朱建明 徐艷

摘要：要加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)，重點(diǎn)是加強(qiáng)代數(shù)命題推理的教學(xué)。為此，需要系統(tǒng)地開發(fā)一些要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)命題推理（證明）的教學(xué)資源（問題情境），并且引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)使用代數(shù)命題推理（證明）的方法程序，規(guī)范表達(dá)代數(shù)命題推理（證明）的過程。

關(guān)鍵詞;初中數(shù)學(xué);代數(shù)命題推理;推理問題;推理方法;推理表達(dá)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理，即數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的推理。②推理通常被分為合情推理（包括歸納推理和類比推理）和演繹推理。課標(biāo)研制（修訂）組組長史寧中教授曾將數(shù)學(xué)的演繹推理大體分為兩個(gè)部分：命題推理和運(yùn)算推理。③運(yùn)算推理具有鮮明的代數(shù)特征，指的是運(yùn)算這種特殊的推理形式。命題推理不具有內(nèi)容特征，實(shí)際上指的是一般的推理形式，也就是從一些命題（事實(shí)）出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題（結(jié)論），因而不僅包括演繹推理，而且包括合情推理。

運(yùn)算是代數(shù)的核心，在代數(shù)教學(xué)中不會被忽視，因此只要改變“重算法，輕算理”的現(xiàn)象，就能加強(qiáng)運(yùn)算推理的教學(xué)。命題在數(shù)學(xué)中普遍存在，相對而言，命題推理在幾何教學(xué)中特別凸顯，導(dǎo)致在代數(shù)教學(xué)中容易被忽視。因此，要加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)，重點(diǎn)是加強(qiáng)代數(shù)命題推理的教學(xué)。為此，需要系統(tǒng)地開發(fā)一些要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)命題推理（證明）的教學(xué)資源（問題情境），并且引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)使用代數(shù)命題推理（證明）的方法程序，規(guī)范表達(dá)代數(shù)命題推理（證明）的過程。下面，以蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊《11.3 不等式的性質(zhì)》一課為例具體說明。

一、系統(tǒng)開發(fā)代數(shù)命題推理（證明）的教學(xué)資源

實(shí)際上，利用代數(shù)命題可以大大豐富推理教學(xué)的載體。但是，就現(xiàn)階段而言，代數(shù)命題推理的教學(xué)資源（問題情境）開發(fā)不夠、體系不全，從源頭上制約了代數(shù)命題推理教學(xué)的深入開展。因此，教師首先要全面梳理代數(shù)命題推理邏輯基礎(chǔ)（包括代數(shù)定義、代數(shù)公式、運(yùn)算法則、運(yùn)算律、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等概念和命題），系統(tǒng)開發(fā)相關(guān)的教學(xué)資源。一方面，參考幾何（命題）推理問題，設(shè)計(jì)要求合情推理和演繹推理、具有“猜想”“證明”“判斷”“糾錯(cuò)”“說理”等多種表現(xiàn)形式的代數(shù)命題推理問題。另一方面，結(jié)合教學(xué)進(jìn)程和進(jìn)度，創(chuàng)設(shè)逐步深入（復(fù)雜）的代數(shù)命題推理問題序列。比如，在一節(jié)課上，創(chuàng)設(shè)從顯性條件到隱性條件、從方向明確（步驟較少）到方向不明確（步驟較多）的代數(shù)命題推理問題序列。再如，從初一到初三，從多創(chuàng)設(shè)要求合情推理的“猜想”類問題，到多創(chuàng)設(shè)基于熟悉而簡單的代數(shù)情境要求演繹推理的“說理”類問題，再到多創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生綜合體會合情推理和演繹推理作用的問題，最后到多創(chuàng)設(shè)幫助學(xué)生掌握多步演繹推理（三段論）基本方法及表達(dá)規(guī)范的“證明”類問題。

在蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中，“不等式的性質(zhì)”是在不等式、不等式的解和解集、解不等式等概念的基礎(chǔ)上，作為解（一元一次）不等式方法步驟的依據(jù)來教學(xué)的，起著承上啟下的作用。教材類比等式的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生思考不等式的性質(zhì)；通過年齡變化的情境和有理數(shù)乘法結(jié)果的比較，引導(dǎo)學(xué)生抽象、歸納發(fā)現(xiàn)不等式的性質(zhì)1（“兩邊同時(shí)加或減”）和不等式的性質(zhì)2（“兩邊同時(shí)乘或除以”）。然后，引導(dǎo)學(xué)生初步利用不等式的性質(zhì)，對不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危簩讉€(gè)比較簡單的一元一次不等式化為x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）的形式，即解不等式。

不等式的性質(zhì)是代數(shù)的基本命題（基本事實(shí)），其發(fā)現(xiàn)過程蘊(yùn)含合情推理，運(yùn)用過程（并不限于解不等式）指向演繹推理。在教材設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，為了加強(qiáng)代數(shù)命題推理的教學(xué)，教師可以設(shè)計(jì)以下問題序列：

1．如圖1，數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B，對應(yīng)的數(shù)分別為a、b。請分別在數(shù)軸上描出下列幾組數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，并比較每組兩個(gè)數(shù)的大?。海?）a＋1，b＋1；（2）2a，2b；（3）-2a，-2b。由此，你發(fā)現(xiàn)不等式有怎樣的性質(zhì)？

問題1讓學(xué)生在數(shù)軸上根據(jù)已知不等式a＜b，分別探索兩邊同時(shí)加1、兩邊同時(shí)乘2、兩邊同時(shí)乘—2之后的大小關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合在代數(shù)命題推理中的作用；進(jìn)而由特殊到一般，通過歸納推理發(fā)現(xiàn)不等式的性質(zhì)。這是對教材中歸納發(fā)現(xiàn)不等式性質(zhì)的強(qiáng)化設(shè)計(jì)。

問題2—問題5都是不等式性質(zhì)的應(yīng)用。問題2讓學(xué)生說出不等式的變形依據(jù)，需要學(xué)生觀察分析條件不等式（推理起點(diǎn)）和結(jié)論不等式（推理終點(diǎn)）之間的關(guān)系，找到所使用的不等式的性質(zhì)（推理依據(jù)），感受三段論推理的要素（起點(diǎn)是小前提，依據(jù)是大前提，終點(diǎn)是結(jié)論）及規(guī)則，為運(yùn)用不等式的性質(zhì)解不等式（進(jìn)行同解變形）做好準(zhǔn)備。問題3讓學(xué)生直接比較兩個(gè)式子的大小并說明理由，需要學(xué)生觀察分析兩個(gè)式子之間的關(guān)系，找出隱含的條件不等式（推理起點(diǎn)）—三個(gè)小題分別為—1＜0、3＞—1、—3＜1，因而增加了難度，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟到三段論推理要素的重要性。問題4讓學(xué)生根據(jù)條件比較兩個(gè)式子的大小并說明理由，難度的增加在于需要多步推理才能完整說明（證明），具體到一步推理上，結(jié)論不等式（推理終點(diǎn)或者說方向）不太明確，因此，在綜合法的基礎(chǔ)上需要分析法、比較法等證明方法的輔助，能讓學(xué)生初步感受代數(shù)命題證明的常用方法。問題5在形式上和問題4一樣，但是，第（1）小題需要進(jìn)一步用到不等式的傳遞性（由x＞xy、xy＞y得到x＞y）或因式分解的方法［x2—y2＝（x＋y）（x—y）］，第（2）小題需要進(jìn)一步用到分類討論的方法，因而可以作為課后思考題。

二、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)使用代數(shù)命題推理（證明）的方法程序

（命題）推理以及由多步推理組成的證明，有一些相對固定的一般方法和程序。比如，獲得一個(gè)命題往往采用“先猜（歸納推理）后證（演繹推理）”（“先發(fā)現(xiàn)后確定”）的程序；歸納推理是在若干個(gè)例中找出共性；演繹推理則要遵循三段論的格式，由小前提和大前提共同得到結(jié)論。相比于幾何（命題）推理，代數(shù)命題推理常常更容易采用“先猜后證”的程序：因?yàn)榇鷶?shù)命題通常和數(shù)量有關(guān)，所以更容易取特殊值，從而猜測一般規(guī)律。再如，證明一個(gè)命題常常先用分析法尋找思路，再用綜合法書寫過程；分析法是執(zhí)果索因的方法，綜合法是由因?qū)Ч姆椒ā４送?，還有一種專門針對代數(shù)命題證明的方法，即比較法：因?yàn)榇鷶?shù)命題通常表現(xiàn)為數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，所以可以通過作差或作商，判斷結(jié)果與0或1的大小關(guān)系，獲得關(guān)于原先數(shù)量之間大小關(guān)系的結(jié)論。教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生在具體代數(shù)命題推理（證明）的過程中總結(jié)、使用這些推理（證明）的一般方法和程序。這樣才能有效地培養(yǎng)學(xué)生可遷移的代數(shù)推理能力。

《不等式的性質(zhì)》一課，上述問題1可以讓學(xué)生體會歸納推理由個(gè)例找共性的方法。問題2可以讓學(xué)生體會演繹推理由小前提和大前提得到結(jié)論的三段論方法。為此，還可以引入一個(gè)學(xué)生比較熟悉的幾何推理，幫助學(xué)生歸納出條件（小前提）、依據(jù)（大前提）、結(jié)論三要素，同時(shí)明確依據(jù)（大前提）必須是具有一般性的代數(shù)定義或命題。問題3—問題5都可讓學(xué)生經(jīng)歷“先猜后證”的程序，體會歸納推理和演繹推理的方法。其中，問題3是一步推理問題，主要讓學(xué)生在找準(zhǔn)條件（小前提）的基礎(chǔ)上體會演繹推理的三要素以及正向思維的綜合法（當(dāng)然，也可以利用作差比較法）；問題4是多步推理問題，可以讓學(xué)生在綜合法的基礎(chǔ)上體會逆向思維的分析法和寓理于算的比較法以及其中的演繹推理三要素。

以問題4的第（2）小題為例，直接用綜合法難以證明，因此考慮分析法和作差比較法：

（分析法，可以改寫成綜合法）要證m＜m+n，根據(jù)不等式的性質(zhì)2，就要證2m＜m＋

三、引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)代數(shù)命題推理（證明）的過程

規(guī)范的表達(dá)有助于顯化代數(shù)命題推理（證明）的過程，讓學(xué)生充分感受和掌握代數(shù)命題推理（證明）的要素和方法。教學(xué)中，還要引導(dǎo)學(xué)生在了解代數(shù)命題推理（證明）的方法程序后，嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范地表達(dá)推理（證明）的過程。具體地，可以讓學(xué)生說出各個(gè)要素，教師同步板書示范；也可讓學(xué)生寫出完整過程，教師組織其他學(xué)生檢查各個(gè)要素及其邏輯順序，從而糾正錯(cuò)誤、完善不足。

《不等式的性質(zhì)》一課，通過演繹推理解決問題時(shí)，可利用圖2（針對一步推理）和圖3（針對多步推理）所示的填空形式，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范地表達(dá)推理過程，從而固化演繹推理的三段論要素和格式。

此外，還要注意糾正、完善學(xué)生表達(dá)的不規(guī)范之處。例如，對于上述問題4的第（1）小題，有學(xué)生先猜測，繼而得到2a＞ a＋3，然后得到a＞3，發(fā)現(xiàn)與所給的條件一致，從而認(rèn)為已經(jīng)解答了這一小題。對此，教師可以指出：這只是大致的分析思路，不是規(guī)范的通過代數(shù)命題推理解答問題的過程；我們應(yīng)該明確哪個(gè)是條件、哪個(gè)是結(jié)論、依據(jù)是什么，然后按照上述規(guī)范的格式表達(dá)解答問題的過程。再如，對于問題4的第（2）小題，m+n在用作差比較法解答時(shí)，有學(xué)生由。對此，教師指，直接得到出：這里，從條件到結(jié)論沒有合適的依據(jù)，跳過了好幾步—首先要得到，而這需要利用m＜n這個(gè)條件和不等式的性質(zhì)1、性質(zhì)2這兩個(gè)依據(jù)進(jìn)行兩步推理。

最后需要指出的是，限于學(xué)生的基礎(chǔ)和能力，在初中進(jìn)行代數(shù)命題推理的教學(xué)需要控制好難度：一般地，應(yīng)該放慢教學(xué)節(jié)奏，分散教學(xué)難點(diǎn)；尤其是，應(yīng)該控制相關(guān)問題的推理步數(shù)，實(shí)踐證明，三步（如上述問題4、問題5）之內(nèi)較為適宜。還要注意協(xié)調(diào)好教學(xué)目標(biāo)，搞清楚是以代數(shù)命題推理內(nèi)容的掌握或感悟（能力的培養(yǎng)）為主要目標(biāo)，還是以作為載體的代數(shù)知識的掌握或相關(guān)的思想方法的感悟?yàn)槟繕?biāo)（將代數(shù)命題推理作為手段）。不難發(fā)現(xiàn)，上述課例設(shè)計(jì)的代數(shù)命題推理目標(biāo)還是比較鮮明的。