姜俊波

[摘 要]路程、速度、時(shí)間是行程問題中的三個(gè)元素，只要存在其一個(gè)，另外兩個(gè)必然伴隨，因而三者構(gòu)成的是一個(gè)互為犄角、相互依存的三角結(jié)構(gòu)。像這樣的邏輯結(jié)構(gòu)在數(shù)量關(guān)系中不勝枚舉，而這也是數(shù)學(xué)學(xué)科的一大特性。在百分?jǐn)?shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)中，相差百分率、比較量和參考量三者也構(gòu)成一個(gè)三角結(jié)構(gòu)，在百分?jǐn)?shù)中加入相差百分率，讓百分?jǐn)?shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)更穩(wěn)固，知識(shí)條理也更清析。

[關(guān)鍵詞]探源;基準(zhǔn);分?jǐn)?shù);分率

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）08-0018-02

百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中也存在類似行程問題中的三角結(jié)構(gòu)關(guān)系。因此，教師在教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)量關(guān)系的自覺性，以便學(xué)生能夠完整理解百分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)，做到融會(huì)貫通。下面以北師大版教材為例，就百分?jǐn)?shù)教學(xué)中遇到的困惑提出一點(diǎn)淺見。

一、教材結(jié)構(gòu)分布情況探源

為方便敘述，下文統(tǒng)一以“比較量”和“參考量”表示兩個(gè)數(shù)量，“相差幾分之幾”稱為“相差分率”，“相差百分之幾”稱為“相差百分率”。

分析上表，筆者發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題里只出現(xiàn)比較量、參考量二元結(jié)構(gòu)，沒有形成一個(gè)穩(wěn)定的“三角結(jié)構(gòu)”，“相差分率”這個(gè)元素嚴(yán)重缺位，到了百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，“相差百分率”又突然冒出來，原來的二元結(jié)構(gòu)忽然變成“三角結(jié)構(gòu)”，而且求相差百分率的知識(shí)甚至比求比較量和參考量的知識(shí)還要提前。這種倒序的教學(xué)安排不得不令筆者困惑。

二、診斷病因，解除困惑

1.為何分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中鮮有“求相差分率”題型？

綜觀各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材，在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有關(guān)“求相差分率”的題型幾乎沒有，只有在人教版（2002年）中隱約尋覓到其蹤跡，該版本教材中有“櫻桃樹15棵，李子樹20棵，李子樹的棵數(shù)比櫻桃樹多幾分之幾”的練習(xí)題。在日?？谡Z交際中，人們習(xí)慣用百分率來指代兩個(gè)數(shù)字的相差分率，這種約定俗成的用語，切合了課程標(biāo)準(zhǔn)下教材在編寫之初的宗旨和方針，讓學(xué)生在“解決實(shí)際問題”的過程中關(guān)注生活經(jīng)驗(yàn)，還原生活實(shí)景，尊重人們的生活規(guī)律和習(xí)慣，杜絕與世隔絕做數(shù)學(xué)題的陋規(guī)。正因如此，“求相差分率”類型的應(yīng)用題在新版教材中銷聲匿跡了。

2.為何先學(xué)“求相差百分率”？

站在學(xué)生的角度上看，百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中“求比較量”和“求參考量”比“求相差百分率”簡(jiǎn)單得多，為什么舍易求難、舍近求遠(yuǎn)，先學(xué)“求相差百分率”呢？在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，“求相差分率”的題型一直處于斷層狀態(tài)，到了六年級(jí)，學(xué)生首次接觸百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的“求相差百分率”類型的題目時(shí)就有些始料未及，失去知識(shí)鋪墊的教學(xué)孤立無援，開展起來也異常艱難。換一種思路，同樣是百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，其中“求比較量”和“求參考量”兩種題型，因?yàn)橛辛朔謹(jǐn)?shù)應(yīng)用題的練習(xí)成果作為基石，學(xué)生只需要將分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中“求比較量”和“求參考量”的相關(guān)知識(shí)遷移到百分?jǐn)?shù)中即可，這對(duì)學(xué)生來說比較容易理解。

3.為什么百分?jǐn)?shù)中“求參考量”的習(xí)題只出現(xiàn)在“百分?jǐn)?shù)應(yīng)用（三）”的“練一練”中？

因?yàn)榍髤⒖剂渴且粋€(gè)倒推的過程，需要用到逆向思維。當(dāng)一個(gè)題目告知比較量時(shí)，必定同時(shí)告知比較量與參考量的相差百分率，而這個(gè)相差百分率具有反向作用。順向思考采用的是方程解法和單位“1”解法，而逆向思考時(shí)都必須轉(zhuǎn)換角度和數(shù)據(jù)，才能解答，這兩種思維學(xué)生的掌握都欠火候。從前文中的統(tǒng)計(jì)表中不難發(fā)現(xiàn)：百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的“求參考量”題型用“成數(shù)”來表示相差百分率，自從在“練一練”中首次露面后，就一直被教材沿用。這其中也存在爭(zhēng)議，因?yàn)檫@種表述方式會(huì)影響教師對(duì)教學(xué)重難點(diǎn)的把握。

當(dāng)然，情況也不全是這樣，青島版教材就是例外，只出現(xiàn)表格中前三種題型，而刪減了百分?jǐn)?shù)中關(guān)于“求比較量”和“求參考量”的題型。業(yè)界一致認(rèn)為，教材在編排上的原意是用這三種基本題型來搭建百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的邏輯結(jié)構(gòu)。

三、補(bǔ)充相差百分率，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中“求相差分率”的存在是合理的。

“比較量a”“參考量b”和“相差分率c”三個(gè)量是互為支撐的三角結(jié)構(gòu)，它們的內(nèi)在聯(lián)系十分緊密：（a-b）÷b=c、b×（1+c）=a，a÷（1+c）=b。在生活中，“相差分率”很少被提及，學(xué)生的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)不足;又因?yàn)樯婕啊跋嗖罘致省钡膯栴}是兩步計(jì)算的題目，所以理解起來阻礙重重，但為了學(xué)生的技能發(fā)展考慮，就必須讓學(xué)生掌握。同時(shí)，“求相差分率”的算理也是理解“求相差百分率”的基礎(chǔ)。教師有時(shí)也難免陷入誤區(qū)，即將教材中百分?jǐn)?shù)知識(shí)的三大題型劃分為兩類：一類是求分率（倍率），即求兩個(gè)實(shí)量的分?jǐn)?shù)形態(tài)的差距，如“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（或少）百分之幾”;另一類是根據(jù)兩個(gè)實(shí)量的差距求其中一個(gè)未知實(shí)量，如根據(jù)已知的“比較量”和“差率”來求未知的“參考量”，或者根據(jù)已知的“參考量”和“差率”來求未知的“比較量”。如果只是這樣簡(jiǎn)單粗陋的分類，那么對(duì)學(xué)生知識(shí)體系的建構(gòu)和邏輯思維的發(fā)展是相當(dāng)不利的。

2.要先易后難，建構(gòu)知識(shí)體系。

不管教材出于何種考慮，也不管編者出于何種用意，無論是為了符合生活實(shí)際，還是為了減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，教師都要對(duì)這一類應(yīng)用題的訓(xùn)練規(guī)則了如指掌。

教學(xué)“求相差百分率”時(shí)，教師一定要對(duì)學(xué)生說明學(xué)習(xí)“求相差百分率”這種題型的必要性。這不是教師故意增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而是要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將“比較量”“參考量”和“相差分率（或相差百分率）”三個(gè)量合體，建構(gòu)規(guī)范的數(shù)量關(guān)系公式。

在教學(xué)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題“求比較量”后，教師應(yīng)及時(shí)教學(xué)“求參考量”，在“相差百分率”的牽引下，將二者來回推導(dǎo)，這樣做也能保證六年級(jí)上冊(cè)教材“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”和五年級(jí)下冊(cè)教材“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”形成“大一統(tǒng)”的局面。當(dāng)然，如果從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)看，將“求相差百分率”后置于“求比較量”和“求參考量”，也是一個(gè)很好的補(bǔ)救措施。

尊重教材，但不唯教材是從。我們一線教師應(yīng)該著眼知識(shí)本質(zhì)，積極探尋重點(diǎn)知識(shí)，并從中窺探知識(shí)的整體框架和教學(xué)規(guī)律，有效提升學(xué)生的思維水平，同時(shí)也提高自己的教學(xué)水平。

（責(zé)編 李琪琦）