陳智猛 余亮

摘? 要：本節(jié)課教學(xué)的核心是畫出正弦函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)[Tx0，sinx0]，經(jīng)歷觀察角[α]與[sinα]的變化、教師示范、計(jì)算機(jī)演示、學(xué)生用“手工細(xì)線纏繞”法實(shí)踐操作四個(gè)步驟.誘導(dǎo)公式是反映圓周運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的代數(shù)式，它在簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的研究過程、由正弦曲線得到余弦曲線等方面都發(fā)揮著作用，使得數(shù)與形的聯(lián)系得到充分體現(xiàn).

關(guān)鍵詞：正弦函數(shù);圖象與性質(zhì);誘導(dǎo)公式;教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)圖象的畫法.

（2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最大（?。┲?

2. 內(nèi)容解析

內(nèi)容的本質(zhì)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的本質(zhì)是周期現(xiàn)象的直觀表示與代數(shù)表示，也是函數(shù)圖象與性質(zhì)研究的延續(xù).

蘊(yùn)涵的思想和方法：三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型，函數(shù)的圖象是周期現(xiàn)象的直觀體現(xiàn)，函數(shù)的性質(zhì)是周期變化規(guī)律的代數(shù)表現(xiàn)，所以模型思想、數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中的重要思想方法. 同時(shí)，由局部的正弦曲線得到完整的正弦曲線、由正弦曲線得到余弦曲線的過程中也蘊(yùn)涵了換元轉(zhuǎn)換的思想方法.

知識(shí)的上、下位關(guān)系：三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，是研究度量幾何的基礎(chǔ)，作為函數(shù)的下位知識(shí)，基本遵從函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究路徑：現(xiàn)實(shí)背景—函數(shù)概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用. 由于三角函數(shù)自身的特殊性，要充分借助單位圓及圓周運(yùn)動(dòng)的特性去研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 因此，研究正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是根據(jù)定義借助單位圓直接畫出函數(shù)的圖象，再利用圖象直觀研究函數(shù)的性質(zhì);而研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)是以定義為岀發(fā)點(diǎn)，先研究函數(shù)的部分性質(zhì)，再結(jié)合定義和這些性質(zhì)研究函數(shù)的圖象，然后借助觀察圖象進(jìn)一步獲得函數(shù)的其他性質(zhì).

育人價(jià)值：用三角函數(shù)來刻畫圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)角度與點(diǎn)的“位置”間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種思想方法幫助人們?cè)谟^察客觀事物的運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，能建立起不同要素之間的聯(lián)系，并用這種聯(lián)系去研究、發(fā)現(xiàn)事物的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，對(duì)提升人們的認(rèn)識(shí)水平有重要意義和價(jià)值. 因此，學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)很有必要. 一方面，幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究路徑;另一方面，引導(dǎo)學(xué)生感受周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的變化規(guī)律及相應(yīng)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象及主要性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大（?。┲?研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般思路和方法.

5. 數(shù)學(xué)之美，潤(rùn)物無聲

聯(lián)系之美. 事物的發(fā)展總是相互聯(lián)系的，數(shù)學(xué)問題的研究也不例外. 在三角函數(shù)圖象的研究過程中，既聯(lián)系以往指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)圖象的研究路徑，也聯(lián)系三角函數(shù)的定義、單位圓、三角函數(shù)的基本性質(zhì)（即誘導(dǎo)公式）. 三角函數(shù)圖象的研究堪稱范例，完美詮釋了函數(shù)圖象的研究過程，也為其他復(fù)雜函數(shù)圖象的研究提供范式，即結(jié)合基本性質(zhì)，由定義（解析式）先畫出某區(qū)間上的圖象，再通過擴(kuò)展畫出完整的函數(shù)圖象.

變換之美. 三角函數(shù)圖象的另一種研究方法是圖象變換. 這也給出了復(fù)雜函數(shù)圖象的研究范式，即利用圖象變換由簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象得到復(fù)雜函數(shù)的圖象.

任意之美. 要求準(zhǔn)確描繪函數(shù)[y=sinx，x∈0，2π]的圖象上的任意一點(diǎn). 這是數(shù)學(xué)的普適性和一般性的表現(xiàn).

幾何之美. 將圓周12等分，這些點(diǎn)在單位圓上是對(duì)稱的，從0到[2π]進(jìn)行12等分，這些值的分布是均勻的，這就是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)——對(duì)稱美、均勻美.

數(shù)學(xué)之美需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、去感受！

參考文獻(xiàn)：

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[2]郭慧清，曾勁松.“函數(shù)的概念及其表示”教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)反思與點(diǎn)評(píng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2019（28）：25-35.