gè)操作活動(dòng)，讓學(xué)生感知無理數(shù)的存在，即用兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，沿對(duì)角線剪開后得到四個(gè)等腰直角三角形，然后拼成一個(gè)大正方形，它的面積是2，求它的邊長(zhǎng)；然后教材運(yùn)用列舉法與逼近法，讓學(xué)生感受大正方形的邊長(zhǎng)無法寫成分?jǐn)?shù)的形式，它的值是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，最后得到無理數(shù)的概念. 為了讓學(xué)生進(jìn)一步感受無理數(shù)的存在與多樣，強(qiáng)化對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解，教材出示了圓周率π，自行構(gòu)造無限不循環(huán)小數(shù).

為了讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，筆者確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）分析前面學(xué)習(xí)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)，猜想是否存在其他的數(shù)，既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)；從有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)的角度猜想是否存在無限不循環(huán)小數(shù). （2）制作面積為2的正方形，體會(huì)它的邊長(zhǎng)不能寫成分?jǐn)?shù)的形式. （3）在分析比較、歸納猜想的過程中，感受有理數(shù)與無理數(shù)的存在，通過無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史故事，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)家探索真理的精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心與熱情.

教學(xué)過程

1. 回顧舊知，引出新知

活動(dòng)1：回顧發(fā)現(xiàn). 從各個(gè)不同的角度寫幾個(gè)具體的整數(shù)與分?jǐn)?shù)，然后解決以下的問題：（1）嘗試把這些數(shù)都寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式，并總結(jié)你的發(fā)現(xiàn). （2）嘗試把這些數(shù)都化成小數(shù)的形式，并總結(jié)你的發(fā)現(xiàn). （3）嘗試把下面的小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)的形式：1.2，-6.8，32.31， 1.3333…，58.6666…. 把你的發(fā)現(xiàn)與同伴交流分享.

設(shè)計(jì)意圖 本活動(dòng)通過三個(gè)問題先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再交流研討，旨在復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的意義，讓學(xué)生充分體會(huì)所有的整數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，整數(shù)與分?jǐn)?shù)都可以化成小數(shù)的形式；反之，不論是有限小數(shù)還是循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式. 在獨(dú)立思考與交流合作中，培養(yǎng)學(xué)生的思考力、合作意識(shí)與語言表達(dá)能力.

2. 精準(zhǔn)建構(gòu)，探索新知

活動(dòng)2：合理猜想. 前面我們學(xué)習(xí)了有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)，請(qǐng)同學(xué)們想一想，除了這兩種小數(shù)外，還會(huì)有什么樣的小數(shù)呢？如果存在，試著寫幾個(gè)出來，與其他同學(xué)交流分享.

設(shè)計(jì)意圖 本活動(dòng)旨在引導(dǎo)學(xué)生觀察有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)的特征，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)無限不循環(huán)小數(shù)；同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生自行構(gòu)造形如3.12112111211112…這樣的無理數(shù)，感受無限不循環(huán)小數(shù)的存在，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).

活動(dòng)3：拼圖討論. 如圖1所示，把兩個(gè)邊長(zhǎng)都是1的正方形，沿它們的對(duì)角線剪開，然后拼成一個(gè)大正方形. 請(qǐng)回答：（1）設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x，那么x是整數(shù)嗎？你的理由是什么？（2）x是分?jǐn)?shù)嗎？說說你的想法. （3）通過上述探究，請(qǐng)估計(jì)x所處的范圍，并說出你的想法，嘗試估計(jì)x的整數(shù)部分、十分位、百分位，等等. （4）請(qǐng)寫出關(guān)于x的一個(gè)特征，在小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中遇到過類似的數(shù)嗎？請(qǐng)介紹一下.

設(shè)計(jì)意圖 本活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，按圖示拼圖，發(fā)現(xiàn)拼成了一個(gè)面積為2的正方形，讓學(xué)生思考：這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少呢？從而開啟學(xué)生發(fā)現(xiàn)此正邊形邊長(zhǎng)的探索之旅. 從直角三角形的斜邊長(zhǎng)可得正方形的邊長(zhǎng)x一定大于1，從三角形“兩邊之和大于第三邊”可得正方形的邊長(zhǎng)x一定小于2；或者根據(jù)12=1，22=4也可得正方形的邊長(zhǎng)x在1與2之間，不是整數(shù). 通過分母分別是2，3，4的分?jǐn)?shù)的平方進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)x也不是分?jǐn)?shù). 然后引導(dǎo)學(xué)生從x的整數(shù)部分、十分位、百分位、千分位等數(shù)位估算x的值. 讓學(xué)生體會(huì)到x不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，而是小數(shù)，且是無限不循環(huán)小數(shù). 在此過程中，讓學(xué)生體會(huì)到無限逼近與合情推理等數(shù)學(xué)思想.

活動(dòng)4：合理分類. 從上面的討論可以看出，小數(shù)可以分為哪三個(gè)類型？前面學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)與整數(shù)可以化為何種小數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖 本活動(dòng)引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)與無理數(shù)的概念，形成數(shù)的分類結(jié)構(gòu)圖. 小數(shù)可以分為有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)，其中有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).

3. 鞏固應(yīng)用，深化理解

活動(dòng)5：歸類與辨析.

（1）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)里：，7，-0.01，-3.2020020002…，-15， 2.95，0，.

整數(shù)集合：｛ ? ?｝；分?jǐn)?shù)集合：｛ ? ?｝；負(fù)有理數(shù)集合：｛ ? ?｝；無理數(shù)集合：｛ ? ?｝.

（2）下列說法正確的是（ ?）

A. 無限小數(shù)都是無理數(shù)

B. 無理數(shù)都是無限小數(shù)

C. 有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)

D. 正數(shù)都是有理數(shù)

4. 課堂小結(jié)，整體建構(gòu)

（1）什么是有理數(shù)？什么是無理數(shù)？本節(jié)課我們研究它們的思路是什么？（2）介紹關(guān)于發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的故事.

教學(xué)后思

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，作為數(shù)學(xué)教師，不能忽視概念的形成過程，要觸及學(xué)生的深度思考，建構(gòu)學(xué)生不易遺忘的數(shù)學(xué)體系.

1. 概念建構(gòu)的立足點(diǎn)

關(guān)于數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，教師應(yīng)關(guān)注概念建構(gòu)的立足點(diǎn)：（1）了解學(xué)生原有的認(rèn)知發(fā)展區(qū)間、找到知識(shí)之間的連結(jié)點(diǎn). （2）探尋學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生“跳一跳就能摘到桃子”. （3）明晰教材的知識(shí)線以及學(xué)生的素養(yǎng)線. 學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了整數(shù)、分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)的互化，這是學(xué)生認(rèn)知的基點(diǎn). 當(dāng)數(shù)系從正到負(fù)擴(kuò)充到有理數(shù)后，自然會(huì)聯(lián)想從有理數(shù)向無理數(shù)的擴(kuò)充，筆者從無限循環(huán)小數(shù)的“循環(huán)”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想“不循環(huán)”，其中的圓周率π就是可借鑒的實(shí)例，促進(jìn)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展［1］.

2. 概念建構(gòu)的載體

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是概念建構(gòu)的有效載體，這需要教師精心設(shè)置問題，讓學(xué)生的思考步步深入，在多視角、多層次、全方位的探索中，使解決問題的策略與路徑得到優(yōu)化，通過反思?xì)w納最終生成概念，進(jìn)而使學(xué)生的思維得到發(fā)展. 本節(jié)課通過前置的三個(gè)問題構(gòu)建了分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，然后通過求異思維猜測(cè)新數(shù)是否存在；接著制作面積為2的正方形，揭示無理數(shù)的本質(zhì)特征——無限不循環(huán)；最后用分類的方法建構(gòu)了有理數(shù)與無理數(shù)的概念.

3. 概念建構(gòu)的原則

概念的建構(gòu)應(yīng)遵循“以生為本”的原則，喚起學(xué)生的主體意識(shí)，創(chuàng)建生成型課堂. 本節(jié)課設(shè)置的數(shù)學(xué)情境立足學(xué)生已有的認(rèn)知水平，在教學(xué)的推進(jìn)過程中，通過設(shè)計(jì)有層次性、引導(dǎo)性的問題，創(chuàng)造自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，在自主探究、合作交流中，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的全員參與，使其感受到了數(shù)學(xué)探究的苦與樂，積累了有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4. 概念建構(gòu)的落腳點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點(diǎn)是傳承數(shù)學(xué)文化、形成核心素養(yǎng). 章建躍教授指出，教師要理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué). 理解數(shù)學(xué)是指挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在價(jià)值與邏輯，關(guān)注數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)世界；理解學(xué)生是指把握學(xué)生的認(rèn)知水平，以學(xué)生可以接受的方式表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容；理解教學(xué)是指掌握數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律，錘煉教學(xué)智慧，形成多樣教學(xué)方法［2］. 本節(jié)課中，筆者基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，立足教材的知識(shí)線以及學(xué)生的素養(yǎng)線，合理安排無理數(shù)概念的構(gòu)建過程，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王華. “兩次倒轉(zhuǎn)”：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)然選擇——以“無理數(shù)”教學(xué)為例［J］. 江蘇教育，2021（45）：34-37.

［2］ 劉洪超，周楊. 歷史視角的“無理數(shù)”概念教學(xué)思考——基于對(duì)無理數(shù)概念教學(xué)淺表化現(xiàn)象的分析［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（01）：27-30.