馬 峰

黨的“十八大”提出了教育“立德樹人”的根本任務(wù)，同時(shí)，教育部提出了“核心素養(yǎng)”以及“學(xué)科核心素養(yǎng)”的概念。近年來，我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂是在以上重要原則和背景下進(jìn)行的。

從時(shí)間線上來看，2003年，我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（下文簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》）公布，此后各省市先后進(jìn)行了十多年的實(shí)踐。在此基礎(chǔ)上，2013年起，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對2003年的《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》進(jìn)行修訂，①張奠宙. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的回顧與展望[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2013(3): 1-3.直到2017年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的出臺。后于2020年再次進(jìn)行了修訂，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱《新標(biāo)準(zhǔn)》）問世，后續(xù)沒有出臺明確的改革日程表。但是，按照慣例，課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施10年以后就要進(jìn)行修訂。②史寧中. 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問題[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào), 2018(1): 8-10.

相關(guān)文獻(xiàn)③王尚志, 胡鳳娟. 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“修訂思路”“組織”及“過程”[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào), 2018(2): 11-13.指出，我國此輪高中數(shù)學(xué)課程《新標(biāo)準(zhǔn)》的修訂經(jīng)歷了7個(gè)階段，包括基礎(chǔ)研究與調(diào)研、凝練數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)與精選課程內(nèi)容、研制學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)與劃分核心素養(yǎng)水平、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價(jià)與命題的可行性研究、明確數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施的突破點(diǎn)、打磨與完善數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。在這個(gè)過程中，修訂組不僅認(rèn)真考慮了社會、科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對教育的影響，也認(rèn)真研究了國際教育、課程、數(shù)學(xué)課程發(fā)展的特點(diǎn)、趨勢、經(jīng)驗(yàn)和問題。

國際文憑（International Baccalaureate Diploma Program，后文簡稱IBDP）是一個(gè)由國際文憑組織（International Baccalaureate Organization, 簡稱IBO）開發(fā)的一套完整的高中最后兩年的課程體系，誕生于1968年，目前已經(jīng)有五十多年的歷史，它是受到包括美國、英國等國家和地區(qū)高水平大學(xué)認(rèn)可的國際主流課程之一。IBDP數(shù)學(xué)課程改革的經(jīng)驗(yàn)一直為我國的課程改革所借鑒，比如，我國《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》和《新標(biāo)準(zhǔn)》中的“數(shù)學(xué)探究活動”和“數(shù)學(xué)建?；顒印倍寂cIBDP數(shù)學(xué)舊版課程中的內(nèi)部評價(jià)方式名稱完全一致，但自2014年起，IBDP數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)部評價(jià)已經(jīng)取消原先“數(shù)學(xué)探究”和“數(shù)學(xué)建?！钡恼f法，統(tǒng)稱“數(shù)學(xué)探索”。

以“IB數(shù)學(xué)”“國際文憑數(shù)學(xué)”“國際文憑”“國際課程”為關(guān)鍵詞在知網(wǎng)進(jìn)行搜索，相關(guān)文獻(xiàn)的主要觀點(diǎn)分三個(gè)方面：

第一個(gè)方面是強(qiáng)調(diào)我國課程和國際文憑課程各自的優(yōu)勢。比如，我國強(qiáng)調(diào)“訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的客觀認(rèn)知性教學(xué)，強(qiáng)調(diào)類比與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，有利于短期提升學(xué)生終結(jié)性評估成績的效果，但對數(shù)學(xué)模式調(diào)研、學(xué)術(shù)交流及解決現(xiàn)實(shí)問題的要求尚不高”, “IBDP的教育行為……側(cè)重學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)據(jù)分析能力，對學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)，通過自我探究……解決各種（熟悉或不熟悉）問題的要求較高。”④張翼飛. 澳大利亞IB數(shù)學(xué)教材與我國高中人教版教材的比較研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué), 2019(12): 4-8.“國內(nèi)基礎(chǔ)教育改革的方向同IB國際課程的內(nèi)核不謀而合，尤其在教育理念、學(xué)習(xí)方式、評價(jià)體系上都有著相同的指向性。在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上開展探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，強(qiáng)調(diào)多元化的評估方式，這些都是IB國際課程以學(xué)生為中心理念的明確體現(xiàn)，同我國基礎(chǔ)教育改革的方向也不謀而合”。⑤高婧. 國際文憑課程現(xiàn)狀及其本土化實(shí)施路徑[J]. 第二課堂, 2020(7): 80-81.“ 2014新版IB內(nèi)部評價(jià)較之于以前所有版本的革命性變化在于讓學(xué)生自己選題。這更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，調(diào)動學(xué)生的積極性，并培養(yǎng)了他們發(fā)現(xiàn)問題的能力。學(xué)生在選題、完成的過程中也培養(yǎng)了風(fēng)險(xiǎn)意識和風(fēng)險(xiǎn)評估、控制的本領(lǐng)，這些都是學(xué)生將來進(jìn)一步發(fā)展越來越需要的能力。最新的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對于學(xué)生的影響可以用激發(fā)興趣、挖掘潛能和培養(yǎng)創(chuàng)造力來進(jìn)行簡單的概括”。①馬峰. 激發(fā)興趣 挖掘潛能 培養(yǎng)創(chuàng)造力??評IB數(shù)學(xué)內(nèi)部評價(jià)的最新演變[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 2017(12): 27-32, 36.

第二個(gè)方面是在對比中強(qiáng)調(diào)國內(nèi)高中課程的不足之處。比如，“我國高中所開設(shè)的校本課程很少能涉及跨學(xué)科的綜合課，這在很大程度上造成了學(xué)生知識面窄，綜合知識貧乏，綜合能力不強(qiáng)的狀況。高中生的學(xué)習(xí)強(qiáng)度在全世界首屈一指，但機(jī)械的應(yīng)試訓(xùn)練、缺少對學(xué)生批判性思維和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，使得學(xué)生的個(gè)性缺乏發(fā)展的空間”。②熊萬曦. 美國高中國際文憑課程發(fā)展研究[J]. 比較教育研究, 2015(3): 30-36.“ 國內(nèi)基礎(chǔ)教育也越來越強(qiáng)調(diào)學(xué)生進(jìn)行自主研究性學(xué)習(xí)的能力，但受諸多因素的制約, 國內(nèi)自主研究性學(xué)習(xí)的教與學(xué)的氛圍還遠(yuǎn)未形成。IB 課程作為國際主流課程體系之一，其學(xué)生報(bào)告作為內(nèi)部評估的做法似乎可以給我們一點(diǎn)啟示。當(dāng)然如何去借鑒它的做法，還要花大氣力去研究，不能簡單地照搬，必須考慮到國內(nèi)基礎(chǔ)教育的具體情況”。③馬峰. 實(shí)例簡析IB數(shù)學(xué)報(bào)告的要求和特點(diǎn)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 2010,(4): 21-24.

第三個(gè)方面是強(qiáng)調(diào)要對IB課程進(jìn)行研究和加以借鑒。比如，“我國對IB課程的引入和本土化要將重點(diǎn)放在研究其內(nèi)核，深化我國課程改革上”。④高婧. 國際文憑課程現(xiàn)狀及其本土化實(shí)施路徑[J]. 第二課堂, 2020(7): 80-81.“ 我國高中課程改革可以借鑒IBDP高中數(shù)學(xué)的做法，積極主動地激勵(lì)增加課程的探究性并建立相應(yīng)的激勵(lì)機(jī)制進(jìn)行推動。嘗試關(guān)注高中課題研究和探究式學(xué)習(xí)，建立起相應(yīng)的激勵(lì)評價(jià)機(jī)制；嘗試關(guān)注與學(xué)科課程和日常生活緊密聯(lián)系的課題研究，樹立起科學(xué)精神；嘗試通過教材和教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)來培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神。高中數(shù)學(xué)課程也應(yīng)當(dāng)增加課程科目和層次的可選擇性。運(yùn)用數(shù)字信息技術(shù)，改變教學(xué)方式，開展課程的內(nèi)部評價(jià)模式，全面評估學(xué)生發(fā)展。擴(kuò)展高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，充分與大學(xué)專業(yè)課程內(nèi)容銜接”。⑤徐慧新, 項(xiàng)亞光. IBDP數(shù)學(xué)課程與普通高中數(shù)學(xué)課程的比較與啟示[J]. 外國中小學(xué)教育, 2015(7): 53-59.

一、IBDP數(shù)學(xué)課程改革的理念

數(shù)學(xué)課程是IBDP課程中的一門必修課程。IBDP課程每七年進(jìn)行一次大綱的周期性修訂，以保持其課程與最新教育思想和理念接軌，確保其在世界范圍內(nèi)課程的領(lǐng)先性。

自誕生以來，IBDP數(shù)學(xué)課程經(jīng)歷了多輪周期性的大綱修訂，最近一次修訂的大綱版本的首次實(shí)施時(shí)間為2019年8月，首次實(shí)施新大綱考試的時(shí)間為2021年5月。本輪修訂為IBDP20年來數(shù)學(xué)課程改革幅度最大的一次。IBO發(fā)布的報(bào)告稱，IBDP數(shù)學(xué)的發(fā)展意味著它在滿足2019年至2028年學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求的同時(shí)，仍然保持著相關(guān)性和嚴(yán)格性，屆時(shí)下一個(gè)開發(fā)周期將完成，并且將發(fā)布該課程的后續(xù)新版本。IBDP數(shù)學(xué)的變化為更多的學(xué)生提供了更多選擇，并為學(xué)校在實(shí)施分組教學(xué)、安排課程以及教授技能和內(nèi)容等方面提供了更大的靈活性。此次數(shù)學(xué)大綱修訂尤其強(qiáng)調(diào)，批判性思維正變得越來越有價(jià)值，特別是隨著技術(shù)的進(jìn)步使某些傳統(tǒng)技能變得多余。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的背景下討論批判性思維是指培養(yǎng)學(xué)生如下能力：認(rèn)識到可以在何處使用數(shù)學(xué)，理解并整合技術(shù)文檔，對熟悉和不熟悉的情況應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法，構(gòu)造邏輯論點(diǎn)，具有風(fēng)險(xiǎn)意識，理解技術(shù)和數(shù)學(xué)可以攜手并進(jìn)，能解釋解決方案的含義和相關(guān)性，等等。IBDP數(shù)學(xué)將重點(diǎn)發(fā)展分析、抽象和歸納、風(fēng)險(xiǎn)意識和統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)、算法思維、建模和探究技能。IBDP數(shù)學(xué)課程的最新修訂正是基于以上基本想法。

IBDP課程每七年進(jìn)行改革的周期規(guī)律可以總結(jié)如下：

可以看出，IBDP課程改革具有極強(qiáng)的規(guī)律性，新課程投入使用之后立即啟動新一輪改革的調(diào)研，每七年必定進(jìn)行課程調(diào)整和改革。國內(nèi)課程的改革不具有顯著的規(guī)律性，按照成熟一個(gè)，穩(wěn)定一個(gè)的策略進(jìn)行，并盡可能延長《新標(biāo)準(zhǔn)》的生命周期。如《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》其生命周期跨度將近20年（2003?2022年），這與高考這一國家級人才選拔性考試的權(quán)威性和影響力有關(guān)。

IBDP課程改革的原則主要有七條：第一，課程改革以研究為基礎(chǔ)；第二，課程改革是一個(gè)咨詢與合作的過程；第三，支持IB課程的使命和IB課程的國際性；第四，課程改革中，評價(jià)起到關(guān)鍵作用；第五，課程改革周期經(jīng)過充分的計(jì)劃并通過項(xiàng)目管理的方式進(jìn)行完整的記錄；第六，課程文件和支持材料具有高水準(zhǔn)并且能夠反映IBDP課程最新的理念和政策；第七，課程改革必須為教師的職業(yè)發(fā)展提供機(jī)會和材料。其中，第一條所指的IBDP課程改革所必須研究的內(nèi)容包括：現(xiàn)行IBDP課程的優(yōu)勢和缺點(diǎn)，世界上其他課程的特色，大學(xué)方面對于IBDP課程與大學(xué)課程銜接的反饋，現(xiàn)有的針對16?19歲少年的教學(xué)法形勢，學(xué)科自身的發(fā)展趨勢等等。第三條實(shí)際上類似于我國在制定課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)必須考慮國家意志和教育部統(tǒng)一要求。其余條款與我國課程改革中的原則一致或類似。

二、IBDP數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)和課時(shí)安排

自2019年8月起，IBDP數(shù)學(xué)課程正式劃分為“數(shù)學(xué)分析與方法”（簡稱“分析”）和“數(shù)學(xué)應(yīng)用與解釋”（簡稱“應(yīng)用”），兩個(gè)方向均設(shè)較高水平和標(biāo)準(zhǔn)水平兩種課程，從而生成了四門數(shù)學(xué)課程，簡稱為：分析（較高水平）、分析（標(biāo)準(zhǔn)水平）；應(yīng)用（較高水平）、應(yīng)用（標(biāo)準(zhǔn)水平）。這四門課程的主題都包括：數(shù)與代數(shù)、函數(shù)、幾何與三角學(xué)、統(tǒng)計(jì)和概率、微積分、工具箱和數(shù)學(xué)探索等六大模塊。不同課程之間的區(qū)別在于在各個(gè)模塊上的內(nèi)容和教學(xué)時(shí)間有所區(qū)別。標(biāo)準(zhǔn)水平都是各自方向高水平的子集。具體如表1①馬峰, 洪淼, 俞樺. 以素養(yǎng)為導(dǎo)向的學(xué)科育人 [J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué), 2019(9): 14-18.所示。

表 1 IBDP數(shù)學(xué)新課程主題與學(xué)時(shí)分布（2019年首次實(shí)施）

《新標(biāo)準(zhǔn)》分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程，其中必修課程8學(xué)分144課時(shí)，選擇性必修課程共6學(xué)分108課時(shí)。如果學(xué)生以高中畢業(yè)為目標(biāo)，可以只學(xué)習(xí)必修課程，參加高中畢業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試。如果學(xué)生計(jì)劃通過參加高考進(jìn)入高等學(xué)校學(xué)習(xí)，必須學(xué)習(xí)必修課程和選擇性必修課程。選修課程是由學(xué)校根據(jù)自身情況選擇設(shè)置的課程，供學(xué)生依據(jù)個(gè)人志趣自主選擇，分為五類，具體內(nèi)容請見《新標(biāo)準(zhǔn)》，此處不予贅述。

IBDP數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)非常明晰，呈現(xiàn)如下幾個(gè)基本特點(diǎn)：第一，所有四門課程覆蓋全部五個(gè)教學(xué)主題，加上一個(gè)特別的“工具箱與數(shù)學(xué)探索”模塊。第二，同一方向的較高水平課程完全包含其較低水平的教學(xué)內(nèi)容。第三，不同方向的課程在不同主題上有所側(cè)重。比如，“應(yīng)用”方向特別側(cè)重統(tǒng)計(jì)與概率，就較高水平而言，這個(gè)部分的教學(xué)時(shí)間多出“分析”方向19個(gè)小時(shí)；“分析”方向特別側(cè)重微積分，就較高水平而言，多出“應(yīng)用”方向14個(gè)小時(shí)的教學(xué)時(shí)間。第四，在“工具箱與數(shù)學(xué)探索”這個(gè)特別模塊，所有四門課程所花教學(xué)時(shí)間等量。

國內(nèi)高中數(shù)學(xué)課程總體課程時(shí)數(shù)（不含選修課程部分）居于IBDP數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)水平和高水平課時(shí)數(shù)中間位置。從IBDP數(shù)學(xué)和國內(nèi)《新標(biāo)準(zhǔn)》的數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)還可以看出：第一，IBDP課程和國內(nèi)課程都強(qiáng)調(diào)了一定的選擇性，為具有不同潛質(zhì)的學(xué)生提供了各種學(xué)習(xí)機(jī)會。從課程結(jié)構(gòu)上來看，國內(nèi)課程的選擇更加細(xì)化，有必修、選擇性必修和選修三個(gè)部分。第二，IBDP課程和國內(nèi)課程以不同的形式凸顯了“做中學(xué)”的重要性。IBDP課程通過設(shè)置專門的“工具箱與數(shù)學(xué)探索”教學(xué)模塊幫助學(xué)生進(jìn)行主動的探究式學(xué)習(xí)，把數(shù)學(xué)與解決問題進(jìn)行聯(lián)系。國內(nèi)課程中的數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動也是主要基于幫助學(xué)生了解并實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)的應(yīng)用而進(jìn)行設(shè)置的。

三、IBDP數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容

IBDP數(shù)學(xué)課程與國內(nèi)高中數(shù)學(xué)課程（高考部分）涉獵的教學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域基本相似，相同或相似內(nèi)容的比例大概為60%，也有些不同的地方。比如，一個(gè)重要的區(qū)別在于，微積分和統(tǒng)計(jì)在IB課程中單獨(dú)列為必須修讀的部分，而國內(nèi)高中數(shù)學(xué)高考課程（必修和選擇性必修）將一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)放在了選擇性必修的第一個(gè)主題（函數(shù)部分），將統(tǒng)計(jì)的初步知識放在了必修的第四個(gè)主題和選擇性必修的第三個(gè)主題，在國內(nèi)高中數(shù)學(xué)課程的選修部分又分別設(shè)置了微積分和統(tǒng)計(jì)的專門課程。在此選取IBDP課程與高考課程相差較大的“統(tǒng)計(jì)和概率”部分為例進(jìn)行分析。

IBDP數(shù)學(xué)課程“分析”方向的較高水平覆蓋了除超幾何分布之外所有國內(nèi)《新標(biāo)準(zhǔn)》中的“統(tǒng)計(jì)和概率”的內(nèi)容；“應(yīng)用”方向的較高水平也幾乎全部覆蓋了國內(nèi)《新標(biāo)準(zhǔn)》中的“統(tǒng)計(jì)和概率”內(nèi)容，只有兩個(gè)知識點(diǎn)（全概率和貝葉斯公式、超幾何分布）沒有包括。

IBDP數(shù)學(xué)課程中的“統(tǒng)計(jì)和概率”部分還有一些國內(nèi)課程完全沒有提及的部分，以統(tǒng)計(jì)內(nèi)容較豐富的IBDP課程(“應(yīng)用”方向，較高水平）為例，其特色內(nèi)容包括：離群值（Outlier），累積頻率曲線，原始數(shù)據(jù)變換的影響，一元線性回歸的PRCC系數(shù)，斯皮爾曼排序相關(guān)系數(shù)(Spearman’s Rank Correlation Coefficient), 假設(shè)檢驗(yàn)，p-值，顯著水平，自由度，臨界值（Critical Value）和臨界區(qū)間， χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)， t? 檢驗(yàn)，單邊檢驗(yàn)和雙邊檢驗(yàn)，調(diào)查表的有效數(shù)據(jù)收集方法，選擇相關(guān)并合適的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可信度和有效性測試，非線性回歸，利用最小平方差進(jìn)行回歸，殘差平方和 S Sres，決定系數(shù) R2及其解釋，用 x 作為μ 的無偏估計(jì)，用作為 σ2的無偏估計(jì)，獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合的分布，中心極限定理，置信區(qū)間，泊松分布，總體均值檢驗(yàn)（正態(tài)分布、二項(xiàng)分布）、比例檢驗(yàn)（二項(xiàng)分布），二元正態(tài)分布的PMCC檢驗(yàn)（ ρ =0），I型和II型錯(cuò)誤，馬爾可夫鏈，轉(zhuǎn)移矩陣，穩(wěn)定狀態(tài)（與線性方程組有關(guān)）等。

此外，IBDP數(shù)學(xué)課程的兩個(gè)方向（“分析”和“應(yīng)用”）較高水平課程含有的一些其他特色內(nèi)容同樣值得關(guān)注。這些內(nèi)容包括：線性代數(shù)初步、圖論初步、微積分初步等內(nèi)容（見表2）。①IBO. Mathematics: applications and interpretation guide: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-18]. https://resources.ibo.org/data/mathematics-applications-and-interpretation-guide_3573b93d-5f69-4c19-8e30-c135da72b01c/mathematicsapplications-and-interpretation-guide-en_5659ecbf-2f8b-4873-8075-c931f676e101.pdf.②IBO. Mathematics: analysis and approaches guide: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-20]. https://resources.ibo.org/data/mathematics-analysis-and-approaches-guide_e10ae7ad-9d1d-4299-b7d1-395b8e52b7fc/mathematics-analysis-and-approachesguide-en_2fee6541-b171-4cba-aa13-afa2a5ac98eb.pdf.③IBO. Mathematics: analysis and approaches teacher support material: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-20].https://resources.ibo.org/data/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material_e1e86054-eb9d-46f2-a043-8d5e09c040be/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material-en_789eb792-f9f0-435a-a8ed-91ee93fee0c7.pdf.④IBO. Mathematics: applications and interpretation teacher support material: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-18].https://resources.ibo.org/data/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support-_05e4b7d0-1cc8-42d8-9e12-256ef89772f4/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support—en_37 299 874-1971-4 150-b293-880e0b48d038.pdf.其他初等數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容如幾何、代數(shù)等，因篇幅較長且特異性較低，此處不予述說。

人工智能時(shí)代歸根結(jié)底建立在大數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上，而要理解和使用大數(shù)據(jù)，需要較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)。在這樣的時(shí)代背景下，IBDP最新力推的“應(yīng)用”課程將統(tǒng)計(jì)列為其占比最大的課程內(nèi)容，值得國內(nèi)課程體系加以研究。此外，算法思維是在人工智能背景下，教育領(lǐng)域頻繁提及的一種需要重視和發(fā)展的思維素養(yǎng)。在IBDP數(shù)學(xué)課程“應(yīng)用”中，算法思維滲透在很多內(nèi)容中，包括圖論中的各種算法等。比如，在“應(yīng)用”課程中，谷歌的“網(wǎng)頁排名”算法可以作為一個(gè)研究型作業(yè)幫助學(xué)生體驗(yàn)算法思維。

表 2 IBDP數(shù)學(xué)課程的部分特色內(nèi)容

IBDP數(shù)學(xué)的“應(yīng)用”課程還特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模，其課程內(nèi)容的很多部分都能夠幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)完耦合微分方程組和二階微分方程的解法后，可以開展跨學(xué)科課題的研究性學(xué)習(xí)，比如，將所學(xué)知識應(yīng)用在氧化?還原反應(yīng)（化學(xué)）、單擺運(yùn)動（物理）、傳染病SIR模型（健康）、物種生態(tài)模型（生物）中。再比如，在學(xué)習(xí)圖論知識后，學(xué)生便可以研究打車軟件關(guān)于最短路線的計(jì)算方式（計(jì)算機(jī)）。這樣的學(xué)習(xí)讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)的用武之地，從而激發(fā)了學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。相比之下，國內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些內(nèi)容頻頻朝高難度技巧上發(fā)展，缺少了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容，使得學(xué)生看不清數(shù)學(xué)的用途，有時(shí)漸漸失去興趣。比如，高中階段微積分的學(xué)習(xí)到了最后，往往集中在求極值、單調(diào)區(qū)間和不等式等少數(shù)幾個(gè)方面，技巧性很強(qiáng)，使得學(xué)生對于微積分的學(xué)習(xí)“只見樹木，不見森林”。

四、IBDP數(shù)學(xué)課程的評價(jià)

IBDP數(shù)學(xué)課程采取外部評價(jià)和內(nèi)部評價(jià)兩種方式綜合評價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效。

（一）IBDP數(shù)學(xué)課程評價(jià)方式綜述

IBDP外部評價(jià)的主要形式是書面限時(shí)考試，其得分占最后百分制總分的80%。百分制得分并非IB評價(jià)的最后得分，還將被轉(zhuǎn)換為7分制作為IBDP數(shù)學(xué)科目的最后成績。外部評價(jià)的一卷、二卷和三卷（三卷僅限較高水平）均覆蓋IB數(shù)學(xué)課程大綱的全部內(nèi)容。2021年第一次考試的IBDP數(shù)學(xué)新大綱的考試模式如下：標(biāo)準(zhǔn)水平僅有一卷和二卷，較高水平設(shè)一卷、二卷和三卷，其中“分析”方向在一卷不能用計(jì)算器，其他均可使用計(jì)算器。對于標(biāo)準(zhǔn)水平，一卷、二卷和內(nèi)部評價(jià)的得分在最后總分中所占比例分別為40%、40%和20%。對于較高水平，一卷、二卷、三卷和內(nèi)部評價(jià)的得分在最后總分中所占比例分別為30%、30%、20%和20%。較高水平的三卷在此次改革后呈現(xiàn)的特點(diǎn)顯得尤為突出，它包括兩道層層深入、考察學(xué)生探究或建模能力的素養(yǎng)考查題。更多信息可參考IBDP數(shù)學(xué)課程的“指南”文件。

IBDP數(shù)學(xué)課程外部評價(jià)所考察的各類數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求請見表3。①馬峰. 博觀約取??高中數(shù)學(xué)的國際視角[M]. 上海: 上海教育出版社, 2020: 44-45, 79-147.②IBO. Mathematics: analysis and approaches teacher support material: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-20].https://resources.ibo.org/data/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material_e1e86054-eb9d-46f2-a043-8d5e09c040be/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material-en_789eb792-f9f0-435a-a8ed-91ee93fee0c7.pdf.③IBO. Mathematics: applications and interpretation teacher support material: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-18].https://resources.ibo.org/data/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support-_05e4b7d0-1cc8-42d8-9e12-256ef89772f4/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support—en_37 299 874-1971-4 150-b293-880e0b48d038.pdf.

表 3 IBDP數(shù)學(xué)課程外部評價(jià)考察數(shù)學(xué)素養(yǎng)的占比

（二）IBDP數(shù)學(xué)課程的特色評價(jià)方法分析

IBDP數(shù)學(xué)課程的書面考試（也即外部評價(jià)）與高考無異，主要考察學(xué)生在限定時(shí)間內(nèi)做題的數(shù)量和質(zhì)量。但I(xiàn)B書面考試僅僅以80%的比例計(jì)入最后的IB數(shù)學(xué)課程總分。IB內(nèi)部評價(jià)的主要形式是一份由學(xué)生自主探索并成文的課題報(bào)告, 其正式名稱為“數(shù)學(xué)探索”，由學(xué)生所在學(xué)校的教師進(jìn)行評分，并由IB組織抽樣檢查。表1中“工具箱和數(shù)學(xué)探索”課時(shí)設(shè)置的功能之一就是為了幫助學(xué)生完成內(nèi)部評價(jià)。IB教師支持材料明確指出，教師需要使用10?15小時(shí)的上課時(shí)間給學(xué)生解釋內(nèi)部評價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和自身能力相稱的可探索的主題、評估學(xué)生內(nèi)部評價(jià)的進(jìn)展，讓學(xué)生有機(jī)會進(jìn)行小組合作和討論他們“探索”的進(jìn)展，分享研究材料、獲得必要的知識、技能和理解，為自己的作品尋求同伴評價(jià)的機(jī)會，等等。就評價(jià)而言，尤為關(guān)鍵的一點(diǎn)是，IBDP數(shù)學(xué)內(nèi)部評價(jià)以占總分20%的形式計(jì)入學(xué)生課程最終總分（類似于高考總分）。內(nèi)部評價(jià)是IBDP數(shù)學(xué)課程中極為特別的一個(gè)環(huán)節(jié)，它成為了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的優(yōu)秀載體。

IBDP數(shù)學(xué)課程內(nèi)部評價(jià)所考察的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的比重請見表4。④IBO. Mathematics: applications and interpretation guide: First assessment 2021[EB/OL]. [2021-03-18]. https://resources.ibo.org/data/mathematics-applications-and-interpretation-guide_3573b93d-5f69-4c19-8e30-c135da72b01c/mathematics-applications-andinterpretation-guide-en_5659ecbf-2f8b-4873-8075-c931f676e101.pdf.

表 4 IBDP數(shù)學(xué)課程內(nèi)部評價(jià)所考察的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的比重

學(xué)生修讀IBDP數(shù)學(xué)課程后的最后得分并不是百分制或150分制，而是根據(jù)原始得分進(jìn)行一定的換算后得到IB課程的評價(jià)總分1?7分，其中7分為最高分。盡管每年根據(jù)考卷難度和考生表現(xiàn)，換算規(guī)律有些差別，但如下大致等級標(biāo)準(zhǔn)仍可供參考（表5①IBO. Mathematics Higher Level Subject Report for November 2018. [EB/OL] [2021-01-07]. https://resources.ibo.org/data/d_5_mathl_sur_1811_2_e.pdf.為2018年11月舊版大綱“統(tǒng)計(jì)與概率”方向高水平考卷的等第劃分情況）：

表 5 IB課程原始分與最終得分轉(zhuǎn)換

以上表格給人的第一印象是等第制，且獲得7分滿分并不難。確實(shí)，它與高考中原始分值的每一分都很重要的情況有所不同，這里面的原因是深層次的。簡而言之，IBDP課程的最后得分并不直接影響大學(xué)錄取，教師根據(jù)學(xué)生平時(shí)表現(xiàn)給學(xué)生打出的預(yù)計(jì)分成為大學(xué)錄取過程中的參考因素。從時(shí)間順序來看，教師一般于12年級（高三）初期（9月份）給出預(yù)計(jì)分，大學(xué)錄取大致于當(dāng)年11月持續(xù)到來年5月。英美大學(xué)的重要錄取時(shí)間節(jié)點(diǎn)一般為當(dāng)年的12月中旬、來年的1月中旬以及4月底。而IB正式大考（類似國內(nèi)高考）的時(shí)間為來年的5月份，于7月初出分。如果IB預(yù)計(jì)分與實(shí)際出分有較大出入（降低）時(shí)，才有可能影響原先的錄取結(jié)果。因此，從這個(gè)角度看，對原始分“分分必較”的評價(jià)，對于IBDP課程和國外大學(xué)錄取來講都沒有必要。正因?yàn)槊恳婚T課程并不強(qiáng)調(diào)“分分必較”的重要性，IB課程對于“全人”培養(yǎng)以及“素養(yǎng)”培育的其他設(shè)計(jì)有了很大的實(shí)施空間。這種7分制（等第制）的評價(jià)方式本質(zhì)上與英美大學(xué)的申請制和“全面評價(jià)”息息相關(guān)。

毋庸諱言，國內(nèi)評價(jià)方式目前以學(xué)業(yè)水平考試和高等學(xué)校入學(xué)考試的原始成績?yōu)檫x拔性評價(jià)的唯一標(biāo)準(zhǔn)。這種做法的優(yōu)勢是成本較低、效率較高、公平性凸顯，不足之處是顯然過度強(qiáng)化了“結(jié)果”評價(jià)，在中學(xué)教育教學(xué)中產(chǎn)生強(qiáng)烈的“以結(jié)果論英雄”的引導(dǎo)作用也就不足為怪了，與黨中央和國務(wù)院“改進(jìn)效果評價(jià)、強(qiáng)化過程評價(jià)、探索增值評價(jià)、健全綜合評價(jià)”（簡稱“四個(gè)評價(jià)”）的要求還有較大距離。

五、IBDP數(shù)學(xué)課程中的信息技術(shù)

從IBDP數(shù)學(xué)課程實(shí)施來講，使用信息技術(shù)體現(xiàn)在多個(gè)方面。

第一，課程內(nèi)容角度。例如，馬爾可夫鏈的學(xué)習(xí)需要使用矩陣進(jìn)行運(yùn)算，求解穩(wěn)定狀態(tài)更是需要求解矩陣的高次方，因?yàn)槿斯び?jì)算已經(jīng)無法解決問題；使用泰森多邊形進(jìn)行區(qū)域劃分，當(dāng)中心點(diǎn)多于5個(gè)時(shí)，手工作圖已經(jīng)差不多是極限了，無法不依賴技術(shù)進(jìn)行探究。耦合微分方程組的相圖（Phase Portrait）以及歐拉方法的求解，均需要信息技術(shù)的助力，否則無法解決一些現(xiàn)實(shí)中的問題等等。

第二，教學(xué)角度。引入各種概念需要信息技術(shù)的使用。例如，在講解圖論問題時(shí)，教師可通過谷歌的搜索排名算法引入轉(zhuǎn)移矩陣及其計(jì)算，這些探究活動需要信息技術(shù)的助力。在講解馬爾可夫鏈時(shí)，可以通過動畫對馬爾可夫過程進(jìn)行模擬，幫助學(xué)生形象地理解概念。

第三，評價(jià)角度。學(xué)生在課外作業(yè)或者內(nèi)部評價(jià)完成過程中需要使用信息技術(shù)進(jìn)行探究，否則可能被認(rèn)為探究不夠充分（除非純數(shù)學(xué)的推導(dǎo)）。在書面考試中，數(shù)學(xué)課程中有多張?jiān)嚲硪蟊仨毷褂脠D形計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算或作圖，否則題目無法解答。特別是“數(shù)學(xué)應(yīng)用與解釋”課程外部考試的每張考卷均要求使用圖形計(jì)算器。

因?yàn)橛辛藞D形計(jì)算器的使用，IBDP數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容設(shè)計(jì)和考試出題方面相對靈活了很多，數(shù)據(jù)直接來源于生活與生產(chǎn)。而高考題有時(shí)礙于技術(shù)，出題的靈活度受到較大的限制。特別是對于統(tǒng)計(jì)題目而言，具體的計(jì)算過程并不是重點(diǎn)考察對象，重要的是對統(tǒng)計(jì)思想和方法的考察。

與IBDP數(shù)學(xué)課程有所不同的是，信息技術(shù)不是國內(nèi)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的必需選項(xiàng)。

我國《新標(biāo)準(zhǔn)》在“教學(xué)建議”部分提出，“教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運(yùn)用，優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)方式。例如，為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)背景，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問題提供直觀，引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源。在這個(gè)過程中，教師要有意識地積累數(shù)學(xué)活動案例，總結(jié)出生動、自主、有效的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式”；“教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果。例如，利用計(jì)算機(jī)展示函數(shù)圖像、幾何圖形運(yùn)動變化過程；利用計(jì)算機(jī)探究算法、進(jìn)行較大規(guī)模的計(jì)算；從數(shù)據(jù)庫中獲得數(shù)據(jù)，繪制合適的統(tǒng)計(jì)圖表；利用計(jì)算機(jī)的隨機(jī)模擬結(jié)果，幫助學(xué)生更好地理解隨機(jī)事件以及隨機(jī)事件發(fā)生的概率”；在“教師實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)”部分提到了“基于信息技術(shù)的教育資源和教學(xué)手段日新月異，正在改變著數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式。教師要適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，發(fā)揮信息技術(shù)直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”。

我國《新標(biāo)準(zhǔn)》在“評價(jià)建議”部分、“學(xué)業(yè)水平考試與高考命題建議”部分、“教材編寫建議”部分，甚至在“地方與學(xué)校實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)的建議”等部分均沒有提及信息技術(shù)。如此一來，信息技術(shù)與教學(xué)和評價(jià)深度融合的效果可能會有所削弱，學(xué)生使用信息技術(shù)的廣度和深度或許很難真正達(dá)到。單從目前最為直觀的“指揮棒”高考來看，全國范圍內(nèi)，只有上海卷允許學(xué)生使用計(jì)算器（非圖形計(jì)算器）答題。

六、啟示

IBDP數(shù)學(xué)課程的最新改革動向直指“人工智能”背景下的數(shù)學(xué)教育發(fā)展最新趨勢，在教學(xué)內(nèi)容上注重跨學(xué)科和與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的有用性，在評價(jià)方法上采取了多元化的方式，整套課程設(shè)計(jì)非常重視技術(shù)的使用。其中一些特點(diǎn)非常值得繼續(xù)深入思考，特別是在“雙新”背景下，應(yīng)積極研究如何將其與國內(nèi)數(shù)學(xué)課程的設(shè)置、實(shí)施進(jìn)行融合與借鑒。

（一）探究作為數(shù)學(xué)教學(xué)的理念之一

IBDP數(shù)學(xué)課程鼓勵(lì)學(xué)生的探究式學(xué)習(xí)，從內(nèi)部評價(jià)的設(shè)置，課堂教學(xué)活動的設(shè)計(jì)，如把谷歌的搜索排名方法融入圖論學(xué)習(xí)，把經(jīng)典傳染病模型SIR的建模過程融入微分方程的學(xué)習(xí)等，甚至在考試題型（如三卷的探究、建模題）等多方面得以體現(xiàn)。一方面，探究式學(xué)習(xí)讓學(xué)生學(xué)會在不確定的環(huán)境中尋找規(guī)律、知識，發(fā)展自己的學(xué)習(xí)技能，這更接近于真實(shí)的學(xué)習(xí)。另一方面，在探究的過程中，學(xué)生的被動聽講和接受、僅針對考試所需某種特定技能進(jìn)行訓(xùn)練的學(xué)習(xí)習(xí)慣被打破，有利于學(xué)生批判性思維和創(chuàng)造性能力的發(fā)展。另外，信息技術(shù)在IBDP數(shù)學(xué)課程中的廣泛使用也使得探究式學(xué)習(xí)不僅成為了可能，也成為了學(xué)生的一種學(xué)習(xí)習(xí)慣。

國內(nèi)《新標(biāo)準(zhǔn)》的課程結(jié)構(gòu)中單列了“數(shù)學(xué)探究活動”，并給出了一個(gè)“探究活動”的案例?正方體截面的探究。與IBDP課程深入其“骨髓”的課程結(jié)構(gòu)、課程內(nèi)容、評價(jià)體系和信息技術(shù)使用等多方面相比，國內(nèi)課程中可以帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)自主探究的土壤尚待繼續(xù)開發(fā)。

（二）每一名學(xué)生擁有選擇合適自己的課程的機(jī)會

IBDP數(shù)學(xué)課程在這次改革中，把數(shù)學(xué)課程分成了兩個(gè)方向、四門課程，充分考慮到了學(xué)生未來深造的方向?qū)τ跀?shù)學(xué)基礎(chǔ)和能力的不同需求。比如，數(shù)學(xué)的“應(yīng)用”課程充分考慮到了數(shù)學(xué)課程的應(yīng)用性，而“分析”課程更加重視純數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與推導(dǎo)，這樣的課程設(shè)置為將來有不同發(fā)展方向的學(xué)生提供了自主選擇的機(jī)會。學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行選課，充分發(fā)展了自我規(guī)劃和選擇的能力，從一定程度上做到了個(gè)性化發(fā)展。高度的嚴(yán)謹(jǐn)性對于選擇“應(yīng)用”這門課的學(xué)生，也即將來不從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)生來講，培養(yǎng)了興趣、拓寬了眼界、激發(fā)了好奇心，而不至于讓嚴(yán)格性變成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“攔路虎”。如何取舍“嚴(yán)謹(jǐn)性”始終需要課程頂層設(shè)計(jì)者和落實(shí)教學(xué)的教師的拿捏和合理把握。比如，對于極限的正式定義，在課堂教學(xué)中無需嚴(yán)格跟著大綱亦步亦趨，雖然IBDP數(shù)學(xué)新大綱對其不作要求，教師仍然完全可以介紹 ε ?δ定義，但對于沒有興趣或者能力了解的學(xué)生沒有強(qiáng)求，對于有興趣了解的學(xué)生，則有機(jī)會與教師或同學(xué)進(jìn)行探討。牛頓和萊布尼茨在引入微積分時(shí)，顯然談不上嚴(yán)格性，然而這并沒有妨礙他們成功建立了微積分這門對于人類文明和發(fā)展至關(guān)重要的學(xué)科。

國內(nèi)《新標(biāo)準(zhǔn)》中有必修和選擇性必修部分，分別對應(yīng)“學(xué)考”和“高考”的要求，也提供了選修課程，從課程結(jié)構(gòu)看，似乎也提供了選擇性。然而，對于高考而言，選擇性仍然很低。張奠宙先生指出，2003年的《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》很強(qiáng)調(diào)選擇性，設(shè)置了許多選修課，效果不理想?！安煌娜藢W(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)”是一個(gè)很正確的口號，可惜沒有實(shí)行。①張奠宙. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的回顧與展望[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2013(3): 1-3.《新標(biāo)準(zhǔn)》要求由學(xué)校自主開展“選修課”，預(yù)計(jì)其實(shí)施情況將同樣不容樂觀，也就是說，一些比較深入的微積分、統(tǒng)計(jì)等知識仍然可能再度成為空中樓閣，不少高中生可能在高中期間還是沒有機(jī)會觸碰微積分和統(tǒng)計(jì)思維的核心內(nèi)容。但是，如果自主招生渠道能夠適當(dāng)發(fā)揮作用，那就可能彌補(bǔ)這一缺憾。

（三）開設(shè)選修課和落實(shí)課題，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的全貌

IB組織每七年根據(jù)形勢變化改革課程，把最需要融入高中階段的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容不斷改造、整合并融入高中數(shù)學(xué)課程體系，從而不僅保證了中學(xué)、大學(xué)學(xué)習(xí)的有效銜接，也從一定程度上促進(jìn)了物理等其他學(xué)科的學(xué)習(xí)。最新的這次課程改革中的“應(yīng)用”課程把耦合方程組、圖論、馬爾可夫鏈、假設(shè)檢驗(yàn)等具有高度應(yīng)用性的內(nèi)容融入課程體系。這些變化都是IB組織敏銳地察覺到世界的最新變化和要求后作出的反應(yīng)。國內(nèi)中學(xué)階段的學(xué)生因?yàn)樯龑W(xué)和標(biāo)準(zhǔn)化考試的導(dǎo)向，容易誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是書本和練習(xí)冊上羅列的那些內(nèi)容，很多中學(xué)生并不明白什么是初等數(shù)學(xué)，什么是高等數(shù)學(xué)，更不用談數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)學(xué)科框架和細(xì)分專業(yè)了。這對于數(shù)學(xué)教育來講是危險(xiǎn)的，對于國家培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才來講，更是急切需要改變的。

盡管高考等關(guān)鍵考試的題目有一些小的變化，教學(xué)內(nèi)容也一直處于變革之中，其理念也是不斷地整合需要融入高中數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，但是，這條道路似乎特別漫長且曲折。張奠宙先生2013年提到：“中國的高中課程，尤其是數(shù)學(xué)，與其他國家相比，不是多了，而是少了。微積分、概率統(tǒng)計(jì)、空間向量，幾乎所有國家都是必修，或者大量選修的課程，中國卻沒有設(shè)置。因此，‘繁難多舊’的提法不準(zhǔn)確。隨著時(shí)代的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用、計(jì)算機(jī)技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)課程設(shè)置和實(shí)施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識、基本技能和能力的內(nèi)涵，形成符合時(shí)代要求的新的‘雙基’。對數(shù)學(xué)的教學(xué)知識內(nèi)容進(jìn)行研究，是未來數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)課題?！雹谕卷摙佟?/p>

如果國內(nèi)《新標(biāo)準(zhǔn)》中選修課程的開設(shè)和做課題（數(shù)學(xué)探究或數(shù)學(xué)建模）的要求能夠落到實(shí)處，張先生的想法也就能夠初步實(shí)現(xiàn)，落到實(shí)處的關(guān)鍵在于評價(jià)方法和目標(biāo)的制定，這恐怕尚需時(shí)日，教師培訓(xùn)也是重要一環(huán)。

（四）應(yīng)考需要注意“度”的把握

在IBDP數(shù)學(xué)課程考試中，盡管仍然需要應(yīng)付考試，但題目側(cè)重考察基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)方法的掌握，對于技巧的要求不是很高。此外，數(shù)學(xué)內(nèi)部評價(jià)需要學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，解決問題并且以一篇文章的形式表達(dá)出來，這成為評價(jià)的一種重要形式，再加上IB課程考試結(jié)果并不是大學(xué)錄取的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此，IB課程中的“刷題”沒有呈現(xiàn)愈演愈烈之勢。國內(nèi)中學(xué)為高考數(shù)學(xué)準(zhǔn)備的復(fù)習(xí)和大量同質(zhì)練習(xí)中，高技巧型題目越來越多，似乎也越來越難。

《新標(biāo)準(zhǔn)》的核心思想是要在教學(xué)過程中注意培育學(xué)生的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而非僅僅訓(xùn)練學(xué)生做題以在考試中獲取高分。丘成桐院士在2020 年基礎(chǔ)學(xué)科拔尖人才銜接培養(yǎng)論壇上指出：“過度的解題技巧訓(xùn)練并不能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識水平，反而會誤導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)等同于解題，妨礙對數(shù)學(xué)建立正確的認(rèn)知?！笔聦?shí)上，對于大部分不會從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)生來說，過多的解題技巧訓(xùn)練同樣無益。追求高分不應(yīng)以扼殺學(xué)習(xí)興趣為代價(jià)，至少應(yīng)該為想要思考和探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的有數(shù)學(xué)潛力的學(xué)生創(chuàng)造合適的條件。研究對于核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基于標(biāo)準(zhǔn)的評價(jià)方式是當(dāng)務(wù)之急，從而真正落實(shí)黨中央和國務(wù)院提出的“四個(gè)評價(jià)”要求。