洪萍

摘要：在雙垂直條件背景下，能通過抽象、概括去認(rèn)識、理解、把握全等三角形的數(shù)學(xué)本質(zhì)，熟悉基本圖形的特征.滲透學(xué)生的核心素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

關(guān)鍵詞：雙垂直;核心素養(yǎng);解題策略

引言：

在全等三角形的問題中，經(jīng)常會添加雙垂直的條件，如何使學(xué)生能更好地理解全等三角形的概念，能通過抽象、概括去認(rèn)識、理解、把握全等三角形的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在本文中對解決此類型的問題，進(jìn)行了解題策略的探究。

一、從圖形與圖形的關(guān)系中抽象出全等三角形的概念，從雙垂直的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)

1.如圖，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE，求證：

（1）△BCD≌△EAB;

（2）DB⊥BE.

解題策略：在證明第（1）題時，結(jié)合圖形，從DC⊥CA，EA⊥CA，的雙垂直條件中，找出∠C=∠A=90°后，應(yīng)用“S.A.S.”證明兩個三角形全等，第（2）題應(yīng)用“全等三角形對應(yīng)角相等”得到∠D=∠ABE，再通過“直角三角形的兩銳角互余”得到∠D+∠CBD=90°，使得∠ABE+∠CBD=90°，就容易推理出DB⊥BE。

本題在雙垂直條件的背景下，尋找證明全等三角形的條件，應(yīng)用全等三角形和直角三角形的性質(zhì)證明線段垂直.幫助學(xué)生理解全等三角形的概念、性質(zhì)，熟悉基本圖形的特征。

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn).學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)，能通過抽象、概括去認(rèn)識、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣。

二、能掌握全等三角形推理的基本形式，能理解雙垂直和全等三角形圖形之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識框架

2.如圖，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分別為B、E，AE、BC相交于點(diǎn)F，且AB=BC，求證：△ABF≌△CBD.解題策略：由雙垂直條件CB⊥AD，AE⊥DC，找出∠ABF=∠CBD=∠AED=90°，可以利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠AFB=∠CDB，或者找到“8字型”的△ABF和△CEF，利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”得到∠A=∠C，再運(yùn)用“A.S.A.”證明△ABF≌△CBD。

本題在雙垂直條件背景中，利用“直角三角形的兩銳角互余”或者“8字型”模型，找出證明全等三角形的條件，使學(xué)生掌握一題多解的證明方法，經(jīng)歷演繹推理的過程。

關(guān)于全等三角形的三個基本事實(shí)，是進(jìn)行演繹推理的重要推理，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，表述論證的過程，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流能力。

三、對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建全等三角形模型解決問題

3.如圖，王強(qiáng)同學(xué)用10快高度都是2㎝的相同長方體彩色小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角尺ABC（AC=BC，∠ACB=90°），點(diǎn)C在地面DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端恰好重合，求兩堵木墻之間的距離DE，并說明理由。

解題策略：在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)，與地面雙垂直的木墻之間的等腰直角三角尺ABC，找出∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠CAD=∠BCE，運(yùn)用“A.A.S.”證明△ACD≌△CBE.應(yīng)用“全等三角形的對應(yīng)邊相等”推理出CD=BE，AD=CE.就容易求出DE長。

本題對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，在雙垂直的背景下，構(gòu)建全等三角形模型解決問題。

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。

四、利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路

4.如圖，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=BD，AC=BE.

（1）求證：∠1=∠C;

（2）猜想BE和AC有何特殊位置關(guān)系，并說明理由.

解題策略：第（1）題AD⊥BC可以得到∠BDE=∠ADC=90°運(yùn)用“H.L.”證明Rt△BDE≌Rt△ADC，應(yīng)用“全等三角形的對應(yīng)角相等”推理出∠1=∠C.第（2）題直觀想象BE⊥AC，做BE的延長線到AC，交AC于點(diǎn)F，應(yīng)用“全等三角形的對應(yīng)角相等”得到∠DBE=∠DAC.找到“8字型”的△BDE和△AEF，利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”得到∠BDE=∠AFE=90°，說明了BE和AC有特殊位置關(guān)系：垂直。

本題在雙垂直條件的背景下，直觀想象BE和AC有特殊位置關(guān)系，運(yùn)用全等三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行邏輯推理，構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)。

五、進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題，通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展

5.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是D、E，AD=3，BE=1，則DE= ? ? ? ? ?。

解題策略：從AD⊥CE，BE⊥CE，可知∠ADC=∠CEB=90°，利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠CAD=∠BCE，運(yùn)用“A.A.S.”證明△ACD≌△CBE.應(yīng)用“全等三角形的對應(yīng)邊相等”推理出AD=CE，CD=BE，就可以計(jì)算出DE長。

本題在雙垂直的條件下，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，通過兩線段差的運(yùn)算，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題;能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣;形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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