摘 要：學(xué)生的錯誤往往是學(xué)生思維的真實寫照，作為教師要抓住學(xué)生思維的偏差，分析學(xué)生致錯的原因而優(yōu)化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生使其突破困惑.

關(guān)鍵詞：抓住偏差;反思教學(xué);突破困惑

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0046-02

在教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常會出錯，錯誤也體現(xiàn)著學(xué)生最真實的思維，最自然的想法，在排除一個個錯誤與障礙之后，正確結(jié)論才呼之欲出.

一、特殊值引來偏差，想當(dāng)然任性而為

例1 若關(guān)于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數(shù)根x1，x2，且x1≠x2，有下列結(jié)論：①x1=2，x2=3;②m>-14;③二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

課堂上出示這道題目后，通過小組討論與交流后，平時比較機靈的幾個同學(xué)很快就說出了答案D.生1：取特殊值m=0，關(guān)于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數(shù)根x1=2，x2=3，于是結(jié)論①正確.由于m=0>-14，故結(jié)論②正確.當(dāng)m=0時，二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）.于是結(jié)論①②③都正確.

聽了這個小組的代表生1的想法后，筆者首先給予孩子們活躍的思維表現(xiàn)給予語言上的鼓勵，但是這里呈現(xiàn)出的思維偏差也是十分明顯的，即特殊代表不了一般.

選擇題利用特殊值在排除“錯誤”答案時有其獨特的優(yōu)勢，可以“一招制敵”.學(xué)生正是受此影響，思維定勢，誤認(rèn)為在選正確答案時也是如此，取一個特殊值驗證就可以，于是就產(chǎn)生了以偏概全的錯誤解法.

二、“想當(dāng)然”而為之

生2：“結(jié)論①x1=2，x2=3與結(jié)論③二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）是等價的，結(jié)論①錯了，結(jié)論③自然不正確，正確的只有②，”.

而事實上這是想當(dāng)然而為之，出現(xiàn)這種偏差是同學(xué)們在對結(jié)論③的認(rèn)知上忽略了二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m中的“m”了，誤認(rèn)為結(jié)論①與結(jié)論③等價，馬虎大意而出錯.

生3：“結(jié)論③中，二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0），由于二次函數(shù)解析式之“交點式”中有“m”這一項，所以函數(shù)與x軸的交點不可能是為（2，0）和（3，0），結(jié)論③錯誤.”

三、方程切線有玄機，數(shù)形結(jié)合突困惑

1.切線生疑，變式遞進

求解圓的切線方程的一個教學(xué)片斷：

例2 過圓x2+y2=25上一點（3，-4）的切線方程為（）.

A.3x+4y-25=0B.3x-4y-25=0

C.3x+4y-5=0D.3x-4y-5=0

生1：這是一道簡單題目，將點（3，-4）代入選項中4個直線方程，通過驗證只有B選項是符合的，很快得出選項B正確.

本題是直線與圓的位置關(guān)系中求解圓的切線問題，作為選擇題學(xué)生首先聯(lián)想到了特殊值法.如果是以解答題形式出現(xiàn)，我們又該如何求解呢？

生2：可以利用公式過圓x2+y2=r2上一點p（x0，y0）的切線方程為xx0+yy0=r2來求解，把點（3，-4）代入xx0+yy0=r2，得3x+4y=25，再化為一般式方程為3x+4y-25=0得解.

師：這個公式課本中并沒有明確介紹，只有平時喜歡探究的學(xué)生可以利用其直接計算，部分學(xué)生還是不甚熟悉，需要我們進行推導(dǎo).

生3：可以利用圓的切線性質(zhì)，圓的切線垂直于過切點的半徑.

生4：對，我們可以先以特殊值（3，-4）進行推導(dǎo)，再過渡到一般值.

生5：關(guān)鍵是求出切線的斜率，由直線的點斜式寫出其直線方程.

師：同學(xué)們說的很對，點斜式是我們求解直線方程的常用方法，請一位來同學(xué)陳述一下.

生6：過圓心（0，0）與點（3，-4）的直線（半徑所在直線）的斜率是k1=0+40-3=-43，故圓的切線所在直線的斜率k2與其互為負(fù)倒數(shù)，為34，由點斜式方程（y-y0）=k（x-x0）將點與斜率代入求得其切線方程.

生7：根據(jù)生6的方法我們將點（3，-4）換為（x0，y0），便可求得過圓x2+y2=r2上一點p（x0，y0）的切線方程為xx0+yy0=r2.

由此可以看出，學(xué)生的思維還是比較活躍，適當(dāng)增加難度，繼續(xù)深度探究.

2.數(shù)形結(jié)合，探究新知

例3 求過圓x2+y2-4x-4y+94=0外一點（3，-4）的切線方程？

生8：設(shè)所求切線方程的斜率為k，則其直線方程為y+4=k（x-3），化為一般式方程為kx-y-4-3k=0，又圓x2+y2-4x-4y+94=0的圓心坐標(biāo)為（32，32），半徑為32.則圓心到切線的距離為d=32k-32-4-3kk2+1=-112-32kk2+1=32，解得k=-5633，所以切線方程為y+4=-5633（x-3），即56x+33y-25=0.

學(xué)生們看著生8在黑板上的板書都附和著，認(rèn)為得來全不費工夫嘛.可孰知，一條切線已經(jīng)丟掉了.

師：不對，應(yīng)該還有一條切線方程的，學(xué)生們陷入了困惑.

師：請同學(xué)們看圖，顯然這樣的切線會有兩條.以幾何圖形驗證代數(shù)運算，生8的結(jié)果顯然是不全面的，無疑漏掉了一條切線方程.

有的學(xué)生根據(jù)圖形很快得出了另一條切線方程為x-3=0.

于是，過圓x2+y2-4x-4y+94=0外一點（3，-4）的切線方程為56x+33y-25=0或x-3=0.

3.糾正偏差，突破困惑

數(shù)形結(jié)合思想是我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須要關(guān)注的，有些代數(shù)問題輔助以幾何圖形，解決起來就省事許多.在本題中，正是數(shù)學(xué)結(jié)合才糾正了學(xué)生思維上的偏差，讓學(xué)生認(rèn)識到還有一條切線方程的存在.那么這條切線方程為何代數(shù)方法沒有求出來呢？

通過觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)切線x-3=0是垂直于y軸的，直線的傾斜角為90°，所以斜率不存在.因而在生8的求解中，設(shè)切線的斜率為k時，其前提必須是直線的斜率必須存在.這樣思考，也就不難理解為何代數(shù)法求出的切線方程只有一條了.

以上兩則教學(xué)案例表明，“想當(dāng)然”現(xiàn)象在學(xué)生的學(xué)習(xí)中普遍存在，學(xué)生的思維活躍而具有自身的封閉性，但學(xué)生是可塑的，他的思維依賴于教師的引導(dǎo).論語云：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，由此道明了學(xué)習(xí)與思考的邏輯關(guān)系.不思考的學(xué)習(xí)就是機械性的操作，會因迷茫而誤入陷阱;一味的空想不踏實鉆研一樣會誤入歧途而難有成就.只有將學(xué)與思融為一體，且學(xué)且思考，才能讓學(xué)習(xí)有效.其實，對學(xué)生的好多錯誤，多少老師僅一笑而過，沒有深思作為施教者應(yīng)該如何對待學(xué)生錯誤，如何反思優(yōu)化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生走出迷茫的困境呢！誠如以上兩則教學(xué)案例，尤其對于中等偏下學(xué)生，教師要關(guān)注課堂上他們點點滴滴的表現(xiàn)，在師生合作的辨析中去偽存真;切忌“一筆帶過”與“一笑而過”，要引領(lǐng)學(xué)生“頓悟”，開導(dǎo)學(xué)生“點悟”.也希望在我們平時“熱鬧”的數(shù)學(xué)課堂背后，教師能夠關(guān)注更多的教學(xué)“門道”，從發(fā)展學(xué)生思維的深度與廣度上多花力氣，在育人與樹人的理念上多下功夫，讓培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅是一句口號，更要扎扎實實落實在課堂教學(xué)中.

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[責(zé)任編輯：李 璟]