李建良 林永偉

摘 要：數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中處于核心地位。數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)復(fù)雜的過程，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的過程中，應(yīng)追本溯源，關(guān)注概念的起源，使學(xué)生能形成正確的表象；應(yīng)循序漸進(jìn)，逐漸深入地刻畫概念的內(nèi)涵，使學(xué)生能拾級(jí)而上，直達(dá)本質(zhì)；應(yīng)適當(dāng)關(guān)注概念的外延，使學(xué)生能全面完善地認(rèn)識(shí)概念。

關(guān)鍵詞：《面積》；概念教學(xué)；概念起源；概念發(fā)展

* 本文系浙江省杭州市2021年教師教育科研課題“基于互聯(lián)模型的小學(xué)校本研修的現(xiàn)狀和推進(jìn)研究”（課題編號(hào)：JSJY2021003）成果之一。

李邦河院士曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的?！边@其實(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心地位。數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)漫長的過程，教材中呈現(xiàn)的概念往往經(jīng)過了長期的凝練，因此具有高度的抽象性。這一方面使得數(shù)學(xué)概念能夠直接反映對(duì)象的本質(zhì)，整體呈現(xiàn)出一種簡(jiǎn)潔美，但另一方面，也舍棄了一部分對(duì)概念的刻畫過程，導(dǎo)致學(xué)生無法全面、深刻地理解概念。因此，在教學(xué)過程中，有必要回到概念的原點(diǎn)，抓住其形成的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生充分經(jīng)歷和體驗(yàn)概念的形成過程。筆者從概念起源與發(fā)展的角度出發(fā)，對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《面積》一課中的核心概念“面積”進(jìn)行了教學(xué)嘗試，以期讓學(xué)生達(dá)成深刻理解。

一、利用生活語言描述概念起源

數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，在學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的過程中，相似或相關(guān)的概念之間必然會(huì)相互影響。這些影響有時(shí)會(huì)對(duì)新概念的形成產(chǎn)生積極作用，有時(shí)則會(huì)產(chǎn)生混淆，不利于學(xué)生理解概念本質(zhì)。因此，在學(xué)生初識(shí)概念時(shí)，可以有意識(shí)地從概念起源的角度將其與相關(guān)的概念進(jìn)行比較與區(qū)別，形成概念教學(xué)的首因效應(yīng)。

雖然面積是二維概念，但它與一維的長度概念有著密切聯(lián)系。小學(xué)階段，各版本教材的編排通常也是先教學(xué)長度（包括周長），再教學(xué)面積，學(xué)生難免會(huì)混淆平面圖形周長和面積的概念，但面積的教學(xué)又很難回避長度。因此，教師可以借助情境，帶領(lǐng)學(xué)生回到面積概念的起點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生形成正確的表象，初步體會(huì)面積的含義。本節(jié)課中，筆者以面積概念的起源——土地測(cè)量為素材，把抽象的概念融入生活化的素材中，讓學(xué)生用生活語言描述他們對(duì)面積、長度以及面積與長度的關(guān)系的理解，具體教學(xué)過程如下：

師：同學(xué)們，很早很早以前，人們測(cè)量長度用的不是尺子，你知道用的是什么嗎？

生：用拃，也可以張開手臂（一庹）或者用腳（一步）來測(cè)量。

師：對(duì)了，人們常常用腳步來丈量距離。比如說，從家里出發(fā)到樹林摘果子要走200步，到小河邊捕魚要走150步。后來，人們想要獲取更多的食物，你猜他們會(huì)怎么做？

生：可以種糧食。

師：是的。如果要在一塊長200步、寬150步的地里種糧食，種植糧食的地方大小，與長和寬有關(guān)系嗎？

生：沒有關(guān)系，因?yàn)榍f稼是種在里面的，不是種在長與寬上的。

生：我覺得有關(guān)系，雖然是種在里面，但這塊地的大小是由長200步和寬150步?jīng)Q定的。

師：結(jié)合同學(xué)們的意見，長與寬圍起來的土地大小，可以叫作它的面積。像這樣，物體表面，比如操場(chǎng)、桌面等，或者封閉圖形，比如長方形、三角形等，它們的面的大小，就叫作面積。

退回到概念的原點(diǎn)，以生活經(jīng)驗(yàn)作為學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，用最樸素的語言表達(dá)對(duì)長度和面積及其相互關(guān)系的直觀認(rèn)知，這是一種有別于以往教學(xué)中簡(jiǎn)單堆積實(shí)例的教法。雖然學(xué)生還不能用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確表達(dá)，但從“莊稼是種在里面的，不是種在長與寬上的”“這塊地的大小是由長200步和寬150步?jīng)Q定的”等表述中，我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生其實(shí)能夠模糊地知道面積的概念，并能理解邊長和面積之間存在關(guān)系。當(dāng)然，對(duì)于概念的形成而言，學(xué)生的表述只是表達(dá)了他們的直觀感受，他們對(duì)概念的認(rèn)識(shí)顯然還停留在經(jīng)驗(yàn)層面。因此，要想讓學(xué)生更加深刻地理解概念，還需要對(duì)概念的本質(zhì)做更深入的刻畫。

二、開展多種活動(dòng)刻畫概念本質(zhì)

對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不能停留在表面，想要真正理解和掌握某一數(shù)學(xué)概念，就要準(zhǔn)確把握概念的各個(gè)要素，以及要素之間的聯(lián)系。這就需要基于學(xué)生已有的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)不同層次、不同側(cè)重點(diǎn)的學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在一系列觀察、比較、分析、概括等感知和思維活動(dòng)中，深入挖掘概念的本質(zhì)內(nèi)涵，提煉、總結(jié)出所學(xué)概念的本質(zhì)特征，這是概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

面積概念的形成，既要注重結(jié)果，也要關(guān)注過程。也就是說，我們最終要讓學(xué)生能以恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎窘o定圖形的面積大小，同時(shí)也必須讓他們了解得出這一結(jié)果的過程和方法，并體會(huì)其中蘊(yùn)含著的面積“有限可加性”（所求圖形面積是單位面積的累加）。本節(jié)課中，筆者設(shè)計(jì)了一系列活動(dòng)，將面積的這一屬性多次運(yùn)用到圖形的面積測(cè)量或計(jì)算中，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷概念的發(fā)生與發(fā)展過程，逐步剝離概念的非本質(zhì)屬性，深入挖掘概念本質(zhì)。

（一）活動(dòng)一：感受長度與面積的聯(lián)系

教學(xué)中要充分利用概念之間的聯(lián)系，將學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)化作概念學(xué)習(xí)的助力。教學(xué)“面積”前，學(xué)生已經(jīng)具備了對(duì)長度“有限可加性”的認(rèn)知，這對(duì)面積“有限可加性”的理解具有正遷移作用。筆者設(shè)計(jì)了“比較一條邊長相等的兩個(gè)長方形（正方形）的大小”的活動(dòng)，學(xué)生在解決這一問題時(shí)，只需考慮另一條邊的長度與面積的大小關(guān)系，從中感受面積與邊長的聯(lián)系?；顒?dòng)過程如下：

師：同學(xué)們，老師這里有兩塊地，①號(hào)地是長16步，寬16步的正方形；②號(hào)地是長32步，寬16步的長方形。這兩塊地誰大誰小？

生：把兩塊地疊在一起就可以比了。

生：因?yàn)樗鼈儗捠且粯拥模偬?hào)地長16步，②號(hào)地長32步，所以②號(hào)地更大。

（二）活動(dòng)二：比較長度與面積的區(qū)別

在學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)初步研究概念后，教師需設(shè)法幫助學(xué)生突破原有認(rèn)知的束縛，讓學(xué)生的注意力快速轉(zhuǎn)向探求新概念的本質(zhì)屬性。筆者組織學(xué)生比較長、寬各異的兩個(gè)長方形的面積，學(xué)生無法像之前一樣直接對(duì)比，從而引發(fā)他們對(duì)邊長與面積關(guān)系的思考，催生了尋找、運(yùn)用新的測(cè)量工具或單位的需要?；顒?dòng)過程如下：

師：（出示：③號(hào)地長24步、寬16步，④號(hào)地邊長20步）現(xiàn)在，比一比③號(hào)地和④號(hào)地的邊，能不能直接看出誰大誰??？

生：不能，③號(hào)地的長比④號(hào)地的長要長，但寬比④號(hào)地的短，很難說誰大誰小。

生：可以用一個(gè)小正方形量一量。

師：如果用剛才的①號(hào)地來量，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：（出示圖1）用①號(hào)地量③號(hào)地還剩一點(diǎn)，量④號(hào)地也還剩一點(diǎn)。但是剩下的也看不出誰大誰小。

（三）活動(dòng)三：選擇恰當(dāng)?shù)亩攘繂挝?/p>

學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)有了初步的認(rèn)識(shí)后，教師應(yīng)有意識(shí)地制造認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的意愿。在測(cè)量不同長方形的面積時(shí)，學(xué)生必然會(huì)想到用多種單位面積去測(cè)量，也就必然面臨單位面積的選擇問題。學(xué)生選用不同的單位面積，應(yīng)產(chǎn)生于解決問題的實(shí)際需要。因此，筆者設(shè)計(jì)了測(cè)量長方形面積的活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)“圖形面積是單位面積的累加”這一本質(zhì)的理解和對(duì)單位面積之間的關(guān)系的體會(huì)?；顒?dòng)過程如下：

師：用①號(hào)地來量也依然無法判斷，但你有沒有從中獲得什么啟示？能用什么辦法來對(duì)比③號(hào)地和④號(hào)地的大小呢？

生：用再小一點(diǎn)的正方形，補(bǔ)在旁邊空缺的地方就可以了。

（教師提供邊長8步和邊長4步的小正方形學(xué)具，學(xué)生開展小組合作探究后匯報(bào)。）

生：③號(hào)地我們用邊長8步的正方形來量，一共用了6塊。

生：④號(hào)地我們用邊長8步的正方形量，用了4塊，還有多余，再用邊長4步的正方形來量，用了9塊。

生：我們小組剛才量之前先比了比，發(fā)現(xiàn)4塊小的（邊長4步的正方形）和1塊大的（邊長8步的正方形）一樣。所以④號(hào)地就等于6塊大的加1塊小的，比③號(hào)地多1塊小的。

（教師根據(jù)學(xué)生描述，同步在黑板上拼貼板書，最終形成圖2。）

生：我們是直接用邊長4步的正方形去量④號(hào)地，發(fā)現(xiàn)剛好可以量完，用了25塊。

生：③號(hào)地也可以全部用邊長4步的正方形去量，一共要用24塊，比④號(hào)地少1塊。

教師只有結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，對(duì)概念形成機(jī)制進(jìn)行深入解讀，并準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和認(rèn)知心理，才能引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)、穩(wěn)步扎實(shí)地形成數(shù)學(xué)概念。這一系列活動(dòng)是在教材提供的素材和思路的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步細(xì)化，體現(xiàn)了概念形成和發(fā)展的過程性和層次性。學(xué)生在活動(dòng)中獨(dú)立觀察、交流思考、深入理解，自主發(fā)現(xiàn)了單位面積之間的倍數(shù)關(guān)系，也為后續(xù)學(xué)習(xí)國際標(biāo)準(zhǔn)面積單位之間的進(jìn)率與轉(zhuǎn)換鋪墊。

三、借助實(shí)際問題拓展概念外延

概念的內(nèi)涵比較抽象，學(xué)生認(rèn)識(shí)了概念的內(nèi)涵，并不意味著完全掌握了概念。小學(xué)生傾向于用直觀、具體、形象的表象幫助理解和記憶，并在頭腦中對(duì)這些表象進(jìn)行加工，從而化繁為簡(jiǎn)、加深理解。也就是說，學(xué)生頭腦中積累的正確表象越多，就越容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。因此，要想讓學(xué)生全面認(rèn)識(shí)、深入理解概念，還需要適當(dāng)拓展它的外延。教學(xué)中，除了舉例等直接呈現(xiàn)的形式外，還可以讓學(xué)生運(yùn)用概念解決相關(guān)問題，逐步達(dá)成拓展概念外延的目的。

考慮到數(shù)學(xué)知識(shí)本身的系統(tǒng)性，本節(jié)課有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究并形成對(duì)單位面積的認(rèn)知體系。為此，筆者為學(xué)生提供了若干個(gè)長方形作為被測(cè)量對(duì)象，促使學(xué)生不斷創(chuàng)造新的單位面積，并自主形成單位面積體系。具體教學(xué)過程如下：

師：（出示：⑤號(hào)地長16步、寬14步，⑥號(hào)地長15步、寬14步）這兩塊地還能用邊長8步的正方形來完整地測(cè)量嗎？邊長4步的呢？

生：⑤號(hào)地不能用邊長8步的正方形量，橫著可以放兩個(gè)，豎著放一個(gè)還有剩余；也不能用邊長4步的正方形量，14除以4除不盡。

生：可以用邊長2步的正方形量，一行放8個(gè)，有7行。

生：⑥號(hào)地不能用邊長8步或4步的正方形量，2步的也不行，可以用更小的，比如邊長1步的正方形量。

（課件演示測(cè)量⑤號(hào)地和⑥號(hào)地的過程，如圖3。）

師：剛才同學(xué)們創(chuàng)造了邊長分別為8步、4步、2步、1步的正方形來測(cè)量這些長方形。你喜歡用大的正方形還是小的正方形來量？

生：我喜歡用大的正方形，量起來快。

生：我喜歡用小的，小的可以量各種各樣的長方形。

生：其實(shí)它們各有優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。大的量起來方便，但常常會(huì)有多余；小的可以量各種長方形，但是數(shù)個(gè)數(shù)有點(diǎn)麻煩。

師：你的評(píng)價(jià)非常公正。是的，為了測(cè)量不同的長方形，我們應(yīng)該根據(jù)實(shí)際需要靈活地選擇不同大小的正方形作為測(cè)量單位。

學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步創(chuàng)造新的單位面積，形成了較為完整的單位面積體系，擴(kuò)大了面積和單位面積概念的外延。學(xué)生在評(píng)價(jià)不同單位面積的過程中，進(jìn)一步深化了對(duì)單位面積的價(jià)值的理解，對(duì)面積和面積的測(cè)量有了較為全面的認(rèn)識(shí)。學(xué)生在感受到“面積大小”可以用“正方形的個(gè)數(shù)”來描述時(shí)，自然實(shí)現(xiàn)了對(duì)面積本質(zhì)的高度抽象和概括，建構(gòu)了面積單位的意義，因此，筆者在教學(xué)時(shí)并沒有指出“通常用邊長為1個(gè)單位的正方形作為面積單位”，而是讓學(xué)生“靈活地選擇不同大小的正方形作為測(cè)量單位”。

概念教學(xué)中，要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“直觀描述概念—刻畫概念本質(zhì)—豐富概念外延”的過程。在這些過程中，教師應(yīng)盡可能為學(xué)生創(chuàng)造更多獨(dú)立思考、操作體驗(yàn)、交流互動(dòng)、應(yīng)用拓展的機(jī)會(huì)，為數(shù)學(xué)概念在學(xué)生心中扎根提供肥沃的土壤。

參考文獻(xiàn)：

[1]蕭恩穎.順應(yīng)認(rèn)知規(guī)律 調(diào)整學(xué)習(xí)序列——基于“量感”形成的“面積”單元整體設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)踐思考學(xué)[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（3）.

[2]楊鳳萍.概念在探究中深度建構(gòu)——基于滬教版三上“面積”的教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2021（11）.

（李建良，浙江省杭州市蕭山區(qū)夾灶小學(xué)，郵編：311247；林永偉，副教授，杭州師范大學(xué)繼續(xù)教育中心，郵編：311121）