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同角函數(shù)多姿多彩 平方關(guān)系魂?duì)繅?mèng)縈

2021-09-10 18:09:42杜龍安陳國(guó)林

杜龍安 陳國(guó)林

摘 要:三角恒等變換公式繁多,內(nèi)容繁雜,要想熟練掌握各個(gè)公式的變換,首先必須掌握同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系.

關(guān)鍵詞:同角函數(shù);平方關(guān)系;商除關(guān)系

中圖分類(lèi)號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)10-0007-03

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要包含商數(shù)關(guān)系:tanα=sinαcosα(α≠kπ+π2,k∈Z)和平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1(α∈R),商數(shù)關(guān)系能夠?qū)⒄泻瘮?shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)建立等式關(guān)系,實(shí)現(xiàn)弦切互化,平方關(guān)系對(duì)任意的角度都成立,這兩個(gè)基本關(guān)系是解決恒等變換的必要公式.

一、真題再現(xiàn)

例題 (2015福建卷)若sinα=-513,α為第四象限角,則tanα的值等于().

A.125 B.-125 C.512 D.-512

解析 解法一 因?yàn)閟inα=-513,α為第四象限角,所以cosα=1-sin2α=1213,故tanα=sinαcosα=-512.

解法二 通過(guò)畫(huà)直角三角形

先不考慮象限對(duì)三角函數(shù)的影響,由sinα=-513,可知直角三角形的另一直角邊為12,故tanα=512,下面考慮tanα值的正負(fù),因?yàn)棣翞榈谒南笙藿?,所以tanα=-512

二、真題變式

變式1 若tanα=512,α為第三象限角,則cosα的值等于().

A.-1213 B.-513 C.513 D.1213

解析 因?yàn)閠anα=sinαcosα=512,sin2α+cos2α=1,解得cosα=±1213,又α為第三象限角,所以cosα=-1213.

變式2 若tanα=-12,且cosα<0,則sin(π+α)=().

A.-55 B.-255 C.55 D.255

解析 ∵tanα=-12,∴α為第二或第四象限角,又cosα<0,∴α為第二象限角,

由sinαcosα=-12sin2α+cos2α=1,解得sinα=55cosα=-255.

∴sin(π+α)=-sinα=-55.

變式3 若tanα=512,則2sinα-3cosα4sinα-9cosα=.

解析

2sinα-3cosα4sinα-9cosα=2tanα-34tanα-9=2×512-34×512-9=-1344

變式4 若sinα+cosα=15,α∈(-π,0),則sinα-cosα=.

解析 由sinα+cosα=15,

平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=125,

整理得2sinαcosα=-2425.

∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925.

由α∈(-π,0),知sinα<0,

又sinα+cosα>0,

∴cosα>0,則sinα-cosα<0,

故sinα-cosα=-75.

三、解法歸納

1.同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用的注意事項(xiàng)

(1)同角并不拘泥于角的形式,如sin2α2+cos2α2=1,sin3xcos3x=tan3x(3x≠kπ+π2,k∈Z)都成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立;

(2)對(duì)于含有sinα,cosα的齊次式,可根據(jù)同角三角函數(shù)商的關(guān)系,通過(guò)除以某一齊次項(xiàng),轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子,即化弦為切,整體代入.

2.同角三角函數(shù)關(guān)系式的方程思想

對(duì)于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個(gè)式子,知一可求二,轉(zhuǎn)化公式為(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

四、針對(duì)演練

1.若tanα=3,則sin2αcos2α的值等于().

A.2B.3C.4D.6

解析 sin2αcos2α=

2sinαcosαcos2α=2tanα=2×3=6.

故選D.

2.(多選題)若α是第二象限的角,則下列各式中一定成立的是().

A.tanα=-sinαcosαB.1-2sinαcosα=sinα-cosα

C.cosα=-1-sin2αD.1+2sinαcosα=sinα+cosα

解析 由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,知tanα=sinαcosα,故A錯(cuò)誤;

因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵詓inα>0,cosα<0,所以sinα-cosα>0,sinα+cosα的符號(hào)不確定,所以1-2sinαcosα=(sinα-cosα)2=sinα-cosα,故B、C正確,D錯(cuò)誤.

故選:BC.

3.(2013華僑、港澳臺(tái)高考)已知tanx=2aa2-1,其中常數(shù)a∈(0,1),且x∈(0,π),則cosx=().

A.-2aa2+1 B.2aa2+1 C.a2-1a2+1 D.-a2+1a2+1

解析 ∵tanx=2aa2-1<0,其中0<a<1,x∈(0,π),

∴x 為鈍角,

又cos2x=1sec2x=11+tan2x=(a2-1)2(a2+1)2,

∴cosx=a2-1a2+1,故選C.

4.(2021屆寧夏銀川一中月考)1626年,阿貝爾特格洛德最早推出簡(jiǎn)寫(xiě)的三角符號(hào):sin、tan、sec(正割),1675年,英國(guó)人奧屈特最早推出余下的簡(jiǎn)寫(xiě)三角符號(hào):cos、cot、csc(余割),但直到1748年,經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家歐拉的引用后,才逐漸通用起來(lái),其中secθ=1cosθ,cscθ=1sinθ.若α∈(0,π),且3cscα+2secα=2,則tanα=().

A.513B.1213C.0D.-125

解析 由3cscα+2secα=2,得3sinα+2cosα=2,

又sin2α+cos2α=1,

聯(lián)立解得sinα=0cosα=1(舍)或sinα=1213cosα=-513,

∴tanα=sinαcosα=-125.故選D.

5.(20201屆黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知tanα=2,則sin2α-cos2α+12sin2α+cos2α等于().

A.89 B.119 C.67 D.47

解析 ∵tanα=2,sin2α+cos2α=1,

∴sin2α-cos2α+12sin2α+cos2α=2sin2α2sin2α+cos2α=2tan2α2tan2α+1=2×222×22+1=89.

故選A.

6.(2018華僑、港澳臺(tái)高考)已知α為第二象限的角,且tanα=-34,則sinα+cosα=().

A.-75 B.-34 C.-15 D.15

解析 tanα=sinαcosα=-34,①

sin2α+cos2α=1,②

又α為第二象限的角,

∴sinα>0,cosα<0,

聯(lián)立①②,解得sinα=35,cosα=-45,

則sinα+cosα=-15.

故選C.

7.(2020云南昆明一中月考)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=3x上,則cosα+sinαcosα-sinα=().

A.-2B.-1C.1D.2

解析 由已知可得,tanα=3,則cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=1+31-3=-2.

故選A.

8.(2021屆重慶八中段考)已知α∈(π,2π),tanα=-34,則cosα=.

解析 ∵α∈(π,2π),且tanα=-34,∴α∈(32π,2π),則cosα>0,

由sinαcosα=-34sin2α+cos2α=1,解得sinα=-35,cosα=45.

參考文獻(xiàn):

[1]彭樹(shù)德.“新教材解讀”之(11)——三角恒等變換[J]. 數(shù)學(xué)通訊:教師閱讀, 2009(06):1-4.

[2]陳國(guó)林.解決三角恒等變形問(wèn)題六種法則[J].教學(xué)考試,2017(38):51-53.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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