文/華南理工大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 廣州市黃埔區(qū)開(kāi)元學(xué)校 王雅華

“一線三等角”是初中幾何教學(xué)中一種常見(jiàn)的題根圖形，其本質(zhì)是在一條直線上有三個(gè)相等的角．在初一階段，學(xué)生初識(shí)全等三角形時(shí)，常見(jiàn)三直角的頂點(diǎn)在一條直線上，隨著難虔的增加，這三個(gè)直角可能是相等的銳角或鈍角，全等形進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為相似形．有些試題，“一線三等角”直接躍然紙上，讓人一望而知．有些試題，“一線三等角”隱藏于復(fù)雜圖形之后，需要抽絲剝繭或添加輔助線構(gòu)建而知．無(wú)論“顯”或“隱”，均需要學(xué)生在掌握基本的題根圖形后，能夠熟練辨析這其中的“變”或“不變”，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“一線三等角”的識(shí)別能力和應(yīng)用能力．

一、題根呈現(xiàn)，引發(fā)思考

如圖1、2，在ΔABC中，∠ABC=∠ADB=∠BEC，若AB=BC，則△ADB≌△BEC．

圖1

解析：當(dāng)∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°時(shí)（如圖1），我們看到這三個(gè)直角的頂點(diǎn)D、B、E均在同一條直線上，通過(guò)AB=BC，易得△ADB≌△BEC（AAS），從而可推導(dǎo)出一些線段對(duì)應(yīng)相等，如AD=BE，BD=CE（或DE=AD+CE）等．

當(dāng)∠ABC=∠ADB=∠BEC≠90°時(shí)（如圖2），雖然這三個(gè)相等的角的虔數(shù)在不斷地變化，但是永恒不變的是它們的頂點(diǎn)依舊在同一條直線上，再滿足條件AB=BC，始終都可得出ΔADB≌ΔBEC（AAS），這就是“一線三等角”之全等形的題根圖形．

圖2

變式1：如圖3、4，在ΔABC中，∠ABC=∠ADB=∠BEC，若AB≠BC，則△ADB∽△BEC．

圖3

解析：此變式題目為例1中全等題根延伸后對(duì)應(yīng)的“一線三等角”之相似形的題根圖形，當(dāng)AB≠BC時(shí)，呈現(xiàn)的是全等和相似之間的關(guān)聯(lián)與不同，形狀相同，大小不同，即△ADB∽△BEC（AA），進(jìn)而推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)線段成比例

變式2：在ΔABC中，當(dāng)DE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)時(shí)，若∠ADF=∠CEF=∠ABC且AB=BC時(shí)，有△ADB≌△BEC（圖5）；若∠ABC=∠ADB=∠BEC且AB≠BC時(shí)，有△ADB∽△BEC（圖6）．

圖5

圖6

解析：通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，使得三個(gè)相等的角被某條直線錯(cuò)開(kāi)（其中有一個(gè)角被分開(kāi)，另外兩個(gè)角在直線的兩側(cè)），引發(fā)學(xué)生思考，此題所得出的結(jié)論同樣可通過(guò)推導(dǎo)角證明．

上述所呈現(xiàn)的是典型的“一線三等角”題根圖形，可分為同側(cè)和異側(cè)兩種類型，無(wú)論哪種類型，它的本質(zhì)特點(diǎn)均為：三個(gè)相等角的頂點(diǎn)在同一條直線上．隨著角虔的不斷變化或者其中角繞著其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角虔，往往會(huì)形成很多美觀和諧的圖形，且結(jié)論都成立．因此，近年來(lái)各地命題專家都命制了很多可用“一線三等角”題根圖形的結(jié)論來(lái)進(jìn)一步求解的中考試題，大都體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)不斷提升其幾何直觀、推理才能和模型思想等素養(yǎng)．

二、試題呈現(xiàn)，魅力題根

例1．如圖7，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且OA

圖7

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）若H是邊AB上一點(diǎn)（H與A，B不重合），連接DH，將線段DH繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段HE，過(guò)點(diǎn)E分別作BC及AB延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為F，G．設(shè)四邊形BGEF的面積為S1，以HB，BC為鄰邊的矩形的面積為S2，且S1=S2．當(dāng)AB=2時(shí)，求AH的長(zhǎng)．

思路簡(jiǎn)述：（1）問(wèn)主要考察通過(guò)對(duì)角線所滿足的條件四邊形ABCD是正方形．

（2）由（1）問(wèn)知四邊形ABCD是正方形，且EF⊥BC，EG⊥AG，所以有∠G=∠EFB=∠FBG=90°，即證四邊形BGEF是矩形．由DH旋轉(zhuǎn)得DH=HE，∠DHE=90°，所 以∠ADH=∠GHE，通過(guò)“一線三等角”之全等形題根圖形可證△ADH≌△GHE（AAS），所以AD=GH，再由AB=AD，導(dǎo)出四邊形BGEF是正方形．設(shè)AH=x，則BG=EG=x，由S1=S2建立方程x2=2（2-x），進(jìn)而-1（舍），即

評(píng)注：本題選自2020年玉林市中考第25題，此題蘊(yùn)含著“一線三等角”之全等形的題根圖形（圖1），（1）問(wèn)易通過(guò)對(duì)角線的關(guān)系得證；（2）問(wèn)中關(guān)鍵句之“將線段DH繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°”為題根圖形的存在提供了條件．

例2．如圖8和圖9，在△ABC中，點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且AM=CN=2．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB-BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ=∠B．

圖8

圖9

（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；

（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將ΔABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求MP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x，當(dāng)0≤x≤3及3≤x≤9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；

（4）在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描ΔAPQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36秒．若請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng)．

思路簡(jiǎn)述：（1）問(wèn)考察知識(shí)內(nèi)容為垂線段最短，因此作AS⊥BC交BC于點(diǎn)S，利用三角函數(shù)得出AS=3．

圖10

圖11

評(píng)注：本題選自2020年河北省中考第26題，（3）（4）問(wèn)中點(diǎn)P在3＜x≤9（設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x）這段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有∠APQ=∠B=∠C，這是典型的“一線三等角”之相似形的題根圖形（圖4），即在點(diǎn)P在此運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有ΔABP∽ΔPCQ．

圖4

以上兩道例題所呈現(xiàn)的背景不同，但是所隱含的“一線三等角”題根圖形的條件卻一目了然，解法不言而喻．這兩道題著重考察學(xué)生的幾何直觀、推理才能及題根運(yùn)用的思想和能力．

圖12

【拓展】如圖13所示，在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過(guò)點(diǎn)C作CN／／BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，再根據(jù)∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA=∠AEB，推出∠EAF=∠BEM，從而△AEF∽△EBM，由相似三角形的性質(zhì)得出又因?yàn)椤螦EB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，且∠EFA=∠AEB，所 以∠CED=∠EFD，而∠BMG+∠BME=180°和條件∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°共同推出∠N=∠EFD，和∠EDF=∠CEN，故證明△DEF∽△ECN，則結(jié)合已知條件故有BM=CN，再證明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得證．

圖13

評(píng)注：本題選自2020年江蘇省宿遷市中考第27題，本題是在“一線三等角”之相似形的題根圖形（4）的基礎(chǔ)上構(gòu)建三角形相似關(guān)系，提取線段比例式，進(jìn)而解題的拓展應(yīng)用．添加輔助線因題而異，雖無(wú)一個(gè)通法可循，但一般都能從題目中找到一定的規(guī)律和常用方法來(lái)構(gòu)建我們熟知的題根圖形，然后和題根圖形的特征相比較，我們就可以利用題根的結(jié)論去創(chuàng)造更有利的條件，從而使問(wèn)題得到順利解答．

總之，針對(duì)這類表現(xiàn)背景不同，但卻可用同一類基本題根求解的試題，就要求學(xué)生充分挖掘試題的內(nèi)在價(jià)值，學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中提取題根圖形，靈活運(yùn)用基本結(jié)論思考拓展．而且通過(guò)題根解題，能更好地弄清問(wèn)題的本質(zhì)，為解決問(wèn)題搭建好思維的“腳手架”，進(jìn)而切實(shí)可行地提高學(xué)生的解題能力，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．