張良朋

【摘 要】認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)知識很簡單的說法是片面的，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要專門研習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)知識才能達(dá)到深入理解的程度。小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)功底是一個由底層、中層、高層構(gòu)成的三層次結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師打好數(shù)學(xué)功底的基本路徑有四條：成為一名“做題”高手，善于探問“為什么”，加強針對“理解數(shù)學(xué)”的研討活動，加強對“小學(xué)數(shù)學(xué)”著作的專題研習(xí)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)功底 數(shù)學(xué)功底結(jié)構(gòu) 理解數(shù)學(xué)

一、小學(xué)數(shù)學(xué)不簡單

請看幾則案例。

1.為什么把2月份定為平月

一位教師在教學(xué)“年、月、日”一課時，有學(xué)生提問：“為什么要把2月份定為平月呢？如果把1月份定為平月不是更好記嗎？”這一問題難住了教師和其他同學(xué)，過了一會兒，教師回應(yīng)說：“你提的問題很有價值！也很難！現(xiàn)在老師也不知道問題的答案。同學(xué)們，這個問題留待你們課后去研究，看誰先找到答案告訴老師?！?/p>

盡管這位教師做出了比較“巧妙”的處理，引發(fā)了學(xué)生的課外探究活動，但作為一名數(shù)學(xué)教師，這樣的數(shù)學(xué)常識上課前就應(yīng)該十分清楚。問題在于，教師過往的學(xué)習(xí)經(jīng)歷并沒有給他提供這樣的知識儲備?！盀槭裁匆?月份定為平月呢？”這涉及天文歷法中月份的劃分及其歷史演變，如果教師課前沒有做過專門的研習(xí)，那課堂上要做到從容應(yīng)對真的挺難。

2.除數(shù)不能為0是種規(guī)定，記住就行

有學(xué)生問老師，為什么除數(shù)不能為0？教師回答，這是一個規(guī)定，我們只要記住就行了！課后，教研員和這位教師交流，談到除數(shù)為什么不能為0時，教師仍舊說：“這只是數(shù)學(xué)家的一種規(guī)定，小學(xué)生不需要知道原因。”教研員追問：“那為什么要做這種規(guī)定呢？”教師說：“那我真不清楚，應(yīng)該只是數(shù)學(xué)家做的規(guī)定而已。”

規(guī)定？規(guī)定就只能記住了事？規(guī)定肯定是有原因的，探究這個原因很可能是件很有意思的事情。雖然不是每個規(guī)定背后的原因都有必要探究一番，但作為教師，如果能看到規(guī)定背后的數(shù)學(xué)意蘊和教育價值，就很有可能將之轉(zhuǎn)化為培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維的良好機會。更值得警醒的是，拿著規(guī)定作為借口，輕易地掐滅學(xué)生追根究底的思維火花，這是多么荒謬的、沒有遠(yuǎn)見的教學(xué)行為！追根究底不正是數(shù)學(xué)一直不斷向前發(fā)展的重要推動力嗎？

3.穩(wěn)定性≠拉不動

“三角形的穩(wěn)定性”在小學(xué)階段屬于“認(rèn)識三角形”中的一個內(nèi)容。在很多教師的課堂上，這一內(nèi)容的教學(xué)通常是通過“拉一拉”的活動，引導(dǎo)學(xué)生得到“三角形拉不動，具有穩(wěn)定性;四邊形可以拉動，不具有穩(wěn)定性”的結(jié)論。

然而，這樣的教學(xué)其實并沒有反映出“穩(wěn)定性”的數(shù)學(xué)意義。“三角形的穩(wěn)定性”是三角形的一種數(shù)學(xué)性質(zhì)，它是指當(dāng)三角形三條邊的長度均確定時，三角形的形狀、大小就完全被確定，即不再改變。到了初中，可以用全等三角形判定定理“邊邊邊”來解釋三角形的穩(wěn)定性。這說明，把教學(xué)的關(guān)注點主要集中在“三角形穩(wěn)定性”所表現(xiàn)出的物理效果上（拉不動、受力后不變形），并沒有抓住“三角形穩(wěn)定性”的真正數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

以上僅是從對數(shù)學(xué)知識的理解層面舉了3個例子，類似的例子能還能舉出不少。如果進(jìn)一步聚焦于數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程、數(shù)學(xué)思想方法的運用、數(shù)學(xué)文化特質(zhì)的表現(xiàn)，類似的爭議或錯誤會變得更多。由此可見，小學(xué)數(shù)學(xué)并不簡單，達(dá)成對小學(xué)數(shù)學(xué)的深刻理解很不容易，小學(xué)數(shù)學(xué)教師有必要對小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行專門的研習(xí)。

二、數(shù)學(xué)教師需要打好數(shù)學(xué)功底

有研究指出：“有效的教學(xué)依賴于教師對所教內(nèi)容的深層含義是否有堅實的理解?！毕嚓P(guān)的國際比較研究也證實，中國數(shù)學(xué)教育之所以能夠取得好的成績，關(guān)鍵之一是“教師對數(shù)學(xué)知識的深刻理解”。這表明，對數(shù)學(xué)知識的專業(yè)化理解水平高，本是我國小學(xué)數(shù)學(xué)教師所具有的一大優(yōu)勢。但最近不少研究表明，小學(xué)數(shù)學(xué)教師的知識水平、專業(yè)水平確實不容樂觀，亟待提高，這在剛參加工作的青年教師身上表現(xiàn)得尤為明顯。雖然現(xiàn)在小學(xué)教師的“準(zhǔn)入”門檻提高了，但這主要表現(xiàn)在學(xué)歷要求上。由于師范院校里教師教育課程設(shè)置和培養(yǎng)的局限性，剛參加工作的青年教師對小學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解水平并不高。因此，有學(xué)者建議：“我認(rèn)為培養(yǎng)青年教師的根本也在于提高他們的專業(yè)知識。這是練內(nèi)功，內(nèi)功不行，各種招數(shù)使出來都是花拳繡腿?！毙W(xué)數(shù)學(xué)知識并不簡單，甚至可以說，真正展現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在意蘊是件十分困難的事情?！拔覀兘虒α藳]有？”——經(jīng)常這樣自問不是很有必要嗎？

道理其實很簡單，如果一位數(shù)學(xué)教師在還沒有弄清“教什么”之前，就把全部精力放在活動過程的設(shè)計或者教法、學(xué)法的選擇上，這種過程只能炮制出一種“課堂秀”。缺失了對數(shù)學(xué)知識的專業(yè)化理解，無論我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)看上去多么豐富多彩，在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)上都是蒼白乏力的。正如英國學(xué)者賀斯所說：“對學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識是一切教學(xué)法的基礎(chǔ)?！彼詳?shù)學(xué)教學(xué)的首要問題，不在于教學(xué)的更好方式是什么，而在于所教內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么！

基于此，筆者認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教師夯實數(shù)學(xué)功底必須引起足夠重視。參照楊華老師對中學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)功底的研究成果，筆者給出小學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)功底的層次結(jié)構(gòu)：

（1）底層是對小學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解與把握。主要包括：①明了小學(xué)數(shù)學(xué)的背景、地位與作用;②精通小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法;③熟悉小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)部的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，知識與知識之間、知識與日常生活間的聯(lián)系;等等。

（2）中層是對整個數(shù)學(xué)學(xué)科以及相關(guān)學(xué)科的了解與把握。主要包括：①了解數(shù)學(xué)發(fā)展動態(tài)及最新研究成果;②掌握數(shù)學(xué)的一般方法和有關(guān)數(shù)學(xué)思維理論;③把握數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科在知識上、方法上、思維上的相互滲透、相通相融;等等。

（3）高層是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。主要包括：①崇尚數(shù)學(xué)理性;②對數(shù)學(xué)所蘊含的文化價值、辯證規(guī)律、美學(xué)內(nèi)蘊等有深刻的體會;③不滿足已知、有不斷求索新知的能力;等等。

對照這個數(shù)學(xué)功底的層次結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)：成為一名擁有良好數(shù)學(xué)功底的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，不僅需要職前階段的認(rèn)真學(xué)習(xí)，還需要在職階段繼續(xù)付出持久的努力。尤其是在數(shù)學(xué)功底的中層、高層上，由于師范院校職前培養(yǎng)階段所設(shè)課程中一直缺少真正面向小學(xué)數(shù)學(xué)本體知識的內(nèi)容，而當(dāng)前真正適用于小學(xué)數(shù)學(xué)教師的此類學(xué)習(xí)資料也相當(dāng)缺乏，可能有很多教師想要有針對性地補強一下還是一件不容易完成的事。

三、怎樣才能打好數(shù)學(xué)功底

1.數(shù)學(xué)教師應(yīng)該成為一名“做題”高手

同一般的“刷題”不同，教師中的“做題”高手有些特殊要求：（1）要把小學(xué)數(shù)學(xué)全套教材里的題目都認(rèn)真做一遍，不論難易，都要踏踏實實過一遍，“不寫不知道”，自己經(jīng)歷過了，才能更好地體會題目的來龍去脈，達(dá)成對數(shù)學(xué)知識的深度體會和整體把握。（2）除了把題目做對，還要想想為什么這樣做，即明了背后的道理，還要想想有沒有其他的思路和做法，還要琢磨一下學(xué)生可能會怎樣想，有哪些典型的錯誤，有沒有超乎常規(guī)的新思路和新做法。（3）要站在整體的視角審視每一道題，把握知識技能層面、思想方法層面，乃至理性修養(yǎng)層面的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這即是說要努力把知識“聯(lián)”起來、把方法“明”起來、讓思想“顯”出來，讓不同層次的數(shù)學(xué)“通”起來。這樣看似在下“笨”功夫，其實是深有益處的長久修煉。（4）適當(dāng)做做初中的數(shù)學(xué)題目。據(jù)筆者調(diào)研，有相當(dāng)多的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，初中的數(shù)學(xué)知識都忘得差不多了，題目也基本都不會做了。這種現(xiàn)狀既不利于小學(xué)和初中的數(shù)學(xué)教學(xué)銜接，也不利于教師高屋建瓴地審視和把握小學(xué)數(shù)學(xué)知識及其蘊含的培養(yǎng)價值。

2.數(shù)學(xué)教師要善于探問“為什么”

受已有學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)驗的影響，教師很容易“固化”自己的思維，以為自己的想法和做法就是標(biāo)準(zhǔn)答案，潛意識認(rèn)定“只能這樣想（做）”，把所謂的數(shù)學(xué)規(guī)定視為“想當(dāng)然”“本就如此”。這將導(dǎo)致教師對數(shù)學(xué)的理解停留在表層，停留在操作層，停留在“知其然，不知其所以然”的膚淺層，很可能碰到學(xué)生有些“另類”的或錯誤的想法時，就下意識地認(rèn)為“不可思議”“不可理喻”。于是，武斷地阻斷學(xué)生的思路和表達(dá)，因而也就不能將其作為可貴的學(xué)習(xí)資源有效地引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知共振、思維共鳴和情感共通。

比如，在“萬以內(nèi)退位減法”公開課中，有一個學(xué)生突然舉手問：“老師，退位減法一定要從個位算起嗎？從高位減起不行嗎？”

教師先請學(xué)生猜一猜，“從高位減起”可以嗎？學(xué)生意見不一，教師隨手在黑板上寫了三個算式作為新的探索材料。

師：從高位減起，有沒有遇到什么麻煩？

生1：后面計算時要退位比較麻煩。

生2：計算時，我對三個結(jié)果都進(jìn)行了修改。

師：修改什么？

生2：那個計算結(jié)果，我修改了。

師：怎么改的？

生2：后面的計算向前一位退一以后，前面的差還要改下。

師：那你們有沒有辦法，讓差不做改動？

生3：我只要計算時，一心兩用，一下子看兩個數(shù)位，不退位好辦，要退位，寫差時少寫1。

師：你真厲害！看來這個方法是可行的，那課本上強調(diào)的“從個位算起”好像是多余的。

生1：我還是覺得從個位算起好，這樣簡單。

生2：我也覺得從個位算起好，不容易出錯。

師：就是這個道理，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)然要選擇既簡單又不容易出錯的方法。

學(xué)生的這個問題，把原本專注探索退位減法計算法則的學(xué)生的興趣給轉(zhuǎn)移過來了，大家都很想知道結(jié)果，這時教師可以當(dāng)場回答“不可以，因為那樣容易出錯”，然后繼續(xù)自己的教學(xué)，但這位教師的數(shù)學(xué)功底很好，他立刻意識到這個問題在學(xué)生心目中的地位，也了解“從高位算起”不是一種錯誤的方法，只是“從個位算起”更具優(yōu)越性，解決這個問題可以解開學(xué)生的疑慮，也可以引導(dǎo)學(xué)生如何選擇更優(yōu)方法，這個時間“浪費”得很值，這樣的教學(xué)偏離使得課堂綻放了深度的精彩。

3.加強針對“理解數(shù)學(xué)”的研討活動

在教學(xué)研討活動中，在進(jìn)入“教法學(xué)法”層面的研討之前，最好先在“理解數(shù)學(xué)”上達(dá)成較有深度的共識，也就是說要自覺超越數(shù)學(xué)功底的底層，向中層、高層邁進(jìn)。

（1）整體把握知識結(jié)構(gòu)。不要做“只比學(xué)生領(lǐng)先一課時”的教師，要將數(shù)學(xué)的視角自覺向前、向后、向深處、向結(jié)構(gòu)化延伸。比如，教學(xué)“三角形面積的計算”一課時，除了要想想三角形面積的計算與剛學(xué)過的平行四邊形面積的計算有何聯(lián)系、有何不同、關(guān)鍵何在、難點在哪，這樣對確定教學(xué)的起點至關(guān)重要，還要想想與將要學(xué)習(xí)的梯形面積的計算、組合圖形面積的計算有何關(guān)聯(lián)、如何孕伏、如何發(fā)展，還要想想這一系列的面積計算課共性在哪、各自的著力點在哪、如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法層面的“通”與“進(jìn)”。

（2）把準(zhǔn)知識發(fā)展節(jié)點。比如，教學(xué)“用字母表示數(shù)”就不能只是簡單地教用字母“替換”數(shù)，而是要把握“用數(shù)字表示數(shù)”到“用字母表示數(shù)”認(rèn)識鏈發(fā)展的節(jié)點在于“數(shù)”發(fā)生了變化，“以前的數(shù)都是確定的，所以用數(shù)字表示”到“現(xiàn)在的數(shù)是不確定的，無法表示為唯一的數(shù)字，于是選擇用字母表示”，進(jìn)而為從算術(shù)思維到代數(shù)思維的飛躍奠定基礎(chǔ)。

（3）體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維特質(zhì)。特級教師張齊華十分推崇“教什么比怎么教更重要”的理念，他發(fā)表過這樣的觀點：“事實上， 數(shù)學(xué)教學(xué)并不是教師‘外在于數(shù)學(xué)， 以數(shù)學(xué)為純粹‘客體‘對象而從事的搬運工作。教師與數(shù)學(xué)， 二者理應(yīng)相互交融、合二為一。一個優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師站在講臺上， 他就是數(shù)學(xué)！ 教學(xué)活動中， 他的身上應(yīng)該自然散發(fā)著一種獨特的數(shù)學(xué)光華與氣息， 一種源自理性、智慧、思辨的內(nèi)在氣質(zhì)?！?/p>

（4）重視“教材過關(guān)”考核。二十世紀(jì)八九十年代，我國數(shù)學(xué)教育界高度重視“教材過關(guān)”考核工作，要求每位數(shù)學(xué)教師都必須通過“教材過關(guān)”考核，這對夯實我國小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)功底起到了很好的助推作用。以史為鑒，筆者認(rèn)為，有必要重提鉆研數(shù)學(xué)教材的教師基本功，每位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)參加并通過“教材過關(guān)”考核。

4.加強對“小學(xué)數(shù)學(xué)”著作的專題研習(xí)

通過書本自學(xué)是個簡便易行的好途徑。除了特級教師朱樂平領(lǐng)銜的團(tuán)隊編撰的“一課研究”叢書，再推薦幾本較為系統(tǒng)的研究小學(xué)數(shù)學(xué)本體性知識的著作：（1）《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀》（吳正憲，等），這是一本高觀點下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專著——書中梳理了小學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的幾乎所有基本概念，是一本廣度與深度兼具的工具書。（2）《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》（張奠宙，等），這本書直面教學(xué)中的兩個基本問題——“教什么”和“如何教”，以現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點與批判性視角對現(xiàn)行教材內(nèi)容編排進(jìn)行評述，不僅對一線教師理解教材具有啟發(fā)作用，更對推進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教材建設(shè)做出了深入的思考。（3）《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》（張奠宙，等），這本書以小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容為研究對象，從數(shù)學(xué)上居高臨下地進(jìn)行分析、拓寬和提高，旨在幫助小學(xué)教師加深對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的理解。（4）《小學(xué)數(shù)學(xué)研究與教學(xué)指引》（章飛，等），這本書立足新課程改革的要求和變化，從數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)史、學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知現(xiàn)狀等視角對學(xué)科知識進(jìn)行深度解讀，深入淺出，視角新穎，進(jìn)而給出具體的教學(xué)方法和指導(dǎo)。（5）《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》（曾小平、曹一鳴），該書對小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與思想方法，連同相關(guān)的背景知識進(jìn)行了系統(tǒng)整理和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年U述;對一些深奧的內(nèi)容和疑難問題，結(jié)合實例進(jìn)行了深入淺出的闡述;并在“教學(xué)鏈接”欄目中進(jìn)行了通俗的解釋，給出了相關(guān)教學(xué)建議，以期提升讀者的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，增強對小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的認(rèn)識。（6）《基本概念與運算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題》（史寧中），這本書主要講述小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的一些核心問題，在理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上，探討實現(xiàn)“四基”課程目標(biāo)、適合小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方法。（7）《小學(xué)教師之友系列：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》（人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室編著），這本書是以新課標(biāo)為依據(jù)，在原中師教材《小學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》第一冊的基礎(chǔ)上修訂而成，符合數(shù)學(xué)課程改革的基本理念，為教師打下數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學(xué)背景理論知識的專業(yè)基礎(chǔ)，能夠開闊教師視野，全面提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

翟琬平，郜舒竹.“三角形穩(wěn)定性”的本質(zhì)及其變教為學(xué)的方法[J].教學(xué)月刊，2015（7）.

注1：本文系淄博師專2020年校級課題“基于診斷的小學(xué)數(shù)學(xué)校本研究”的研究成果，2019年淄博市教育科學(xué)規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)問診式校本教研實踐研究”（2019ZJY039）的研究成果。

注2：本文系國家社會科學(xué)基金“十三五”規(guī)劃2019年度教育學(xué)一般課題“新中國成立70年小學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)展史研究”（BOA190223）階段研究成果。