李海北

（廈門雙十中學(xué)，福建 廈門 361009）

2021 年教育部考試中心共命制了兩套不分文理的新高考數(shù)學(xué)試卷，兩套試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的試題，體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)主線的重點(diǎn)考查.導(dǎo)數(shù)試題除了考查常規(guī)的函數(shù)單調(diào)性外，重點(diǎn)考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題.

一、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

研究函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般是先確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.如果f(x)在區(qū)間D 內(nèi)單調(diào)，且在區(qū)間D 內(nèi)存在x1、x2，滿足f(x1)＜0,f(x2)＞0，那么f(x)在區(qū)間D內(nèi)有唯一零點(diǎn).而對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)f(x)，除了可以直觀判斷的一些特殊點(diǎn)外，要在區(qū)間D 內(nèi)直接找到x1和x2常常是很困難的.如果將f(x)中的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)放縮為冪函數(shù)，并保持放縮后的新函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的極限不變，再通過放縮后的函數(shù)找“點(diǎn)”，難度就大大降低了.

不難證明下列不等式，它們可用于函數(shù)的放縮.

依此類推，可以得到更多的不等式.當(dāng)然，在解答題的求解過程中，用這些不等式必須先給出證明.

例1（2021 年新高考全國(guó)Ⅱ卷第22 題）已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b.

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：f(x)有一個(gè)零點(diǎn).

分析與探究第（1）題是常規(guī)題.對(duì)于第（2）題，若選①，由（1）知，f(x)的增區(qū)間是(-∞,0)，(ln 2a,+∞)，減區(qū)間是(0,ln 2a).

因?yàn)閎＞2a＞1，所以f(0)=-1+b＞0（x=0 是可以看出一個(gè)特殊點(diǎn)）.要證明f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，一是要證明f(x)的極小值f(ln 2a) ＞0，二是要找到一個(gè)x0∈(-∞,0)，滿足f(x0)＜0.

f(ln 2a)=(ln 2a-1)·2a-a·(ln 2a)2+b＞2a·ln 2a-2a-a·(ln 2a)2+2a=a·ln 2a·(2-ln 2a)≥0.

當(dāng)x→-∞時(shí)，對(duì)f(x) 的值起主要作用的是-ax2→-∞，而(x-1)ex→0-，可以把它略去.即當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，(x-1)ex＜0，f(x) ＜-ax2+b.

若選②，證明的難點(diǎn)仍然是找到一個(gè)x0∈(0,+∞)滿足f(x0)＞0.

注意到當(dāng)x→+∞時(shí)，(x-1)ex要遠(yuǎn)比ax2大，可以考慮將ex縮小為xn，并確保(x-1)xn要遠(yuǎn)比ax2大，所以x＞1 且n=2 即可.

當(dāng)x＞1 時(shí)，ex＞x2，

f(x) ＞(x-1)x2-ax2=x2(x-1-a)+b，

當(dāng)x≥2+a時(shí)，x2＞1，f(x) ＞x-1-a+b.

取x0=max{2+a,1+a-b}∈(0,+∞)，則f(x0)＞0.

例2（2021 年新高考全國(guó)Ⅰ卷第7 題）若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

A.eb＜aB.ea＜bC.0 ＜a＜ebD.0 ＜b＜ea

分析與探究本題的實(shí)質(zhì)也是零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0)，則切線方程為y-ex0=ex0(x-x0).因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(a,b)，所以b-ex0=ex0(a-x0)，即(x0-a-1)ex0+b=0.

于是可以作兩線切線的充要條件是：

函數(shù)h(x)=(x-a-a)ex+b恰有兩個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)閔′(x)=(x-a)ex，所以h(x)在(-∞,a)上遞減，在(a,+∞)上遞增.

h(x)極小值=h(a)=-ea+b＜0，即b＜ea.

下面證明當(dāng)0 ＜b＜ex時(shí)函數(shù)h(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

可以看出，h(a+1)=b＞0，h(x)在(a,+∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn).

當(dāng)x→-∞時(shí)，(x-a-1)ex→0-，h(x) →b＞0.但要證明，還是要找到一個(gè)x1∈(-∞,a)，滿足h(x1)＞0.

作為選擇題，如果學(xué)生清楚切線的定義，理解當(dāng)割線的兩個(gè)交點(diǎn)無限接近時(shí)，割線無限趨近的確定位置就是切線，那就可以不必通過運(yùn)算推理，結(jié)合圖形就能得到點(diǎn)(a,b)在曲線y=ex與x軸之間.

近年高考?？疾楹瘮?shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，其難點(diǎn)也都是如何找“點(diǎn)”.下面就近年一些高考試題求解過程中涉及找“點(diǎn)”的部分說明如何先放縮再找“點(diǎn)”.

例3（源自2016 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理第21 題）已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex=a(x-1)2.當(dāng)a＞0 時(shí)，證明：存在x1∈(-∞,1)，f(x1)＞0；當(dāng)a＜0 時(shí)，證明：存在x2∈(1,+∞)，f(x2)＞0.

分析與深究當(dāng)a＞0,x＜0 時(shí)，ex＜0，(x-2)e3＞x-2，所 以f(x) ＞x-2+a(x-1)2=ax2-2ax=a+x-2 ＞ax2+x-2.

當(dāng)a＜0,x≥3 時(shí)，ex＞x2，

所以f(x) ＞(x-2)x2+a(x-1)2＞(x-2)x2+ax2=x2(x-2-a).

取x2=max{3,2-a}∈(1,+∞)，則f(x2)＞0.

例4（源自2017 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理第21 題）已知0 ＜a＜1，函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

證明：存在x1∈(-∞,-lna)，f(x1)＞0；存在，x2∈(-lna,+∞),f(x2)＞0.

則f(x2)＞ex2-x2＞0.

例5（源自2018 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理第21 題）已知函數(shù)證明存在x0∈(2,∞)，f(x0)＞0.

分析與探究當(dāng)x≥5 時(shí)，

取x0=max{5,a}∈(2,+∞)，則g(x0)＞0

例6（源自2021 年高考全國(guó)甲卷理第21 題）已知a＞1，函數(shù)g(x)=a·lnx-lna·x.證 明：存 在，g(x0)＜0.

分析與探究因?yàn)閘na·x關(guān)于x是一次的，所以要將a·lnx放大為關(guān)于x的次數(shù)小于1 的冪函數(shù)，以確保lna·x仍起主要作用.

二、函數(shù)極值點(diǎn)的偏移問題

例7（2021 年新高考全國(guó)Ⅰ卷第22 題）已知函數(shù).

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：

分析與探究第（1）題是容易題，f(x)的增區(qū)間是(0,1)，減區(qū)間是(1,+∞).第（2）題是難題，難點(diǎn)一是條件等式變形，難點(diǎn)二是不等式的證明.

將條件等式兩邊同除ab，并移項(xiàng)得

結(jié)合f(x)的表達(dá)式，可進(jìn)一步化為

左邊不等式的證明，在往年的高考題中多次出現(xiàn)，被稱為“極值點(diǎn)偏移”問題，一般用構(gòu)造函數(shù)法證明.如2010 年天津卷理第21 題、2016 年新課標(biāo)全國(guó)I卷理第21 題.

對(duì)于右邊的不等式，如果也用證明左邊不等式的方法，可有如下思路：

由第（1）題知，f(x)在(0,1)內(nèi)遞增，在(1,+∞)內(nèi)遞 減，f(e)=0，不妨設(shè)0 ＜x1＜1 ＜x2＜e，則x2,ex1∈(1,+∞).

x1+x2＜e?x2＜3-x1?f(x2)＞(e-x1)?f(x1)＞f(e-x1).

設(shè)F(x)=f(x)-f(e-x)，0 ＜x＜1，只要證明F(x) ＞0.

由F′(x)=-ln[x(e-x)]=0，得

易知f(x)在(0,α)內(nèi)遞增，在(α,1)內(nèi)遞減.

因?yàn)閒(x)在(1,+∞)內(nèi)遞減，

所以F(1)=f(1)-f(e-1) ＞0.

但因F(x)在x=0 處沒有意義，在高中階段無法嚴(yán)謹(jǐn)說明當(dāng)x∈(0,α)時(shí)，F(xiàn)(x) ＞0.

如下證法很好地避開了函數(shù)在x=0 處的值.

由0 ＜x1＜1，得1-lnx1，x1(1-lnx1)＞x1，即f(x1)＞x1?f(x2)＞x1.

所以x1+x2＜x2+f(x2)=2x2-x2lnx2.

設(shè)h(x)=2x-xlnx，1 ＜x＜e.

則h′(x)=1-lnx＞0，h(x)在(1,e)內(nèi)遞增.

所以h(x2)＜h(e)=3，這就證明了x1+x2＜e.

如果教師將這樣的證法講給學(xué)生，學(xué)生只會(huì)感嘆太精彩、太巧妙，但想不到、記不住，下次遇見仍然不會(huì)，更別說舉一反三了.要避免只給學(xué)生講解法，而要讓學(xué)生體會(huì)并明白解法的背景和構(gòu)思的理由.

下面從函數(shù)圖象上對(duì)x1+x2給出一個(gè)直觀的解釋.

圖1

設(shè)T 為圖象的頂點(diǎn)，MN 為線段OE 的中垂線，作直線OT、直線OT 關(guān)于直線MN 對(duì)稱的直線EN.直線ON 的方程是y=x，直線EN 的方程是y=-x+e.從圖中可以看出，

因?yàn)閒(x1)=f(x20，將以上兩式相加即得

x1+x2=e.

這就很自然地引導(dǎo)學(xué)生去證明f(x1)＞x1和f(x2)+x2＜e.

綜上，文章通過新高考全國(guó)數(shù)學(xué)卷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及極值點(diǎn)偏移問題的分析與探究，提出了先將超越函數(shù)放縮成冪函數(shù)及“以直代曲”構(gòu)造函數(shù)的思路，并通過近年全國(guó)高考試題的類比，找到了解答此類問題的通性通法，優(yōu)勢(shì)是做一題得一法會(huì)一類的目的，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”.