廣東省廣州市第六中學(xué)(510300)吳林

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能.……提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”,人們將其簡稱為“三會(huì)”.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長史寧中教授指出:在本質(zhì)上,這“三會(huì)”就是高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是超越具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo).數(shù)學(xué)的眼光是什么呢?就是數(shù)學(xué)抽象.數(shù)學(xué)的思維是什么呢?就是邏輯推理.數(shù)學(xué)的語言是什么呢?就是數(shù)學(xué)模型.[1]

“三會(huì)”不僅表現(xiàn)為“結(jié)果”,也表現(xiàn)為“過程”.“三會(huì)”就是學(xué)習(xí)者面對(duì)情境中的問題,從數(shù)學(xué)的角度去分析和思考,直至找到比較滿意的問題解決結(jié)果,其本質(zhì)就是分析問題和解決問題的過程.[2]導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、圖象和零點(diǎn)等性質(zhì)最有效的工具,近幾年高考中用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的試題常常作為壓軸題出現(xiàn),對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查頗為突出.本文以高三復(fù)習(xí)內(nèi)容“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”為例,探討如何依據(jù)“三會(huì)”來設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)主要環(huán)節(jié),和學(xué)生一起尋找解題方法和策略.

人民教育出版社普通高中教科書《數(shù)學(xué)(必修第一冊)》對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的定義如下:對(duì)于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).這樣,函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0 的實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程f(x)=0 有實(shí)數(shù)解意味著函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn),而函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)意味著函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).

以“數(shù)學(xué)的眼光”來看函數(shù)的零點(diǎn)求解問題,應(yīng)該有兩個(gè)策略:方程的角度——求解方程;函數(shù)的角度——函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo),或者通過方程等價(jià)變形得到的對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).而研究哪兩個(gè)函數(shù)的圖象又是一個(gè)“用數(shù)學(xué)思維思考”的過程,對(duì)方程每一種等價(jià)變形都可以得到兩個(gè)函數(shù),通過研究兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)來研究原函數(shù)的零點(diǎn),也就是我們俗稱的“構(gòu)造函數(shù)法”.通過研究和解決這類問題,按照“三會(huì)”來設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué),能很好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想像、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

用數(shù)學(xué)的思維思考 策略一中將原問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題,是通過方程的等價(jià)變形實(shí)現(xiàn)的,最終是研究我們常見的函數(shù).事實(shí)上,通過方程的恒等變形可以變換出無窮多對(duì)函數(shù),我們需要引導(dǎo)學(xué)生思考:如何選擇研究對(duì)象?轉(zhuǎn)化的目的是讓問題變簡單,等價(jià)變形得到的函數(shù)應(yīng)該是我們熟悉的函數(shù)或易于研究的函數(shù),這也是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn).

高三復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用時(shí),我們需要特別關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界”,即數(shù)學(xué)抽象和直觀想像.以三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)圖象和性質(zhì)為例,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c(a >0)為二次函數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì)是學(xué)生們熟知的,兩者的關(guān)系如下表:

導(dǎo)函數(shù)(二次函數(shù))f′(x)=3ax2+2bx+c(a>0)的圖象原函數(shù)(三次函數(shù))f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的圖象相互關(guān)系的解讀:用數(shù)學(xué)的眼光看問題,用數(shù)學(xué)的思維思考問題,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題與x 軸無交點(diǎn)images/BZ_41_500_1044_829_1307.png單調(diào)遞增images/BZ_41_1039_1025_1350_1328.png導(dǎo)函數(shù)值恒大于0,則原函數(shù)單調(diào)遞增,且|f′(x)|越大,函數(shù)增長速度越快.與x 軸相切images/BZ_41_500_1390_828_1675.png單調(diào)遞增images/BZ_41_1039_1386_1351_1679.png導(dǎo)函數(shù)值為0 的點(diǎn)x0,在此處,函數(shù)的切線斜率為0,切線與x 軸平行,函數(shù)增長速度在此處發(fā)生改變.增長速度先由快變到慢,再由慢變到快.與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)images/BZ_41_500_1754_829_2031.png函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),先增后減再增images/BZ_41_990_1737_1347_2048.png由f′(x)>0 得f(x)單調(diào)遞增,由f′(x)<0 得f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)f′(x0)=0 時(shí),在x0 的兩側(cè),導(dǎo)函數(shù)異號(hào),x0 是原函數(shù)的極值點(diǎn).

通過三次函數(shù)的實(shí)例,再次梳理導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系,從實(shí)例中抽象出一般化結(jié)論,找到事物之間的相互聯(lián)系,通過圖象和文字語言表達(dá)兩者的內(nèi)在關(guān)系,并將這個(gè)研究結(jié)果建立成一般數(shù)學(xué)模型,用于研究類似的問題.通過這些策略能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng),讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問題、用數(shù)學(xué)的思維思考問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題.

題目2(2021年高考全國II 卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex?ax2+b.

(1)略;

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè),證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).①②.

用數(shù)學(xué)的眼光看 這是一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)問題,可以直接研究函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸交點(diǎn),若要畫函數(shù)圖象,需要先通過導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值和最值.“用數(shù)學(xué)思維思考”,導(dǎo)數(shù)f′(x)=x(ex?2a),通過定性分析和直觀想像,學(xué)生能畫出草圖如右:

用數(shù)學(xué)的思維思考 引導(dǎo)學(xué)生類比三次函數(shù)模型,不難得出原函數(shù)先增后減再增,又x →?∞時(shí),f(x)→?∞,又x →+∞時(shí),f(x)→+∞,所以只需證明函數(shù)的極大值小于0(對(duì)應(yīng)條件②),或函數(shù)的極小值大于0(對(duì)應(yīng)條件①)即可.“用數(shù)學(xué)語言”函數(shù)極值與0 的關(guān)系來表達(dá),使問題得到解決.

在用導(dǎo)數(shù)研究不等式、函數(shù)最值等問題時(shí),我們可以把“三會(huì)”作為目標(biāo)和路徑,以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體,自覺地利用數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等最基本的思維方式和思維活動(dòng),去分析問題和解決問題.[3]

題目3(2021 高考乙卷第20 題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a?x),已知x=0 是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).

(1)求a;

進(jìn)一步,用數(shù)學(xué)的思維思考,換元t=1?x,可以使原式更簡,換元得“即證tlnt?t+1>0 在t ∈(0,1)和t ∈(1,+∞)恒成立”.以下以“數(shù)學(xué)的語言”——函數(shù)的最值來表達(dá),則問題歸結(jié)為:證明函數(shù)h(t)=tlnt?t+1 最小值大于0,細(xì)節(jié)從略.

反思啟示導(dǎo)數(shù)解答題題目眾多,考查內(nèi)容廣泛,但若認(rèn)真梳理近幾年的全國高考題,會(huì)發(fā)現(xiàn)無論怎么變化,本質(zhì)是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖象和零點(diǎn).在教學(xué)中,我們應(yīng)立足“三會(huì)”,以“三會(huì)”為目標(biāo),同時(shí),應(yīng)以“三會(huì)”為教學(xué)設(shè)計(jì)的路徑,教學(xué)生“看”——數(shù)學(xué)抽象、直觀想像,教學(xué)生“思”——邏輯推理,教學(xué)生“表達(dá)”——數(shù)學(xué)建模,對(duì)每一個(gè)內(nèi)容都立足于教材和學(xué)生的認(rèn)知,明確研究內(nèi)容在“三會(huì)”中的具體內(nèi)涵與做法,使學(xué)生從舊知識(shí)中生長出新知識(shí),從舊方法中生長出新方法,探究問題逐層遞進(jìn)、螺旋上升,從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).