卞家海

[摘 要]在初中數學知識體系中，數學概念是基礎與重點.把“APOS”理論運用于數學概念教學中，能夠引導學生經歷數學概念的形成過程，提高教學效率.文章結合“一元二次方程”的教學，對“APOS”理論在數學概念教學中的應用進行了探索.

[關鍵詞]APOS理論;概念教學;一元二次方程

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）29-0014-02

著名教育學家杜賓斯在進行數學概念教學的過程中，架構了一種全新的理論模型——AOPS模型.這一模型的基本流程是“活動階段—過程階段—對象階段—圖式階段”.在這四個階段中，其核心目標就是創(chuàng)設良好的情境，使學生可以在這一過程中實現(xiàn)自覺發(fā)現(xiàn)、自主建構，準確把握概念的特點.這是一個循序漸進的過程.APOS理論認為，針對數學概念的學習過程，實際上是學生的自我心理建構.在這一過程中，需要學生積極調整現(xiàn)有的認知結構，或者將其與外部認知結構相融合，形成新的認知結構，所以在數學概念教學中，需要教師及時恰當地引導，使學生可以親歷思維過程，這樣才能夠在不斷建構不斷反思的基礎上，對概念組成圖示，或者同化，或者順應.一方面是為了解決現(xiàn)實問題，而另一方面也是對當前認知結構的進一步完善.APOS理論在教學數學概念的過程中具有科學性和實用性.下面結合“一元二次方程”概念的教學來論述APOS理論在數學概念教學中的具體應用.

一、基于APOS理論的“一元二次方程”四階段教學設計

（一）第一階段：活動階段

活動1：一塊長方形鐵皮面積為5 000平方厘米，其中長為100厘米，列式求出其寬.（學生列出算式①）

活動2：在這塊鐵皮上的四角，各自切掉一個正方形，然后將凸出部分折起，由此形成一個無蓋方形鐵皮盒，假如所形成的鐵皮盒的底面積為3 600平方厘米，求所截去的正方形的邊長.

針對這一環(huán)節(jié)可以借助視頻演示的方式帶領學生體會整體和打開的過程，引導列式.（學生列出算式②）

活動3：一座高2米的人體雕像，如果上下部分的高度比等于下部和全部之間的高度比，下部應該設計為多少米？

借助多媒體將題目轉化為圖形，引導學生列出算式③.

（二）第二階段：過程階段

針對上述三個算式展開仔細觀察，發(fā)現(xiàn)其中的異同.此時教師引導：判斷算式①是否屬于之前所學過的方程，由此喚醒學生的已知概念以及已有經驗.在探尋異同點時，類比一元一次方程的概念，就此探討其中包含幾個未知數，未知數的最高次數是多少.

組織學生討論，引導發(fā)現(xiàn)在算式①中包含1個未知數，最高次數為1，有等號，由此可做出準確判定.在算式②和③中，雖然都包含有一個未知數，但是最高次數為2，有等號，是方程.通過類比概念的方式，可以初步感知這是兩個一元二次方程，能夠就此掌握其所具有的三個基本屬性.

（三）第三階段：對象階段

如何使用數學語言對其進行描述？顯然對于學生而言，這一問題相對抽象，也是教學實踐中的難點.可以結合小組探討的方式，再將其與一元一次方程的描述進行類比，完成對一元二次方程的概念界定.

1.分組討論，理解概念

小組1：根據算式②與③，將其中的數字替換成字母，由此得到[（a-bx）（c-dx）=m]或者[a-bx=cx?].很顯然，通過學生的這一回答，可以發(fā)現(xiàn)他們并沒有真正掌握一元二次方程的本質，因此不能借助本質屬性完成對概念的數學描述.

小組2：類比一元一次方程[ax+b=0]，得出[ax2+bx=0]，在這一過程中.有學生提出算式②與③與這一形式并不吻合，除了包含[ax2+bx]后面還增加了一個常數，因此很多學生認為不能不算是正確的一般式.

小組3：在經歷了之前兩組學生的展示之后，一部分思維能力較高的學生認為，一元二次方程的一般形式應當為[ax2+bx+c=0].此時可以要求學生將算式②與③轉化為這一形式，然后說一說在這個一般式中包含了幾個未知數，未知數的最高次數又是多少，是不是方程.在充分考慮這些問題之后，很多學生都認為這一表達是正確的，但是并未涉及其中是否存在限定條件.

2.深入反思，深化概念

問題1：a是否可以為0？

如果a為0，這個方程就沒有了二次的項.要牢記[a≠0]這一限制條件.

問題2：b、c是否可以為0？

再次強調一元二次方程的三個本質屬性，此時學生發(fā)現(xiàn)，b或者c可以為0，由此得到[ax2+bx=0]，[ax2+c=0]，這是其特殊式.

問題3：等號可以換成大于號、小于號或者不等于號嗎？

學生根據方程的定義能夠了解，只有等式才能稱為方程，所以“=”不能替代為其他符號.此時，教師可以對知識進行拓展，如果轉換為其他符號，所得到的式子稱為一元二次不等式.

3.歸納總結，內化概念

基于上述探究活動，促使學生進行自主歸納.

（1）只包含1個未知數，其中未知數最高次數為2，二次項系數不為0，

（2）一般情況下，對于任何一個關于x的一元二次方程，在經過整理之后，能夠將其轉化為[ax2+bx+c=0（a≠0）]，因此稱為一元二次方程的一般式.

（四）第四階段“圖式階段”

基于一元二次方程的概念組織學生進行練習.

（1）將方程[5x（x-1）=4（x+2）]轉化為一般式.

（2）方程[（2a-4）x2-2x+a=0]，在怎樣的條件下為一元二次方程？在怎樣的條件下為一元一次方程？

（3）一扇長方形的門，高比寬長六尺八寸.對角線為一丈，求高和寬各是多少？

（4）根據方程[（16-2x）（10-2x）=112]，聯(lián)系實際自主編寫一道應用題.

二、基于APOS理論的“一元二次方程”四階段教學反思

在APOS理論的指導下，在教學“一元二次方程”這一概念的過程中，嚴格遵循四個階段組織概念教學，既實現(xiàn)了循序漸進，也帶領學生親歷具體的概念形成過程，體驗生動多維的思維活動，深化對概念的認知和了解，順利實現(xiàn)對概念的建構.

在數學這門學科中，抽象是其中一個最為關鍵的特點，形象化的表述方式更突顯了這一特質，所以對于師生而言都需要經受抽象的考驗，如果不能有效解決這一問題，很顯然不能完全理解數學知識，但是如果以此為由，抹去原本的現(xiàn)實背景，實際上這也是片面認知.因此，不僅要為學生搭建良好的平臺，使學生體驗數學的發(fā)生以及發(fā)展過程，也應當創(chuàng)設合理真實的情境，這樣的數學教學才不會僅停留于活動層面，才不會放棄對抽象數學的追求，體會其獨有的美感.

1.基于問題情境，設計數學活動

針對學生活動的設計，需要配以相應的問題情境，而這一情境，既要能夠揭示數學知識的現(xiàn)實背景，也要能夠展現(xiàn)具體的形成過程，更要能夠與學生現(xiàn)階段的學習水平以及心理建構能力相吻合，只有學生在活動過程中擁有充足的體驗，才能夠激發(fā)其主動學習的興趣.

2.關注概念形成，培養(yǎng)數學思維

在數學這門學科中，數學思維方法是揭示知識產生的關鍵所在，同時也是促進思維架構概念的關鍵主線，需要教師基于學生的學習過程給予相應的提示和建議，引導學生在總結中完成歸納，通過巧妙靈活的設計能夠就此激發(fā)學生的反思，使學生可以順利完成，由活動、過程向對象這一階段的過渡.

3.堅持循序漸進，提升創(chuàng)新能力

對于任何一個數學概念而言，從過程發(fā)展到對象，其間需要經過多次反復，需要經歷一個漫長的循序漸進的過程.在建立對象時，必須要保障簡練的語言形式以及符號表達，這樣才有助于學生架構直觀的結構形象.當然對于這一理論而言，也不需要在一堂概念教學中展現(xiàn)所有的階段，也并非需要經歷所有階段.

APOS理論是依托于數學概念而建構的教學理論，基于教學實踐，讓我深刻地體會到自身角色以及任務的轉變.在這一過程中，教師不是獨奏者，也不是知識的傳授者，而是為學生搭建平臺，引領學生主動發(fā)現(xiàn)，主動學習，師生共建伙伴關系，能夠營造輕松愉悅的學習氛圍，能夠表達個性、放飛自我，從而促進創(chuàng)新能力的進一步提升.

總之，基于教學本課的實踐經驗，我深刻地體會到了教師這一身份的轉變，同時轉變的還有教學任務，我們教師是學生學習平臺的搭建者，是學生思維的引領者，是學生學習的最佳伙伴.希望在教師的引領下，能夠營造愉悅的氛圍，能夠促使學生展現(xiàn)自我、發(fā)展個性，促進學生創(chuàng)新能力進一步提升.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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（責任編輯 黃桂堅）