范習(xí)昱
摘 要:解三角形內(nèi)容在各省高考中是基礎(chǔ)內(nèi)容,也是必考內(nèi)容,是考生的得分基礎(chǔ).筆者精選部分高考題,加以分類例析,總結(jié)出求解此類問題的規(guī)律,希望對讀者有所啟發(fā).
關(guān)鍵詞:解三角形;高考題;分類例析
中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0026-04
在高考中,相比其它知識點(diǎn),對于解三角形這一內(nèi)容來說,其??碱}型和考查方式相對較為固定,難度也不算太大,是考生的基礎(chǔ)得分處,其重要性不言而喻.在我的教學(xué)實(shí)踐中,卻總發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生依然顯得頗為困難,失分嚴(yán)重.在近十年的各地的高考試卷中,特精選了部分經(jīng)典的高考題加以分類例析,從此類問題的常規(guī)解題思路出發(fā),分析和總結(jié)了一些具有規(guī)律性的東西,希望對讀者有幫助.
一、求解三角形中的角與邊或其它相關(guān)要素
例1 △ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若
c=2,b=6,B=60°,則C=.
解析 由已知B,b,c
求C可聯(lián)想到使用正弦定理:
bsinB=csinCsinC=csinBb,代入可解得:
sinC=12.
由c<b,可得:C<B=60°,所以C=30°.
例2 已知a,b,c
分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,且有
acosC+3asinC-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,且△ABC的面積為3,求b,c.
解析 (1)acosC+3asinC-b-c=0
sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0
sinAcosC+3sinAsinC-sin(A+C)-sinC=0
sinAcosC+3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0
即3sinA-cosA=12sin(A-π6)=1
sin(A-π6)=12
∴A-π6=π6或A-π6=5π6(舍),∴A=π3.
(2)S△ABC=12bcsinA=3bc=4,
a2=b2+c2-2bccosA4=b2+c2-bc,
∴b2+c2-bc=4bc=4b2+c2=8bc=4,可解得b=2c=2.
例3 設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=3,那么△ABC外接圓的半徑為().
A.1B.2C.2D.4
解析 因?yàn)椋╝+b+c)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2-a2=3bc,化為b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12,又因?yàn)锳∈(0,π),所以A=π3,由正弦定理可得2R=asinA=332=2,所以R=1,故選A.
反思總結(jié)
求解三角形的某個(gè)角或者邊,是高考中解三角形??碱}型中最為基礎(chǔ)的一類,難度一般不大,主要考查正余弦定理的直接應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在與邊角的合理互化,出現(xiàn)多解要注意檢驗(yàn)取舍.一些高考題中還會考查三角形的外接圓的半徑或者面積公式,但學(xué)生只要用對公式,有一定的轉(zhuǎn)化能力還是可以順利求解的.
練一練A:
1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cb,則∠C=().
A.π6 B.π4 C.π4或3π4 D.π3
2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,
∠ADC=60°,AB=27,BD=4.
(1)求△ABD的面積.
(2)若∠BAC=120°,求AC的長.
練一練A答案:
1.利用正弦定理,同角三角函數(shù)關(guān)系,原式可化為:1+sinAcosBcosAsinB=2sinCsinB,
去分母移項(xiàng)得:sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA,所以
sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,所以cosA=12.由同角三角函數(shù)得sinA=32.
由正弦定理:asinA=csinC,解得sinC=22,所以∠C=π4或3π4(舍),故選B.
2.(1)由題意,∠BDA=120°
在△ABD中,由余弦定理可得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°
即28=16+AD2+4ADAD=2或AD=-6(舍),
∴△ABD的面積S=12·DB·DA·sin∠ADB=12×4×2×32=23.
(2)在△ABD中,由正弦定理得
ADsinB=ABsin∠BDA,代入得sinB=2114,由B為銳角,故cosB=5714,
所以sinC=sin(60°-B)=sin60°cosB-cos60°sinB=217,在△ADC中,由正弦定理得ADsinC=ACsin∠CDA,∴2217=
AC32,解得AC=7.
二、判斷三角形的形狀
例4 在
△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,若c=2acosB,則三角形一定是().
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等邊三角形
解析 ∵c=2acosB,由正弦定理c=2RsinC,a=2RsinA,∴sinC=2sinAcosB
∵A,B,C為△ABC的內(nèi)角,∴sinC=sin(A+B),A,B∈(0,π),
∴sin(A+B)=2sinAcosB,sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,整理得sin(A-B)=0,
∴A-B=0,即A=B.故△ABC一定是等腰三角形.故選C.
例5 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sinB·sinC=sin2A,則△ABC的形狀是().
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等邊三角形D.腰直角三角形
解析 因?yàn)閟inB·sinC=sin2A,所以b2R·c2R=(a2R)2,也就是a2=bc,所以b2+c2=2bc,從而b=c,故a=b=c,△ABC為等邊三角形.故選C.
反思總結(jié)
判斷三角形的形狀是高考中解三角形中常見的題型,頻率很高,由于都是涉及三角形的核心知識并且起點(diǎn)低深受命題者的青睞.解題的關(guān)鍵是將題目的條件一般是含有邊和三角函數(shù)方程統(tǒng)一為邊或者角的形式,再進(jìn)行化簡就可以判斷出來.值得注意的是,這類題往往會結(jié)合三角恒等變換,比如兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等等,這對考生的三角恒等變換能力提出了很高的要求.
練一練B:
1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c且滿足acosB-bcosA=c,則△ABC是().
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形D.等腰三角形
2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosA=bcosB=ccosC,則△ABC是().
A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形
練一練B答案:
1.解析 利用正弦定理asinA=bsinB=csinC化簡已知的等式得:
sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sin(A-B)=sinC,
∵A,B,C為三角形的內(nèi)角,∴A-B=C,即A=B+C=π2,
則△ABC為直角三角形,故選B.
2.解析 ∵acosA=bcosB=ccosC,由正弦定理得:a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC代入得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,∴進(jìn)而可得
tanA=tanB=tanC,∴A=B=C,則△ABC是等邊三角形.故選D.
三、求解三角形中相關(guān)要素的最值或范圍
例6 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=22,b2-a2=16,
則角C的最大值為.
解析 在△ABC中,由角C的余弦定理可知:
cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab≥32,
又因?yàn)?<C<π,所以Cmax=π6.
當(dāng)且僅當(dāng)a=22,b=26時(shí)等號成立.
例7 已知△ABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列,a,b,c所對的角分別為A,B,C,則sinB+cosB的取值范圍是.
解析 ∵△ABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列,
∴ac=b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB,得cosB≥12
,
又∵0<B<π,∴B∈(0,π3],B+π4∈(π4,7π12],
可得sinB+cosB=2sin(B+π4)∈(1,2],故答案為(1,2].
例8 在△ABC中三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C,所對的邊分別是a,b,c,若
(b+2sinC)cosA=-2sinAcosC,且a=23,則△ABC面積的最大值是.
解析 ∵(b+2sinC)cosA=-2sinAcosC,
∴bcosA=-2(sinCcosA+sinAcosC)=-2sin(A+C)=-2sinB,則bsinB=-2cosA,結(jié)合正弦定理得-2cosA=asinA=23sinA,即tanA=-3,∠A=23π.
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12,化簡得b2+c2=12-bc≥2bc,故bc≤4,S△ABC=12bcsinA≤12×4×32=3,故答案為3.
練一練C:
1.在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列,b=3,則△ABC面積的取值范圍是.
練一練C答案:
解析 ∵△ABC中A,B,C成等差數(shù)列,∴B=π3.
由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=3sinπ3=2,∴a=2sinA,c=2sinC,
∴S△ABC=12acsinB=34ac=3sinAsinC=3sinAsin(2π3-A)=3sinA(32cosA+12sinA)=
32sinAcosA+32sin2A=34sin2A+32·
1-cos2A2=
34sin2A-34cos2A+34=32sin(2A-π6)+34,
∵△ABC為銳角三角形,∴
0<A<π2,0<2π3-A<π2,解得
π6<A<π2,
∴π6<2A-π6<5π6,∴12<sin(2A-π6)≤1,
∴32<32sin(2A-π6)+
34≤334,故△ABC面積的取值范圍是(
32,334].
反思總結(jié)
求解三角形中邊、角或者面積等三角形相關(guān)要素的最值或范圍是高考解三角形題型的??碱}型,也是讓學(xué)生感到較為困難的題型.解三角形題型的最值問題最為本質(zhì)的方法是構(gòu)建某個(gè)角的三角函數(shù),再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求其最值或者范圍.有時(shí)也轉(zhuǎn)化為邊,這時(shí)可以利用基本不等式進(jìn)行放縮求最值,但對于求范圍來說并不理想,這也是轉(zhuǎn)化為邊之后處理方式的最大弊端,在學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常會出現(xiàn)求解范圍不全的情況.彌補(bǔ)的方法是尋找邊之間的其它不等關(guān)系,比如三角形中任意兩邊之和大于第三邊等等一些邊之間的關(guān)系,再次利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮求最值.
四、基于解三角形的簡單綜合問題
例9 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知m=a,c-2b,n=cosC,cosA,且m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=5,△ABC的面積為3,求a.
解析 (1)由m⊥n,可得m·n=0,即2bcosA=acosC+ccosA,
即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosA=sinA+C,
∵sinA+C=sinπ-B=sinB,∴2sinBcosA=sinB,即sinB2cosA-1=0,
∵0<B<π,∴sinB≠0,∴cosA=12,
∵0<A<π,∴A=π3.
(2)由S△ABC=3,可得S△ABC=12bcsinA=3,∴bc=4,又b+c=5,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-3bc=13,∴a=13.
例10 設(shè)f(x)=sinxcosx-cos2(x+π4).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,角A,B,C,的對邊分別為a,b,c,若f(A2)=0,a=1,求△ABC面積的最大值.
解析 (1)由題意f(x)=12sin2x-1+cos(2x+π2)2=12sin2x-12+12sin2x=sin2x-12.
由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z);
由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ(k∈Z),得π4+kπ≤x≤3π4+kπ(k∈Z);
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-π4+kπ,π4+kπ](k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是[π4+kπ,3π4+kπ](k∈Z).
(2)∵f(A2)=sinA-12=0,∴sinA=12,
由題意A是銳角,所以 cosA=32.
由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,
可得1+3bc=b2+c2≥2bc
∴bc≤12-3=2+3,且當(dāng)b=c時(shí)成立.
∴12bcsinA≤2+34.∴△ABC面積最大值為2+34.
反思總結(jié)
三角函數(shù)綜合題有時(shí)以向量為背景進(jìn)行命制,比如結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與平行的充要條件、向量的數(shù)量積等等,其本質(zhì)依然是考察三角恒等變換或者三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).對于這類問題,我們的基本策略是將向量條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為三角條件,即關(guān)于三角形中邊角的三角方程或者表達(dá)式,然后依照案例的方法就可以解決.
練一練D:
1.在△ABC中,AB=7,BC=5,AC=6,則AB·BC等于().
A.19B.-19C.18D.-18
2.已知△ABC的面積為S,且AB·AC=S.
(1)求tan2A的值;
(2)若B=π4,CB-CA=3,求△ABC的面積S.
練一練D答案:
1.解析 ∵AB=7,BC=5,AC=6,
∴cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=72+52-622×7×5=1935,
AB·BC=AB·BC·cos(π-B)=7×5×(-1935)=-19.
故選B.
2.(1)設(shè)△ABC的角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c.
∵AB·AC=S,∴bccosA=12bcsinA,
∴cosA=12sinA,∴tanA=2.
∴tan2A=2tanA1-tan2A=-43.
(2)CB-CA=3,即AB=c=3,
∵tanA=2,0<A<π2,
∴sinA=255,cosA=55.
∴sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB
=255·22+55·22=31010.
由正弦定理知:
csinC=bsinBb=csinC·sinB=5,
S=12bcsinA=125·3·255=3.
參考文獻(xiàn):
[1]陳國林.三角函數(shù)問題靈活多變,多維探究發(fā)散思維[J].廣東教育(高中版),2020(11):22-24.
[責(zé)任編輯:李 璟]