張青雨

【摘要】向量展現(xiàn)了幾何與代數(shù)的雙重特性，是解決幾何、代數(shù)、物理問題的重要工具，但其基礎邏輯較為復雜，很多學生難以理解，自然無法在實際中應用.因此，本文從向量兩個維度的量化表示入手進行研究，以期幫助學生量化實際的應用邏輯，并結合例題剖析，全面優(yōu)化學生的解題思路，切實提高教學效率和教學質量，同時為向量教學提供一定的參考.

【關鍵詞】高中數(shù)學;向量理解;維度量化;數(shù)學語言

在高中數(shù)學教學內容中，向量占據(jù)了重要地位，它在其他數(shù)學知識的學習上也發(fā)揮著很大的作用.向量自身的屬性比較特殊，它可以將多個數(shù)學知識有機聯(lián)系在一起，切實提高教師教學的有效性.向量兼具了大小和方向，需要用多個實數(shù)進行確切表達.對于一個擁有雙重身份的概念，教師在實際教學過程中要引導學生從正確的角度入手，深入分析雙重維度的量化表達方式.

一、向量學習的重要性

向量作為高中數(shù)學教學中的重點內容之一，具有雙重身份，系統(tǒng)地研究、掌握向量內容可以讓學生的計算能力以及思維能力得到大幅度提高，為學生未來的學習奠定良好的基礎.不僅如此，向量中的數(shù)形結合思想可以促進學生對數(shù)學本質的理解，讓數(shù)學教學工作得到全面的提高.從數(shù)學課程改革發(fā)展的趨勢來看，向量作為解決數(shù)學問題的重要工具，可以有效促進學生解題能力的提高.但從目前來看，很多學生在向量理解上還存在問題，故教師必須提高學生對向量的理解，才能充分發(fā)揮向量的實際應用價值.向量最初應用在物理學中，而后逐漸被應用到了高中數(shù)學中.它以數(shù)、量和運算為根本，向量的加減法、數(shù)乘向量、向量的數(shù)量積都是非常重要的內容.高中階段的向量學習旨在為下一階段的學習奠定基礎.作為幾何代數(shù)化的重要組成部分，加強對關于向量兩個維度的量化表示的學習，可以讓學生建立學習自信心，從而在學習其他數(shù)學知識的過程中能和其他學科聯(lián)系在一起，以發(fā)展的眼光看待向量和中學數(shù)學的結合.

二、向量兩個維度的量化表示

第一，對向量的理解.向量是在數(shù)量的基礎上多了一個維度，它其實是兩個維度的量：數(shù)量+方向.因此，理解向量是學生的一個難點，尤其要在方向上加重對向量的理解.因此，數(shù)形結合在向量中的體現(xiàn)極其重要.

第二，在數(shù)量維度上，可以用向量的模來表示，那么按照教材的邏輯，如何用數(shù)學語言（公式）來表示方向這個維度呢？所以，我們需要引入向量的坐標表示，從而將向量的兩個維度都進行量化，用數(shù)學語言進行表示.

1.利用向量坐標實現(xiàn)向量維度量化

根據(jù)平面向量的基本定理，可知平面內任意一個向量OP在以另一組不共線的向量OA，OB為基底時，它有且僅有唯一的有序實數(shù)對（λ，μ）使得OP=λOA+μOB.而逆推可得基底（λOA，μOB）對應于向量OP.這種量化方式可以讓向量OP在坐標系中的坐標更加合理，將其和三角函數(shù)結合在一起綜合性會更強，可以更好地完成相關解題內容的處理.

平面幾何和平面向量之間也有著密切的聯(lián)系，但從目前來看，由向量的夾角可以推斷出幾何圖形的垂直關系，故利用向量的坐標運算可以確定圖形的位置關系.在高中數(shù)學中，向量的坐標運算是幾何問題代數(shù)化的重要工具，學生需要具備數(shù)與形的轉化能力和較強的邏輯思維能力.而這種向量兩個維度的量化表示無疑可以幫助學生更好地完成學習，將向量的作用發(fā)揮到最大.以下題為例，其中就運用到了向量的坐標運算，將向量的兩個維度進行量化，從更好地分析并解題.

例題在△AOB中，有OA，OB，AB三條邊，其中M和N分別為OA，OB兩邊上的點，在三角形中，BM，AN相交于點P，已知OA=a，OB=b，OM=λa（0<λ<1），ON=μb（0<μ<1），OP=p，求如何用a，b表達OP=p.

解題從圖1和已知數(shù)據(jù)來看，可以推斷出OP=p=ON+NP或者OP=p=OM+MP，此時，假設MP=mMB=m（OB-OM）=m（b-λa），

又ON=μb，設NP=nNA=n（OA-ON）=n（a-μb），

進而將兩個式子合二為一，化簡后就可以得到p=na+μ（1-n）b=λ（1-m）a+mb.在此基礎上，借助方程思想就可以進一步求出向量OP用a，b的表達式p=λ（1-μ）1-λμa+μ（1-λ）1-λμb.

由上可知，向量的方向性非常重要，要想準確地將p表達出來，可利用向量和向量之間的運算得到線段的數(shù)量關系，然后根據(jù)向量坐標得出不同點坐標之間的數(shù)量關系.由此可知向量坐標表達能力的重要性.在立體幾何運算中，這種量化表達方法也具有重要作用，這是因為在立體幾何運算中也可以將其轉化為平面問題進行解決，但需要注意向量的方向性.

2.借助數(shù)量和方向完成向量維度量化

在立體幾何解題中也可以利用向量的方法進行求解，如根據(jù)坐標得到線面角的大小，或者借助向量的方向、數(shù)量特性等得到線面角的大小.在立體幾何解題過程中，學生需要具備立體化思維能力，借助向量的加法、比例關系等得到相應的結果，有效解決三角函數(shù)問題.

例題某正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側棱長分別為a和2a，求直線AC1和平面ABB1A1所成角的大小.

本題可借助數(shù)量和方向完成向量維度量化，則可以有效判定線與面所成的角，利用向量進行解決效率較高，難度也會相對降低.

解題從圖2和已知條件中能夠明確得到A，B，A1，C1四點的坐標，取A1B1的中點D，其坐標也可以求出，按照圖2完成輔助線的連接，能夠進一步得到向量DC1，AB，AA1的坐標，按照相應的向量規(guī)律，可知DC1·AB=0，DC1·AA1=0，因此可知直線DC1和平面ABB1A1相互垂直，而直線AC1和平面ABB1A1之間的夾角為∠C1AD，根據(jù)向量坐標和向量夾角公式就可以得到角的大小為30°.

三、向量兩個維度的量化表示的教學建議

由上可知，向量在三角關系和幾何中得到了廣泛應用，其方法簡單，理解直觀，可以將坐標、線段、向量聯(lián)系在一起.但學生對其的理解還存在很多問題，無法真正發(fā)揮向量的價值，尤其是很多學生無法理解

向量兩個維度的量化表示.在實際教學中，向量的概念和定理都較為抽象，故教師在教學中將其量化表示是必要的，這可以確保學生更容易理解向量內容，同時認識到用向量解題的便利性.

（一）聯(lián)系實際展開量化表示教學

向量最開始出現(xiàn)在物理學中，都是具有大小和方向的向量，教師可以借助實際案例，更好地表現(xiàn)出向量的模以及單位向量的概念.高中階段，學生可以接觸到的向量主要表現(xiàn)在大小和位置關系兩個方面，結合實際生活案例可以讓這兩個維度得到更好的量化.比如，某公交車先向東開出500米，后又向北開出600米，然后又向西南開出200米，求公交車和起始點之間的距離和方位.利用向量可以很好地解決這一問題，建立平面直角坐標系就可以得到向量表達式.將數(shù)學知識和實際生活相結合，不僅能讓學生理解向量的實際應用價值，也可以使其了解向量的基本性質.教師在數(shù)學教學中應用位移、速度、加速度等物理量作為向量的因素，能讓學生更好地感受到向量的存在，從而對向量形成更加清晰的理解.

（二）重視聯(lián)系強化量化表示教學

從理論的角度出發(fā)，向量的代數(shù)性質貫穿整個高中數(shù)學，向量的運算同數(shù)的運算之間有著緊密的聯(lián)系，因此，教師在實際教學過程中可以引導學生對向量運算的規(guī)律進行總結和歸納，同時使學生明確向量的幾何意義，有效實現(xiàn)向量代數(shù)運算和位置關系之間的轉化，實現(xiàn)對向量兩個維度的量化表示.比如，當ab=0時，向量a和b之間屬于垂直關系.在高中數(shù)學教學中，幾何代數(shù)化的教學可以讓學生更好地認識圖形和空間，快速解決問題.教師在教學中有意識地滲透這一思想，對學生未來的學習具有重要的促進作用.在“平面向量”這一知識的教學過程中，教師要讓學生充分認識到向量概念和向量運算的重要性，明確平面向量和空間向量之間的區(qū)別，對向量形成多元、多維的認識.新時期，受到多方面因素的影響，數(shù)學教學方式日益豐富，課堂也朝著多元化的方向發(fā)展，面對不同的教學方式和教學渠道，教師的教學要貼合學生實際以及教學需求.在對一些抽象的數(shù)學知識進行教學中，教師可以借助多媒體技術進行教學，幫助學生理解幾何體知識，培養(yǎng)空間邏輯意識，也可以進行實際操作，使學生感受學習立體幾何的樂趣.

（三）鞏固基礎優(yōu)化量化表示教學

現(xiàn)如今，高中數(shù)學教學在朝著“夯實基礎、回歸教材”的方向努力，故教師要正確對待數(shù)學基礎知識，從而讓學生認識到基本功的重要性.很多學生在學習向量時一味地借助向量特點展開計算，忽略了向量中的基礎概念、定理、公式等基本問題，在應用時想不起來，也無法第一時間從變式中找到關鍵.因此，教師在向量量化表示的教學過程中應重點針對基礎概念、定理、公式進行講解，尤其是概念的核心內容和附加條件，不僅要讓學生牢記熟記，還要能夠做到靈活應用和熟練掌握.向量作為蘇教版數(shù)學教材中最為基礎的部分，其涉及了大量的概念，而且很多概念都較為抽象，如果學生對概念掌握不牢固，那么真正做題時就會出現(xiàn)問題.因此，教師在教學時要適度放緩，確保每個重要的概念都講解清楚，并讓學生在掌握概念的基礎上利用課后練習題對知識點進行鞏固.此時，教師可以借助問題引導法，讓學生以小組為單位，自主閱讀教材，找出關鍵性概念，并在初步閱讀后，先自己完成課后練習題，在教師講解和小組分析后，重新對練習題進行審視，以加深印象，鞏固思考，強化認識，真正理解向量兩個維度的量化表示.

綜上所述，向量是數(shù)形結合體，雖然具有數(shù)形的特點，但是又不同于數(shù)形，它在解決數(shù)學問題中發(fā)揮著至關重要的作用.教師在向量教學中量化兩個維度的表示，可以讓學生對數(shù)學問題形成更加全面的理解，讓數(shù)學教學質量得到提高，還可以讓學生產(chǎn)生最直觀的感受，切實激發(fā)學生的想象力.這種表示方法可以讓學生更好地借助向量這種工具，運用數(shù)形結合的方式解決問題，真正理解向量的多重意義.

【參考文獻】

[1]王辰昊.高中數(shù)學中的向量研究[J].中國高新區(qū)，2018（02）：114.

[2]羅茜元.向量在解決高中數(shù)學問題中的應用研究[J].中華少年，2018（2）：147.

[3]樊昕.向量在高中數(shù)學中的工具性作用[J].中華傳奇，2019（6）：168.

[4]陳熙.平面向量教學中展開“說數(shù)學”活動的研究[J].數(shù)學大世界（小學五六年級版），2019（8）：15.