包云霞 趙文才 魯法明

【摘要】以“數(shù)列的極限”為教學(xué)案例，探討了基于線(xiàn)上、線(xiàn)下相結(jié)合的混合式教學(xué)方法和綜合評(píng)價(jià)體系在教學(xué)過(guò)程中的實(shí)施步驟，從而使學(xué)生成為教學(xué)過(guò)程的主體，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性;并且有效解決了教學(xué)互動(dòng)與學(xué)情反饋等方面的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】混合式教學(xué) ?數(shù)列的極限 ?教學(xué)互動(dòng) ?學(xué)情反饋

【基金項(xiàng)目】山東科技大學(xué)青年教師本科教學(xué)拔尖人才培養(yǎng)計(jì)劃（BJRC20190503）;山東科技大學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助（JXTD20160507）;山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助（JXTD20180504）。

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）05-0007-03

基于互聯(lián)網(wǎng)的信息化，線(xiàn)上教學(xué)讓知識(shí)表現(xiàn)得更形象、具體，既活躍了課堂氣氛，又拓展了學(xué)生的知識(shí)面;此外，信息化教學(xué)中，采取的是多元評(píng)價(jià)機(jī)制，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)過(guò)程、課后實(shí)踐以及互助合作程度等多方面做出評(píng)價(jià)。這樣使得教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)更加客觀、全面，有利于提高學(xué)習(xí)者的積極性和自主探究能力。

高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象是微積分，極限是微積分的基礎(chǔ)，因此，對(duì)極限思想和概念的理解和掌握直接決定著微積分思想的理解和掌握。本節(jié)課采用線(xiàn)上、線(xiàn)下相結(jié)合的混合式教學(xué)方式對(duì)“數(shù)列的極限”進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生深刻地理解數(shù)列極限的“？著-N”定義及用極限的嚴(yán)格定義證明數(shù)列的極限是本節(jié)課要解決的主要問(wèn)題。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)：理解數(shù)列極限的“？著-N”定義;掌握利用定義證明數(shù)列極限的方法。

2.能力目標(biāo)：使學(xué)生初步理解有限和無(wú)限、量變和質(zhì)變相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義思想。

3.情感目標(biāo)：通過(guò)莊子名言，劉徽“割圓術(shù)”，讓學(xué)生對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化及數(shù)學(xué)成就有一種自豪感;通過(guò)分析給出數(shù)列極限的嚴(yán)格“？著-N”定義，讓學(xué)生感受探索的樂(lè)趣和成功的喜悅，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性和數(shù)學(xué)美;通過(guò)極限的發(fā)展歷程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家們的勤奮和嚴(yán)謹(jǐn)，不斷探索的精神，提升學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和勇于攀登的精神。

二、教學(xué)策略

1.采取線(xiàn)上、線(xiàn)下結(jié)合的混合式教學(xué)模式：首先，課前在學(xué)習(xí)平臺(tái)發(fā)布本次課要解決的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生們基于網(wǎng)上教學(xué)資源提前預(yù)習(xí)，提出自己的問(wèn)題;其次，結(jié)合學(xué)生們提出的主要問(wèn)題精選本節(jié)教學(xué)內(nèi)容，以短小精悍的“微課”形式制作教學(xué)課件;此外，課堂教學(xué)過(guò)程中穿插提問(wèn)、搶答、練習(xí)、小組討論等環(huán)節(jié)檢驗(yàn)學(xué)生們的課前預(yù)習(xí)情況及課堂掌握情況，活躍課堂氣氛，提升學(xué)生們分析問(wèn)題的能力;最后，在教學(xué)平臺(tái)布置課后思考，鼓勵(lì)學(xué)生們踴躍發(fā)言、共同討論，從而對(duì)極限的概念有更進(jìn)一步的理解，初步學(xué)會(huì)用極限的概念解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生們的上述活動(dòng)都將形成一個(gè)線(xiàn)上的學(xué)習(xí)成績(jī)，計(jì)入最后的考評(píng)。

2.啟發(fā)式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣：課堂教學(xué)按照“情境導(dǎo)入-直觀分析-嚴(yán)格定義與推理—實(shí)例分析—學(xué)習(xí)總結(jié)—知識(shí)拓展”的步驟展開(kāi)教學(xué)。教學(xué)過(guò)程由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，在學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

3.突出重點(diǎn)，化解難點(diǎn)：通過(guò)課前布置線(xiàn)上學(xué)習(xí)內(nèi)容及課堂上動(dòng)畫(huà)展示極限過(guò)程讓學(xué)生直觀地感受“？著-N”含義;通過(guò)詳細(xì)的推導(dǎo)和例題的解答鞏固重點(diǎn)，化解難點(diǎn)。

三、教學(xué)安排

（一）線(xiàn)上自學(xué)部分

1.結(jié)合實(shí)例（圖1）給出數(shù)列極限的直觀定義

2.結(jié)合實(shí)例初步理解數(shù)列極限的嚴(yán)格定義

試以1+n為例進(jìn)行分析，初步理解數(shù)列極限的嚴(yán)格定義，并解答思考題（圖2），初步理解ε 任意性及Ν被動(dòng)性和不唯一性。

（二）線(xiàn)下討論部分

1.情境導(dǎo)入

首先通過(guò)莊子“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”（圖3）引入數(shù)列極限的樸素思想;之后，介紹劉徽的“割圓術(shù)”（圖4），由此引出極限在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)極限的學(xué)習(xí)興趣。

2.直觀分析

結(jié)合線(xiàn)上學(xué)習(xí)情況，安排提問(wèn)環(huán)節(jié)（圖5），以“選人”的方式解決這一問(wèn)題，由此給出數(shù)列極限的直觀定義。

3.嚴(yán)格定義與推理

5.學(xué)習(xí)總結(jié)

回顧數(shù)列極限的直觀定義、精確定義及幾何意義（圖8）;強(qiáng)調(diào)利用定義證明數(shù)列的極限基本步驟，同時(shí)指出可適當(dāng)放大不等式求取N。

6.知識(shí)拓展

借助芝諾悖論（圖9）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考極限的概念，體會(huì)有限與無(wú)限之間的辯證關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生課下自主學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。

總結(jié)數(shù)列極限的發(fā)展歷程，融入課程思政。從公元前三世紀(jì)左右極限的萌芽到十八世紀(jì)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，再到十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家柯西、維爾斯特拉斯等人在前人所積累的大量成果（包括許多失敗的嘗試）的基礎(chǔ)上，給出極限的精確定義，建立起微積分的理論基礎(chǔ)，這中間經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間。極限概念的發(fā)展歷程充分說(shuō)明任何事物的發(fā)展都不是一帆風(fēng)順的，都是遵從否定之否定的發(fā)展規(guī)律;因此，我們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)和工作中要想取得一些成績(jī)一定要敢于質(zhì)疑，勇于否定，同時(shí)也要沉得住氣，持之以恒。

布置相關(guān)作業(yè)及下節(jié)預(yù)習(xí)內(nèi)容。如何根據(jù)數(shù)列極限的嚴(yán)格定義給出函數(shù)極限的嚴(yán)格定義呢？二者有什么不同呢？以此鞏固學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)，引出下節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的遷移能力。

三、總結(jié)與反思

本次課基于線(xiàn)上、線(xiàn)下的混合式教學(xué)方式能夠讓學(xué)生積極主動(dòng)地分析、解決問(wèn)題，通過(guò)課堂提問(wèn)、練習(xí)，能夠全面地、有效地了解學(xué)生們的學(xué)習(xí)掌握情況，根據(jù)反饋情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容。

從授課情況來(lái)看，大部分學(xué)生理解了數(shù)列極限的嚴(yán)格定義，能用定義嚴(yán)格地證明數(shù)列的極限，達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)。但是也發(fā)現(xiàn)少部分基礎(chǔ)較弱、學(xué)習(xí)主動(dòng)性不強(qiáng)的學(xué)生跟不上課堂的節(jié)奏，學(xué)習(xí)起來(lái)比較吃力，所以在后續(xù)的教學(xué)過(guò)程中將對(duì)如何調(diào)動(dòng)這一部分學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，如何更好地進(jìn)行分層教學(xué)作進(jìn)一步的探討。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊憲立，趙自強(qiáng).問(wèn)題驅(qū)動(dòng)原則在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，23（1）：49-52.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]趙文才.基于混合式教學(xué)的“梯度”教學(xué)案例研究[J].大學(xué)教育，2018，3：61-70.

[4]吳慧卓.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透課程思政的探索與思考[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2019，35（5）：40-43.

[5]劉濤.淺談一階線(xiàn)性微分方程在混合式教學(xué)模式下的解法探索[J].攀枝花學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，36（2）：110-112.

[6]蔣英春.“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代高等數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)教學(xué)模式的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)教育，2018，9：92-94.

作者簡(jiǎn)介：

包云霞（1979年3月-），女，漢族，山東省海陽(yáng)市人，碩士研究生，講師，研究方向：貝葉斯統(tǒng)計(jì)。