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由一道課本練習(xí)題引發(fā)的多角度探究

2021-09-10 18:09:42賀鳳梅
關(guān)鍵詞:多角度練習(xí)題課本

賀鳳梅

摘 要:課本上的習(xí)題在一定程度上具有典型性和示范性.作為一線教師,一定要認(rèn)真解讀教材,認(rèn)真鉆研教材,用好教材中的例題及練習(xí)題,對(duì)其內(nèi)涵進(jìn)行挖掘和提煉.通過(guò)多角度探究,讓學(xué)生弄通悟透,培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞:課本;練習(xí)題;多角度;探究

中圖分類(lèi)號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)10-0033-03

一、問(wèn)題展示

人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第72頁(yè)練習(xí)第題:過(guò)點(diǎn)M(2,0)作斜率為1的直線l,交拋物線y2=4x于A、B兩點(diǎn),求|AB|.

二、總體分析

已知拋物線y2=4x開(kāi)口向右,對(duì)稱軸為x軸,2p=4,p=2,即p2=1,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),所給直線l的方程為y=x-2.

本題所求問(wèn)題比較明確,就是求直線與已知拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)問(wèn)題.可以聯(lián)立方程,通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式求解;也可以通過(guò)弦長(zhǎng)公式求解等.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),本題是一道簡(jiǎn)單題,很基礎(chǔ),但是解題方法靈活多樣,可以一題多解.教學(xué)中我嘗試過(guò)引導(dǎo)學(xué)生多角度思考和探究,發(fā)現(xiàn)了多種解法,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和研究試題的積極性,達(dá)到了拓展學(xué)生的思維的目的.

三、試題解答

1.利用兩點(diǎn)間的距離公式求解

分析 這種解法的的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與拋物線的方程組成的方程組,求出方程組的公共解,即得兩交點(diǎn)的坐標(biāo),再代入兩點(diǎn)間的距離公式求解,便可以得出弦長(zhǎng).

解法1 由已知條件可知直線方程為y=x-2.

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),

聯(lián)立y=x-2,y2=4x,消去,得(x-2)2=4x,

整理得x2-8x+4=0,

由求根公式可得該方程的兩實(shí)根為x1=4+23,x2=4-23,

從而解得x1=4+23y1=4+23,x1=4-23y1=4-23,

所以A(4+23,

2+23)、B(4-23,2-23),

由兩點(diǎn)間的距離公式得

|AB|=[(4+23)-(4-23)]2+[

(2+23)-(2-23)]

=(43)2+(43)2=46.

所以|AB|=46.

解法2 鑒于本題中直線的方程為y=x-2,系數(shù)比較簡(jiǎn)單,也可以消去x,

由x=y+2y2=4x,消去x,得y2=4(y+2),

整理得y2-4y-8=0,

由求根公式可得該方程的兩實(shí)根為y1=4+23,y2=4-23,

從而得x1=4+23y1=4+23,x1=4-23y1=4-23,

下同解法1求弦長(zhǎng)|AB|=46.

評(píng)注 解法1和解法2的解題啟示是:運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng)時(shí),根據(jù)直線的特點(diǎn),可以靈活選擇消去或消去,當(dāng)然是以方便求解為原則.這種方法學(xué)生比較容易想到,通過(guò)此種求解過(guò)程,可以鍛煉和提高學(xué)生的計(jì)算能力.

2.利用弦長(zhǎng)公式求解

分析 這種解法的的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與拋物線的方程組成的方程組,消去x或者消去y,由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和以及兩根之積,代入相應(yīng)的弦長(zhǎng)公式,便可以求出弦長(zhǎng).

解法3 由解法1,有x2-8x+4=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=8,x1x2=4,直線斜率k=1,再代入弦長(zhǎng)公式

|AB|=1+k2|x1-x2|

=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2

即得|AB|=2·82-4×4

=2·48=46

解法4 同樣聯(lián)立y=x-2y2=4x,

由直線y=x-2方程變形得x=y+2,

代入拋物線y2=4x方程,消去x,得

y2=4(y+2),

整理得y2-4y-8=0,

可知y1、y2是以上關(guān)于y的方程的產(chǎn)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=4,y1y2=-8,

代入對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)公式

|AB|=1+1k2|y1-y2|

=(1+1k2)(y1+y2)2-4y1y2

得|AB|=2·42-4×(-8)=46.

評(píng)注 解法3和解法4比較而言,學(xué)生比較容易想到的是解法3,如果選擇使用弦長(zhǎng)公式求解,需要給學(xué)生講清楚的是聯(lián)立方程得到的方程組消元時(shí),同樣需要根據(jù)直線方程的特點(diǎn),以方便求解為前提條件.

3.構(gòu)造直角三角形,由邊角關(guān)系求解

分析 這種解法的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件,數(shù)形結(jié)合,找到直線與拋物線兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))、弦長(zhǎng)以及直線傾斜角之間的聯(lián)系,在所構(gòu)造的直角三角形中求解完成.

解法5 由已知條件,直線斜率k=1,所以直線的傾斜角為α=π4,

結(jié)合圖象可得弦長(zhǎng)|AB|=|y1-y2|sinα,

由解法4得

|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2

=42-4×(-8)=43

故可求得|AB|=43sinπ4=46.

.

解法6 結(jié)合圖象及解法5,可得弦長(zhǎng)也可表示為|AB|=|x1-x2|cosα,

由解法3得

|AB|=(x1+x2)2-4x1x2=82-4×4=43

因此,|AB|=43cosπ4=4322=46.

評(píng)注 以上兩種方法在平時(shí)的解題中并不常見(jiàn),當(dāng)直線的傾斜角比較特殊時(shí)用此法方便快捷.傾斜角如果不特殊,借助于k=tanα(α≠π2,以及平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解可得sinα或cosα).

4.利用直線的參數(shù)方程求解

分析 這種求解方法的關(guān)鍵是利用直線參數(shù)方程的幾何意義,當(dāng)直線參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),將直線的參數(shù)方程中的x和y代入拋物線方程,得到關(guān)于t的一元二次方程,借助根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理),以及|AB|=|t1-t2|,可順利求解完成解答.

解法7 由條件直線過(guò)點(diǎn)m(2,0),傾斜角為α=π4,則直線的參數(shù)方程為

x=2+22t,y=22t,(t為參數(shù)),

代入拋物線y2=4x方程得(22t)2=4(2+22t),

整理得t2-42t-16=0,

設(shè)A、B兩點(diǎn)的參數(shù)分別為t1、t2,由參數(shù)的幾何意義得

t1+t2=42,t1t2=-16.

|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2

=(42)2-4×(-16)=46

評(píng)注 用此法求弦長(zhǎng)時(shí),一定要明確直線參數(shù)方程中是否具有幾何意義. 若具有幾何意義,可直接求解;若不具有幾何意義,一定要進(jìn)行變形,求出具有幾何意義的直線參數(shù)方程,方可求解.

評(píng)析 以上七種解法適合所有直線與拋物線相交求弦長(zhǎng)的問(wèn)題(斜率存在,即傾斜角α≠π2).當(dāng)然如果直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),除以上通法外,還可以有以下兩種解答方法.

變式 將直線l所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)改為(1,0),即經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,這道題就是人教A版選修2-1課本第69頁(yè)的例4.

現(xiàn)作為解法8和解法9簡(jiǎn)述如下:

5.利用拋物線的定義求解

分析 此解法的關(guān)鍵是直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),根據(jù)拋物線的定義,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,轉(zhuǎn)化求解即可完成.

解法8 依題意,p=2,p2=1,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),點(diǎn)A、B到準(zhǔn)線的距離分別為dA=|AA′|,db=|BB′|由拋物線的定義可知

|AF|=dA=x1+p2=x1+1,|BF|=dB=x2+p2=x2+1,因此,

|AB|=|AF|+|BF|=dA+dB

=(x1+p2)+(x2+p2)

=x1+x2+p=x1+x2+2

直線方程為y=x-1,

聯(lián)立y=x-1y2=4x,消去y,整理得

x2-6x+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=6,

于是|AB|=x1+x2+2=6+2=8.

評(píng)注 此法只要求出兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)之和x1+x2,就可以求出弦長(zhǎng)|AB|.

6.利用拋物線的焦點(diǎn)弦求解

分析 此解法的關(guān)鍵是直線需經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),能求出直線傾斜角α(α≠π2)或其正弦值sinα.

解法9 由于直線經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,所以可以由拋物線的焦點(diǎn)弦公式求解.

使用之前,先證明如下:

(1)若直線的傾斜角α=π2,則直線的斜率不存在,此時(shí)AB為拋物線的通徑,即|AB|=2p,結(jié)論正確.

(2)若α≠π2,則直線的斜率存在,且k=tanα,顯然k≠0.

直線l方程為y=k(x-p2),變形得x=yk+p2,

代入拋物線方程中y2=4x,

化簡(jiǎn)并整理得

y2-2pky-p2=0,

所以y1+y2=2pk,y1y2=-p2,

由弦長(zhǎng)公式

|AB|=1+1k2|y1-y2|

=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2

=1+1k2·(2pk)2+4P2

=2P(1+1k2)=2p(1+1tan2α)=2psin2α,原命題得證.

因此,利用焦點(diǎn)弦公式求得

|AB|=2psin2α=2×2sin2π4=412=8.

評(píng)注 此解法在高三總復(fù)習(xí)的一些參考資料上出現(xiàn)過(guò),原則上這種方法做解答題時(shí)需要證明結(jié)論的正確性才可以使用.不過(guò)做選擇題或填空題還是比較方便和快捷的.

四、解后反思

這道練習(xí)題和相關(guān)聯(lián)的例題是一道容易題,但卻是一道好題.它蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸轉(zhuǎn)化等方法.在平常的解題中,要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí),多角度多方位進(jìn)行思考,從而獲取不同的解法.在平時(shí)的解題教學(xué)中,一定要跳出定勢(shì)思維的束縛,提倡一題多解,可以從代數(shù)方面進(jìn)行思考和突破,也可以從幾何方面入手,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.當(dāng)然,一定要引導(dǎo)學(xué)生重視教材,培養(yǎng)學(xué)生研究教材的興趣,讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到教材的重要性,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,還能達(dá)到觸類(lèi)旁通、舉一反三的效果.

參考文獻(xiàn):

[1]廖炳江.求拋物線弦長(zhǎng)的一個(gè)公式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1999(4):40-43.

[2]顧志剛.拋物線焦點(diǎn)弦的若干性質(zhì)

[J].蘇州教育學(xué)院學(xué)報(bào),1998(1):19-20.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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