仲海峰

摘要：通過(guò)對(duì)“角的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中“什么是角？”“角的大小與什么有關(guān)？”“怎樣表示平角？”等幾個(gè)常見(jiàn)疑難問(wèn)題的思考，獲得感悟：數(shù)學(xué)概念教學(xué)要自覺(jué)淡化對(duì)外在形式、復(fù)雜技巧等細(xì)枝末節(jié)的關(guān)注，集中精力揭示、把握概念的本質(zhì)。由此可以發(fā)現(xiàn)“風(fēng)景”在對(duì)錯(cuò)之外，理解錯(cuò)誤有時(shí)也叫“暫時(shí)性正確”，認(rèn)識(shí)符號(hào)中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)意象。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念教學(xué);數(shù)學(xué)本質(zhì);角的認(rèn)識(shí)

小學(xué)階段研究的平面圖形中，角是最為特殊的一個(gè)：不具有封閉性。在判斷角的大小的時(shí)候，學(xué)生常常會(huì)將其和長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等封閉圖形的大小混為一類(lèi)，產(chǎn)生認(rèn)知偏差。本文通過(guò)對(duì)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“角的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中幾個(gè)常見(jiàn)疑難問(wèn)題的思考，談?wù)劰P者對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的感悟。

一、什么是角？——“風(fēng)景”在對(duì)錯(cuò)之外

認(rèn)識(shí)角，除了認(rèn)識(shí)它的形狀，還要理解它的內(nèi)涵，這是比較角的大小的基礎(chǔ)。為了幫助學(xué)生理解角的內(nèi)涵，不少教師在教學(xué)中都會(huì)設(shè)計(jì)“讓學(xué)生指一指物體上的角在哪兒”的活動(dòng)。比如——

師（課件出示三角尺圖片）這是我們常用的三角尺，你能指出三角尺上的角在哪兒?jiǎn)幔?/p>

（一位學(xué)生走到屏幕前，用手指指著三角尺的頂端。）

師（輕輕按下手中遙控筆的按鈕，學(xué)生手指之處出現(xiàn)一個(gè)小圓點(diǎn)，如圖1）你說(shuō)的是這兒?jiǎn)幔?/p>

（學(xué)生點(diǎn)頭。教師微笑，再次按下手中的遙控筆，課件上的三角尺漸漸隱去，只留下一個(gè)小圓點(diǎn)。學(xué)生一看，慌忙將指在小圓點(diǎn)上的手指收回。）

師同學(xué)們，他剛才指的是角嗎？

生不是。他指的是角的頂點(diǎn)。

師那角在哪兒呢？誰(shuí)再來(lái)指一指？

（另一位學(xué)生走到屏幕前，沿著三角尺的邊“描”出角的輪廓，軌跡如圖2 中的箭頭所示。）

師她指得對(duì)嗎？

（部分學(xué)生點(diǎn)頭，大部分學(xué)生沒(méi)有表示。）

師（同步演示，如圖3）指角時(shí)，我們一般從角的頂點(diǎn)出發(fā)，先引出一條線(xiàn)，再引出另一條線(xiàn)。

這里，學(xué)生“指角”時(shí)，指著角的頂端，錯(cuò)了嗎？課后訪(fǎng)談表明：學(xué)生指的實(shí)際上不是教師所想的角的頂點(diǎn)，而是“角前端尖尖的那一小部分”。這樣指角指出了角最重要的部分，值得肯定。學(xué)生沿著角的邊“一筆畫(huà)”描出角的樣子呢？這樣指角清楚、明了地表示出了角的樣子，也值得表?yè)P(yáng)。教師從頂點(diǎn)出發(fā)引出兩條邊呢？這樣指角表示出了角的兩條邊無(wú)限延長(zhǎng)的特點(diǎn)，滲透了四年級(jí)要學(xué)習(xí)的“角的邊是射線(xiàn)”的知識(shí)，同樣值得提倡。此外，還可以借助手指、鉛筆等，從一條邊出發(fā)旋轉(zhuǎn)到另一條邊，將角的大小具體形象地表達(dá)出來(lái);像《幾何原本》那樣將角定義為“兩條線(xiàn)之間的位置關(guān)系”。

在小學(xué)階段，表達(dá)角的概念的方式很多，不同的方式可以幫助學(xué)生從不同的角度出發(fā)、在不同的程度上理解“兩條邊張開(kāi)的大小”這一角的本質(zhì)，都不應(yīng)是“標(biāo)準(zhǔn)姿勢(shì)”。教學(xué)時(shí)，教師不要過(guò)多地關(guān)注學(xué)生指角的對(duì)錯(cuò)，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注各種表達(dá)的可取之處，在比較和分析中逐步領(lǐng)悟角的本質(zhì)。也就是說(shuō)，“風(fēng)景”在對(duì)錯(cuò)之外。

二、角的大小與什么有關(guān)？——錯(cuò)誤有時(shí)也叫“暫時(shí)性正確”

理解角的大小與兩條邊張開(kāi)的大小有關(guān)，是“角的認(rèn)識(shí)”教學(xué)的重難點(diǎn)之一。為了突破重點(diǎn)、分解難點(diǎn)，不少教師在教學(xué)中都會(huì)讓學(xué)生操作活動(dòng)角，從中體會(huì)：將兩邊張開(kāi)，角變大;將兩邊合攏，角變小。但是到了課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，比較圖4中兩個(gè)角的大小時(shí)，依舊會(huì)有很多學(xué)生認(rèn)為∠2>∠1。他們?cè)趺匆蚕氩煌ǎ骸?看上去明顯比∠1大，為什么老師卻說(shuō)它們相等呢？面對(duì)學(xué)生的困惑，教師一般都會(huì)不厭其煩地提醒：角的大小只與角兩條邊張開(kāi)的大小有關(guān)，而與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。

這里，“角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”實(shí)際上存在著科學(xué)性錯(cuò)誤：角的邊是射線(xiàn)，射線(xiàn)怎么會(huì)有長(zhǎng)短呢？但是，很多教師還是堅(jiān)持用這句話(huà)來(lái)幫助學(xué)生理解角的大小。他們的理由很簡(jiǎn)單：找不到更能如此直接、有力地糾正學(xué)生親眼所見(jiàn)的“∠2>∠1”這個(gè)錯(cuò)覺(jué)的方法。

對(duì)此，筆者的觀點(diǎn)是：這個(gè)世界上，不是非對(duì)即錯(cuò)，還有一種所謂的錯(cuò)誤也叫“暫時(shí)性正確”。二年級(jí)學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)射線(xiàn)，在他們的眼里，角的邊僅僅是直直的線(xiàn)段。和他們強(qiáng)調(diào)角的邊無(wú)限長(zhǎng)，超出了他們的認(rèn)知范疇。對(duì)他們而言，“角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”這句話(huà)可以視為“暫時(shí)性正確”。

對(duì)于“暫時(shí)性正確”，很多人一下子不容易接受。其實(shí)，這樣的例子在小學(xué)階段還有很多。如：（）+7<10，（）里可以填。二年級(jí)學(xué)生在橫線(xiàn)上填“2、1、0”，顯然沒(méi)有填全，還可以填小數(shù)、負(fù)數(shù)等;但已經(jīng)是他們能得到的所有結(jié)果了，不僅正確，甚至還要加“☆”。

當(dāng)然，“退”是為了更好地“進(jìn)”。不要求二年級(jí)學(xué)生理解“角的邊是射線(xiàn)”，目的是讓他們集中精力理解“兩條邊張開(kāi)的大小”這一角的本質(zhì)。等到四年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了射線(xiàn)，教師應(yīng)該幫助他們進(jìn)一步理解：角的兩條邊雖然有的畫(huà)得長(zhǎng)，有的畫(huà)得短，但是它們的相對(duì)位置（張開(kāi)的大?。┛赡苁且粯拥?。我們將兩條邊的相對(duì)位置（張開(kāi)的大?。┮粯拥慕欠Q(chēng)為同類(lèi)角。同類(lèi)角長(zhǎng)短不一的邊可以用射線(xiàn)來(lái)抽象概括，最終用同一個(gè)圖形來(lái)表示。

三、怎樣表示平角？——符號(hào)中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)意象

小學(xué)階段認(rèn)識(shí)圖形，一個(gè)重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)是能夠識(shí)圖、畫(huà)圖。因此，學(xué)生認(rèn)識(shí)了角這一圖形后，不少教師都會(huì)組織學(xué)生進(jìn)行辨析。比如——

（教師出示練習(xí)：圖5中的圖形表示的是角嗎？學(xué)生解決時(shí)，對(duì)第二個(gè)圖形是不是表示角，頗有爭(zhēng)議。）

師第二個(gè)圖形表示角嗎？

生不是角。

生是一個(gè)特殊的角。

師意見(jiàn)不一致了。我們講道理，以理服人。

生直線(xiàn)上有一個(gè)小圓點(diǎn)，這個(gè)小圓點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，因此，第二個(gè)圖形表示一個(gè)平角。

生我認(rèn)為第二個(gè)圖形表示的就是直線(xiàn)，因?yàn)橹本€(xiàn)是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，那個(gè)小圓點(diǎn)原來(lái)就在直線(xiàn)上。

生我覺(jué)得第二個(gè)圖形表示的是兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)有一個(gè)公共的端點(diǎn)，而且它們?cè)谝粭l直線(xiàn)上。

……

在直線(xiàn)上點(diǎn)一個(gè)小圓點(diǎn)是否表示平角？貌似無(wú)聊的爭(zhēng)論卻蘊(yùn)藏著基本的數(shù)學(xué)道理：數(shù)學(xué)是借助符號(hào)來(lái)表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式的，每一個(gè)符號(hào)中都蘊(yùn)含著一種數(shù)學(xué)意象。例如：用直直的線(xiàn)表示兩端無(wú)限延伸的直線(xiàn);在直直的線(xiàn)一端點(diǎn)上小圓點(diǎn)，表示這條線(xiàn)從小圓點(diǎn)處出發(fā)，向遠(yuǎn)處延伸，也就是射線(xiàn);在直直的線(xiàn)另一端也點(diǎn)上小圓點(diǎn)，表示這條線(xiàn)到此為止，不可以再延長(zhǎng)了，也就是線(xiàn)段。因此，在直直的線(xiàn)中間點(diǎn)上小圓點(diǎn)，這個(gè)小圓點(diǎn)不是裝飾，它表達(dá)的含義是兩條射線(xiàn)的公共端點(diǎn)（如圖6所示）。

既然在直線(xiàn)上點(diǎn)一個(gè)小圓點(diǎn)不表示平角，那么，怎樣表示平角呢？這個(gè)問(wèn)題需要回到角的本質(zhì)來(lái)回答。角的本質(zhì)是“兩條邊張開(kāi)的大小”。我們可以借助小圓弧這一符號(hào)，形象、清楚地表示“角兩條邊張開(kāi)的大小”。因此，平角的表示如圖7所示。

對(duì)此，教師在教學(xué)中可以基于活動(dòng)角的操作，引導(dǎo)學(xué)生思考：可以用什么符號(hào)表示角“兩條邊張開(kāi)的大小”？得出用小圓弧這一數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)抽象表示。

綜上可見(jiàn)，“角的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)中幾個(gè)疑難問(wèn)題的解決其實(shí)都指向角的本質(zhì)。李邦河院士告誡我們：數(shù)學(xué)“玩”的不是技巧，而是概念。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要自覺(jué)淡化對(duì)外在形式、復(fù)雜技巧等細(xì)枝末節(jié)的關(guān)注，集中精力揭示、把握概念的本質(zhì)。由此可以發(fā)現(xiàn)“風(fēng)景”在對(duì)錯(cuò)之外，理解錯(cuò)誤有時(shí)是“暫時(shí)性正確”，認(rèn)識(shí)符號(hào)中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)意象。