楊蒼洲

（1.泉州第五中學(xué)，福建 泉州 362000；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025）

一、2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷的試題特點(diǎn)

2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷的最大特點(diǎn)就是沒有“亮點(diǎn)”.所謂的“亮點(diǎn)”，是比喻有光彩而引人注目的人或事物.在命題活動(dòng)中，為了博人眼球，命題人常常設(shè)計(jì)一些新、奇、繁、偏的試題，此類試題雖然“引人注目”，往往卻忽視了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查.2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷試題表述簡潔明了、清晰到位，背景熟悉親切、平易近人；內(nèi)容豐富飽滿、思想深刻；解法開放多樣，倡導(dǎo)創(chuàng)新.試題基于高中數(shù)學(xué)各知識(shí)板塊的核心知識(shí)，重點(diǎn)考查考生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，突出理性思維在數(shù)學(xué)解題中的重要作用，有效檢測了考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（一）試題重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)

數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)過程中最原始的知識(shí)積累，是數(shù)學(xué)解題的直接依據(jù).理解概念，并把概念應(yīng)用于解題，是對(duì)學(xué)習(xí)者的基本要求.本卷注重對(duì)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的全面考查，第5 題考查了橢圓的定義，第8 題考查了相互獨(dú)立事件的定義，第13 題考查了偶函數(shù)的定義，第21 題第（1）問考查了雙曲線的定義等，由此可以看出命題者充分關(guān)注了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，重在檢測考生對(duì)基本概念的掌握與應(yīng)用水平.

題1：（2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第13 題）知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù)，則a=______.

本題意在檢測考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.主要考查函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題，考生只需掌握奇偶性的定義即可順利解題.利用偶函數(shù)的定義，由f(-x)=f(x)，可得x3(a· 2x-2-x)=-x3(a· 2-x-2x)，整理得(a-1)(2x+2-x)=0，解得a=1.

題2：（2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第8 題）有6 個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1 個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）.

A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立

要判斷事件A,B是否獨(dú)立，需判斷P(A)P(B)=P(AB)是否成立，因此先計(jì)算事件A,B對(duì)應(yīng)概率.由于P(甲)=，P(乙)=，P(丙)=，P(丁)=P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，故甲與丙不相互獨(dú)立；P(甲丁)==P(甲)P(丁)，故甲與丁相互獨(dú)立；P(乙丙)=≠P(乙)P(丙)，故乙與丙不相互獨(dú)立；P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)，故丙與丁不相互獨(dú)立.故選：B.

本題考查了相互獨(dú)立事件的定義，貌似基礎(chǔ)、簡單，考后了解了幾個(gè)考生，發(fā)現(xiàn)正確率很低.這是由于考生在學(xué)習(xí)過程中不重視概念的學(xué)習(xí)，也是高三總復(fù)習(xí)“重術(shù)輕道”的結(jié)果.命題者把它安排在單選題壓軸題位置正，是對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的警示和導(dǎo)向.

（二）試題重點(diǎn)考查基本技能

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》提出了七項(xiàng)基本能力：抽象概括、推理論證、數(shù)據(jù)處理、空間想象、運(yùn)算求解以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)具備應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力.如，本卷第4 題的求解需要運(yùn)用“換元”思想，第6題的求解需要運(yùn)用“消元”思想，這些試題對(duì)考生的運(yùn)算求解能力都有較高的要求.為了提高運(yùn)算求解能力，就應(yīng)先掌握換元法、消元法、主元法、配方法、待定系數(shù)法等一些常用、具體的運(yùn)算技能.

題3：（2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第4 題）下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）.

“換元法”是研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）圖象性質(zhì)的常用方法.解題時(shí)，把ωx+φ看作一個(gè)整體，令t=ωx+φ，此時(shí)只需要研究y=sint的性質(zhì)即可得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的相應(yīng)性質(zhì).

題4：（2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第6 題）若tanθ=-2，則=（ ）.

思路一，“齊次化”是求“含sinθ,cosθ式子的值”的常用方法.本題可以將待求的式子進(jìn)行齊次化處理，然后再化弦為切，代入tanθ=-2，即可得到結(jié)果.

思路二，“消元”是解題的常見思路、基本技能.條件和結(jié)論的式子中含有sinθ,cosθ,tanθ，也含有θ，2θ，因此，我們考慮進(jìn)行“消元”.首先對(duì)“化同角”，即把“2θ”化成“θ”，消去“2θ”，原式可化為此時(shí)待求的式子含有sinθ,cosθ，而已知的式子含有tanθ，因此考慮“切化弦”消去“tanθ”，由tanθ=-2 得，即sinθ=-2 cosθ，因此

本題如果利用tanθ=-2，求出sinθ,cosθ的值，還需要分象限進(jìn)行討論，通過齊次化處理，或者通過消元處理都可以避開了這一討論.

（三）試題重點(diǎn)考查基本思想

化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想是高中數(shù)學(xué)最重要的，也是最基本的數(shù)學(xué)思想.［1］“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，可以使得第7 題的解題過程更加直觀、簡潔；而第15 題，為了推進(jìn)解題的進(jìn)展，需要對(duì)絕對(duì)值內(nèi)式子的符號(hào)進(jìn)行分類討論，而后整合所有可能出現(xiàn)的各種情況，這種分類與整合的思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種重要的解題策略.

題5：（2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第7 題）若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）.

A.eb＜aB.ea＜bC.0 ＜a＜ebD.0 ＜b＜ea

思路一，作出函數(shù)y=ex的圖象，若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則點(diǎn)(a,b)需在曲線y=ex下方，同時(shí)，點(diǎn)()a,b也需在x軸的上方.因此應(yīng)滿足0 ＜b＜ea.故選：D.

上述思路主要是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，化抽象為具體，從圖像中直觀感知得點(diǎn)(a,b)與曲線y=ex的位置關(guān)系，并根據(jù)點(diǎn)線的位置關(guān)系得到相應(yīng)的不等關(guān)系.我們再來感受一下另一種常規(guī)的思路：

思路二，對(duì)函數(shù)y=ex求導(dǎo)得y′=ex，所以曲線y=ex在點(diǎn)P(t,et)處的切線方程為y-et=et(x-t)，即y=etx+(1-t)et.由題意可知，點(diǎn)(a,b)在直線y=etx+(1-t)et上，可 得b=aet+(1-t)et=(a+1-t)et.令f(t)=(a+1-e)et，則f′(t)=(a-t)et.當(dāng)t＜a時(shí)，f′(t) ＞0，此時(shí)函數(shù)f(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t＞a時(shí)，f′(t) ＞0，此時(shí)函數(shù)f(t)單調(diào)遞減.所以，f(t)max=f(a)=ea.作出函數(shù)f(t)的圖象如下圖所示，由圖可知，當(dāng)0 ＜b＜ea時(shí)，直線y=b與曲線y=f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.

比較上述兩種解題思路，可以看出思路一比思路二更加直觀、快捷.思路一運(yùn)用的是數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題最常用且有效的方法之一，它在本題中的優(yōu)勢體現(xiàn)得淋漓盡致.

題6：（2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第15 題）函數(shù)f(x)=|2x-1 |-2 lnx的最小值為______.

本題中函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，因此我們需要討論、x＞1 這三種情況，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求f(x)最小值.

由題設(shè)知 ：f(x)=|2x-1 |-2 lnx定義域?yàn)?0,+∞)，所以當(dāng)時(shí)，f(x)=1-2x-2 lnx，此時(shí)f(x) 單調(diào)遞減；當(dāng)＜x≤1 時(shí)，f(x)=2x-1-2 lnx，有f′(x)=，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞1 時(shí)，f(x)=2x-1-2 lnx，有f′(x)=2-，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增.故f(x)≥f(1)=1，f(x)的最小值為1.

求解含有絕對(duì)值的函數(shù)的有關(guān)問題，往往需要進(jìn)行分類討論.分類討論的關(guān)鍵在于如何確定分類討論的分界點(diǎn)，含絕對(duì)的函數(shù)談?wù)摰姆纸琰c(diǎn)是由絕對(duì)值內(nèi)數(shù)式的符號(hào)決定的.為此必須搞清楚討論的標(biāo)準(zhǔn).

（四）試題重點(diǎn)考查基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

解題過程中，思維起點(diǎn)往往不是從零開始的，而是建立在已有解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上.解題入口的突破，解題思路的形成，解題計(jì)劃的執(zhí)行都依賴于已有的解題經(jīng)驗(yàn).因此，積累解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是提高數(shù)學(xué)能力的有效方法，也是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.

題7：（2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第9 題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù)，則（ ）.

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

在《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊第九章《統(tǒng)計(jì)》（人民教育出版社A 版）的“第9.2.4 節(jié)《總體離散程度的估計(jì)》的練習(xí)第2 題”和“第9.2 節(jié)《用樣本估計(jì)總體》的習(xí)題9.2 第4 題”兩題都推導(dǎo)了下述結(jié)論：數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為E(x)，方差為D(x)；數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)為E(y)，方差為D(y).若yi=axi+b(i=1,2,…,n)，則E(y)=aE(x)+b，D(y)=a2D(x).

上述結(jié)論簡潔、優(yōu)美，這也是我們在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中積累下的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在后續(xù)的解題活動(dòng)，理應(yīng)在此活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)下進(jìn)行.

本題中a=1,b=c，因此有E(y)=E(x)+c，D(y)=D(x)，由于c≠0，故平均數(shù)不相同，方差相同，故A 錯(cuò)誤，C 正確.對(duì)于B，若第一組中位數(shù)為xi，則第二組的中位數(shù)為y1=xi+c，顯然不相同，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由極差的定義知：若第一組的極差為xmax-xmin，則第二組的極差為ymax-ymin=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin，故極差相同，正確.故選：CD.

題8：（2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第9 題）記△ABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin ∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC.

第（1）步易證.第（2）步的求解，常用下述三種方法.

方法一，“算兩次”思想，由∠ADB=π-∠CDB，得cos ∠ADB=-cos ∠CDB，并在△ADB和△CDB中應(yīng)用余弦定理，即可得到a,b,c的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合b2=ac，可求得，cos ∠ABC的值；或在△ADB和△ACB中應(yīng)用余弦定理兩次求解∠A，即可得到a,b,c的數(shù)量關(guān)系.

方法三，利用平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可過D作DE∥BC，交AB于E，則△BCD中，BD=b，ED=，∠BEC=π-∠B，由余弦定理可得b2=后續(xù)同解法二；或可過A作AF∥BD，交BD于F，則△BAF中，BF=3b，AF=2a，BA=c，∠BAF=π-∠B，由余弦定理可得9b2=c2+4a2+4accosB，后續(xù)同解法二.

第（2）步中的圖形模型：由一個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形的圖形，我們把它稱之為“爪型三角形”.在解決“爪型三角形”的問題中，我們歸納出三種常見的思維起點(diǎn)：“算兩次”思想，向量法，利用平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化.此三種方法是在“爪型三角形”的求解過程中積累的解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在后續(xù)的解題活動(dòng)中，當(dāng)遇上“爪型三角形”的相關(guān)問題時(shí)，我們思維就應(yīng)該從“經(jīng)驗(yàn)”的碼頭揚(yáng)帆啟航，乘風(fēng)破浪.

二、幾點(diǎn)教學(xué)啟示

（一）注重?cái)?shù)學(xué)定義、定理、概念、法則、公式等的形成過程和內(nèi)涵

在新授課的教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)定義、定理、概念、法則、公式等的形成過程和內(nèi)涵，而不能只注重新知識(shí)在解題過程中的應(yīng)用.如：2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第10 題是平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的試題，從題干中p1,p2,p3三點(diǎn)的坐標(biāo)形式，我們應(yīng)聯(lián)想到三角函數(shù)的定義，由此判斷出點(diǎn)p1(cosα,sinα)，p2(cso(-β),sin(-β))，p3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0) 在以O(shè)為圓心的單位圓上，且∠xOP1=α，∠xOP1=-β，∠P1OP3=β.在平面直角坐標(biāo)系中，畫出單位圓及點(diǎn)p1,p2,p3,A，理解各答案支所表示的幾何意義，不需計(jì)算即可從圖中看出試題的答案.若只是簡單記住三角函數(shù)的定義，則難以順利解題，只有理解三角函數(shù)的定義的內(nèi)涵與外延，體驗(yàn)“三角函數(shù)”的定義過程，方能聯(lián)想遷移、合理應(yīng)用，從而又快又準(zhǔn)地解決問題.

（二）總結(jié)解題的通性通法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

習(xí)題課是培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)、方法、技能的重要陣地.在習(xí)題、例題的講授過程中，應(yīng)注意歸納“多題一法”，總結(jié)解題的通性通法；應(yīng)多進(jìn)行“一題多解”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.如，2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第20 題考查立體幾何，第（1）問，要證“線線垂直”，應(yīng)轉(zhuǎn)化為證明“線面垂直”；要證“線面垂直”，一般轉(zhuǎn)化為證明“線線垂直”或“線面垂直”.在平時(shí)的習(xí)題課中，教師要引導(dǎo)學(xué)生歸納出“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間互相轉(zhuǎn)化的方法規(guī)律，掌握“一法”求解“多題”.在第（2）問中，關(guān)鍵在于根據(jù)條件二面角的大小求解三棱錐的高，此類問題一般可以采用幾何法或空間向量法.而用幾何法求解二面角，又有幾種常見的思路：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法等.［2］習(xí)題課中，應(yīng)適時(shí)進(jìn)行一題多解，授于學(xué)生多種“漁”的手段，學(xué)生也要養(yǎng)成一題多思的思維習(xí)慣，在解決陌生問題時(shí)方能如魚得水、左右逢源.

（三）應(yīng)關(guān)注前期學(xué)習(xí)過程存在的問題，并有針對(duì)性地查缺補(bǔ)漏

復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是完成課程的梳理，是強(qiáng)化重點(diǎn)、深化知識(shí)、活化技能的過程.復(fù)習(xí)課除了構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化之外，還應(yīng)關(guān)注前期學(xué)習(xí)過程存在的問題，并有針對(duì)性地查缺補(bǔ)漏.如2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第17題考查遞推數(shù)列問題，對(duì)于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等來求解問題.這類分奇偶的雙數(shù)列問題在平時(shí)的練習(xí)中較為少見.［3］在《數(shù)列》章節(jié)的復(fù)習(xí)課中，若能對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的求法進(jìn)行全面的歸納總結(jié)，并關(guān)注到此類“冷門”題型，基于此類問題，總結(jié)其解法，揭示此其本質(zhì)，這對(duì)加深數(shù)列知識(shí)的認(rèn)識(shí)是大有裨益的.