劉乃志 江守福 安志軍

摘? 要：教學(xué)的“碎片化”導(dǎo)致教學(xué)不能站在整體上進(jìn)行，學(xué)生學(xué)習(xí)主動性缺失. 通過三個階段的研究，得到“整體數(shù)學(xué)”的基本觀點(diǎn)，給出了章節(jié)起始課教學(xué)構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”和基于“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的單元教材整合的相關(guān)結(jié)論，能有效解決教學(xué)中存在的問題.

關(guān)鍵詞：整體數(shù)學(xué);章節(jié)起始課;數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖;單元教材整合;項(xiàng)目學(xué)習(xí)

一、問題提出

章建躍先生在《從整體性上把握好數(shù)學(xué)內(nèi)容》中指出：把握好整體性，對內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌，心中有一張“聯(lián)絡(luò)圖”，才能把準(zhǔn)教學(xué)的大方向，使教學(xué)有的放矢.也只有這樣，才能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化、聯(lián)系緊密、遷移能力強(qiáng)的知識.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.

在實(shí)際教學(xué)中，教師往往忽視數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性，具體表現(xiàn)在：忽視數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯一致性，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置“碎片化”，學(xué)生不能站在整體的高度上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué);概念教學(xué)直截了當(dāng)，學(xué)生對“數(shù)學(xué)概念是如何建立的—數(shù)學(xué)概念是什么—為什么要建立相關(guān)數(shù)學(xué)概念”缺少理解;忽視學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，在解決綜合性問題時不能建立數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的有效鏈接，解題無從下手，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、主動性和效果往往大打折扣.

基于此，筆者在多年的課堂教學(xué)和研究中不斷探索、反復(fù)求證，經(jīng)過多次論證、多輪實(shí)踐與不斷提煉，提出并逐步構(gòu)建起了“整體數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張. “整體數(shù)學(xué)”旨在解決：教師怎樣整體教，特別是教學(xué)的“碎片化”問題，以及學(xué)生怎樣系統(tǒng)學(xué)，特別是學(xué)生單一被動學(xué)習(xí)問題. 本文主要以“分式”教學(xué)為例進(jìn)行說明.

二、解決問題的過程與方法

項(xiàng)目組圍繞“一個理念”“兩個環(huán)節(jié)”“三個階段”開展研究工作，從改善“教師怎樣整體地教”出發(fā)，達(dá)到尋求“學(xué)生怎樣系統(tǒng)地學(xué)”的目的.

一個理念：整體地教數(shù)學(xué)、系統(tǒng)地學(xué)數(shù)學(xué).

兩個環(huán)節(jié)：從整體視角對章節(jié)起始課教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，從整體視角對教材進(jìn)行單元整合設(shè)計(jì).

三個階段：整體觀點(diǎn)下章節(jié)起始課教學(xué)設(shè)計(jì)研究階段，基于整體的教材單元整合研究階段，“整體數(shù)學(xué)”教學(xué)理論的構(gòu)建階段.

以上解決問題的過程與方法相輔相成、整體推進(jìn)、效果顯著. 具體如圖1所示.

1. 起始階段：整體觀點(diǎn)下章節(jié)起始課教學(xué)設(shè)計(jì)研究

章節(jié)起始課教學(xué)需要幫助學(xué)生構(gòu)建一個章節(jié)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，發(fā)揮好章節(jié)起始課教學(xué)的整體統(tǒng)領(lǐng)作用. 主要觀點(diǎn)是：讓學(xué)生理解研究對象獲得的必要性，規(guī)劃好這個章節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和路徑，然后再展開每一節(jié)的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力. 我們確立了從整體視角設(shè)計(jì)章節(jié)起始課的基本策略，形成了章節(jié)起始課建構(gòu)“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”、概念課類比教學(xué)等操作模型.

案例1：“分式”章節(jié)起始課教學(xué)設(shè)計(jì).

學(xué)生在小學(xué)先學(xué)習(xí)了整數(shù)，后引入了分?jǐn)?shù)，解決了整數(shù)運(yùn)算的封閉性問題. 整式的運(yùn)算同樣存在這樣的問題. 如果教師能基于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，站在“數(shù)式通性”的整體角度設(shè)計(jì)教學(xué)，就能更好地打通學(xué)生的認(rèn)知障礙，幫助學(xué)生構(gòu)建起良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的再生長.

教師提出問題1：兩個整數(shù)相加、相減、相乘、相除，結(jié)果仍是整數(shù)嗎？

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：兩個整數(shù)相除時，如果能夠整除，結(jié)果仍是整數(shù)，如果不能整除，結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示.

教師順勢提出問題2：兩個整式相加、相減、相乘、相除，結(jié)果仍是整式嗎？

類比問題1，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：兩個整式相除時，同樣有類似兩個整數(shù)相除的情況（有時候結(jié)果是整式，有時候結(jié)果不是整式）.

教師繼續(xù)拋出問題3：結(jié)果不是整式怎么辦？從而順利引入新的表示方法，得到“分式”這個研究對象.

接下來教師引導(dǎo)學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)的研究內(nèi)容，得到分式將要研究的內(nèi)容：定義、性質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用，形成分式一章學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”（如圖2）. 在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，教師在“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的引領(lǐng)下展開教學(xué)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程始終“見木見林”.

這種整體化的教學(xué)設(shè)計(jì)，改變了常規(guī)課堂開門見山式給出研究對象的做法，讓學(xué)生對學(xué)習(xí)分式的必要性和必然性有了較好的理解，便于學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力.章節(jié)起始課應(yīng)該體現(xiàn)整體建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維，讓學(xué)生初步感知本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容.系統(tǒng)論認(rèn)為，整體不能被化歸為其組成部分來理解，由相互聯(lián)系、相互作用的部分有機(jī)構(gòu)成的系統(tǒng)，具有其各個部分在彼此孤立的狀態(tài)下所不具有的整體特質(zhì).在實(shí)際教學(xué)中，部分學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)混亂，知識之間的鏈接關(guān)系模糊，弄不清楚新知識與已有知識的聯(lián)系，認(rèn)知結(jié)構(gòu)松散.因此，一章的教學(xué)如果從起始課開始就通過知識間的“瞻前顧后”，把將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容納入到知識體系的全局中思考，可以有效避免知識的零散化和碎片化，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的“高瞻遠(yuǎn)矚”.

2. 發(fā)展階段：基于整體的教材單元整合研究

整體觀點(diǎn)下章節(jié)起始課教學(xué)設(shè)計(jì)研究形成的基本觀點(diǎn)和操作模型，需要對教材從整體上進(jìn)行單元整合，形成更為整體一致的數(shù)學(xué)課程.

主要觀點(diǎn)如下.

（1）教師要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，把部分放到整體系統(tǒng)中去設(shè)計(jì)教學(xué);

（2）通過章節(jié)起始課教學(xué)構(gòu)建的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”統(tǒng)領(lǐng)一個章節(jié)教和學(xué)的過程，讓一個章節(jié)的學(xué)習(xí)始終“見木見林”.

項(xiàng)目組確立了微觀整合（小單元）、中觀整合（中單元）和宏觀整合（大單元）的單元整合路徑，形成了依托“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”展開單元教學(xué)設(shè)計(jì)，按照不同數(shù)學(xué)對象研究的基本路徑展開單元教學(xué)和跨單元整合等不同操作模型.

案例2：“分式”單元整合教學(xué)設(shè)計(jì).

北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第三章“分式”共11課時，進(jìn)行單元整合后為7課時. 在本章的起始課教學(xué)中，根據(jù)“數(shù)式通性”的原則，類比小學(xué)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)構(gòu)建出了分式學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，后續(xù)的單元教學(xué)將根據(jù)“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的規(guī)劃進(jìn)行整章的謀篇布局. 在具體的單元整合策略上，更加重視數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)一性，把具有相同思想方法的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行合并學(xué)習(xí). 例如，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)對分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則非常熟悉，而分式的運(yùn)算法則和分?jǐn)?shù)是共通的，把分式的運(yùn)算法則放在一節(jié)課進(jìn)行集中探究，再安排1節(jié)課（或2節(jié)課）進(jìn)行集中練習(xí)，可以讓教學(xué)更有效. 本章具體課時安排如下.

第1課時：章節(jié)起始課教學(xué). 類比分?jǐn)?shù)得到“分式”這個研究對象，類比分?jǐn)?shù)的研究內(nèi)容和路徑得到分式的研究內(nèi)容和路徑，構(gòu)建分式學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”（如圖2），并對分式的概念進(jìn)行學(xué)習(xí).

第2課時：按照“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的規(guī)劃和“數(shù)式通性”的原則研究分式的基本性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

第3課時：類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，探究分式的乘除、加減運(yùn)算法則.

第4課時：分式的運(yùn)算習(xí)題課.

第5課時：探究分式方程的解法，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

第6課時：類比整式方程的應(yīng)用學(xué)習(xí)分式方程的應(yīng)用.

第7課時：本章回顧與思考. 重新呈現(xiàn)“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，引領(lǐng)學(xué)生整體建構(gòu)知識.

通過這種站在數(shù)學(xué)高處的單元整合，進(jìn)一步發(fā)揮章節(jié)起始課教學(xué)的統(tǒng)領(lǐng)作用，實(shí)現(xiàn)先整體后局部的學(xué)習(xí)策略，強(qiáng)化了整體性板塊學(xué)習(xí)，避免了數(shù)學(xué)知識和思想方法的碎片化.

一是在“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的引領(lǐng)下讓數(shù)學(xué)知識更加系統(tǒng)和板塊化，利于學(xué)生形成良好的知識鏈接;

二是通過把體現(xiàn)相同思想方法的內(nèi)容進(jìn)行集中研究、類比研究，可以讓學(xué)生有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的遷移;

三是減少了總課時量，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí).

3. 深化階段：“整體數(shù)學(xué)”教學(xué)理論的構(gòu)建

項(xiàng)目組始終站在整體的角度上研究數(shù)學(xué)教學(xué)，根據(jù)“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”、不同數(shù)學(xué)對象研究的基本路徑等操作模型創(chuàng)造性地整合教材，逐步構(gòu)建形成“整體數(shù)學(xué)”教學(xué)理論. 主張數(shù)學(xué)教學(xué)至少要體現(xiàn)如下特征：數(shù)學(xué)知識的整體性、學(xué)生認(rèn)知的整體性、教學(xué)過程的整體性、學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性、數(shù)學(xué)與生活的統(tǒng)一性. 主要觀點(diǎn)有：數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程（如圖3）;數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該更加注重發(fā)現(xiàn)問題和提出問題（如圖4）;發(fā)揮章節(jié)起始課的統(tǒng)領(lǐng)作用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中“見木見林”;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注重數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯一致性與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一.

這種“整體數(shù)學(xué)”，將數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的整體性與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的完整性統(tǒng)一起來，并將學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性與問題解決過程的完整性統(tǒng)一起來，從而優(yōu)化了教學(xué)脈絡(luò)，實(shí)現(xiàn)了教材的優(yōu)化組合，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)系統(tǒng)完整數(shù)學(xué)知識的同時，經(jīng)歷了完整的學(xué)習(xí)過程，從而達(dá)到發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的有機(jī)統(tǒng)一. 在“整體數(shù)學(xué)”教學(xué)理論的影響下，部分實(shí)驗(yàn)學(xué)校逐步打破學(xué)科界限，實(shí)現(xiàn)向“整體教育”的跨越，學(xué)校各項(xiàng)工作得到了極大改善和有效提升.

三、結(jié)論與建議

通過對“整體數(shù)學(xué)”教學(xué)的研究與實(shí)踐探索，得到如下結(jié)論與建議.

1. 數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷研究對象獲得的過程，解決學(xué)生學(xué)什么的問題

在教學(xué)中，教師往往忽視研究對象的獲得過程，或者是開門見山，或者是草率給出，而把更多的時間用于數(shù)學(xué)對象的研究和應(yīng)用. 這種做法讓學(xué)生對于研究對象學(xué)習(xí)的必要性、重要性等缺乏認(rèn)識，對將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容缺乏整體的構(gòu)建，學(xué)習(xí)興趣、主動性和效果往往大打折扣.

教師在教學(xué)設(shè)計(jì)上關(guān)注研究對象獲得的“必要而有用”，既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活現(xiàn)實(shí)的緊密聯(lián)系，又讓學(xué)生理解所研究的對象與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的邏輯一致性，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“一般套路”，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性. 教學(xué)時，教師可以從“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”（數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯一致性）和“生活現(xiàn)實(shí)”（具體的生活情境）兩個方面或其中的一個方面進(jìn)行設(shè)計(jì)，獲得數(shù)學(xué)研究對象.

2. 數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生建立起一個章節(jié)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，解決學(xué)生怎么系統(tǒng)學(xué)的問題

數(shù)學(xué)知識具有高度的系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化，學(xué)習(xí)新知識時，要建立起與已有知識的聯(lián)系，基于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，讓學(xué)生把新知識納入到已有的知識體系中去，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓后續(xù)的學(xué)習(xí)“見木見林”.

3. 數(shù)學(xué)教學(xué)要發(fā)揮好研究路徑和研究方法的引領(lǐng)作用，解決教師教什么的問題

章建躍先生認(rèn)為，變化的是研究對象，不變的是研究路徑和研究方法，使學(xué)生在“重復(fù)”使用基本套路的過程中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會思考，學(xué)會解決問題.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重滲透一個“數(shù)學(xué)研究對象”學(xué)習(xí)的思路和方法，使他們成為一名積極、主動的學(xué)習(xí)者，學(xué)會“通過自我探索生成新知識”.讓學(xué)生構(gòu)建合理的“研究之道”或形成良好的“經(jīng)驗(yàn)性思維”，明確對新的實(shí)踐活動的判斷和行為方式的選擇，從而有效提高選擇最佳決策方案的能力，縮短從認(rèn)識到實(shí)踐這一轉(zhuǎn)化的過程.

4. 數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程，解決教師怎么整體教的問題

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程，這個過程包括：獲得數(shù)學(xué)研究對象、研究數(shù)學(xué)對象、應(yīng)用數(shù)學(xué)對象. 教師要讓學(xué)生學(xué)會用整體思維進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，培養(yǎng)學(xué)生研究問題的科學(xué)態(tài)度和理性精神，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般套路.

學(xué)生在經(jīng)歷了完整的探究過程后，學(xué)會的不僅僅是一個結(jié)論，更為重要的是通過經(jīng)歷結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和探究過程，形成了用科學(xué)的方法獲得一個命題的一般范式，發(fā)展了合情推理和演繹推理的能力. 學(xué)生的這種經(jīng)驗(yàn)會納入到自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，形成學(xué)習(xí)的整體思維，這種整體認(rèn)知的思維方式又會在今后解決類似問題中得到自然地激發(fā)，這也正是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所應(yīng)該獲得的素養(yǎng).

四、效果與反思

1. 數(shù)學(xué)教學(xué)的碎片化問題

教師通過引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，有利于引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，有效解決了教學(xué)的碎片化問題. 把這個理念應(yīng)用到集體備課、課堂教學(xué)和學(xué)生講題中去，使得教師的備課和教學(xué)有了理念的支撐，教師從尊重數(shù)學(xué)內(nèi)部的前后連貫、邏輯一致出發(fā)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué).

2. 學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性問題

從整體上進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)一個章節(jié)的開始就主動構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，單元學(xué)習(xí)根據(jù)“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”進(jìn)行謀劃和展開，學(xué)生對章節(jié)內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌，讓后續(xù)學(xué)習(xí)變得有章可循. 這種做法，一是可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)對象時，自始至終從整體出發(fā)，心中有“圖”（數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖），增強(qiáng)學(xué)習(xí)的目的性，發(fā)揮學(xué)習(xí)的主觀能動性;二是可以讓學(xué)生建立起良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在解決問題時，有效“觸發(fā)”認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某個節(jié)點(diǎn)，形成結(jié)構(gòu)中整體聯(lián)動解決問題的強(qiáng)大能量場;三是利用學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般觀點(diǎn)、基本策略和基本套路，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

五、總結(jié)與展望

本研究在前人的基礎(chǔ)上，對“整體數(shù)學(xué)”教學(xué)進(jìn)行了研究與實(shí)踐探索，界定了相關(guān)概念;對數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題進(jìn)行分析;在此基礎(chǔ)上對基于整體觀點(diǎn)的章節(jié)起始課教學(xué)和基于整體的教材單元整體設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，構(gòu)建出“整體數(shù)學(xué)”教學(xué)理論. 今后，一是需要對基于“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的單元整合教學(xué)進(jìn)行更深入的研究;二是需要針對不同教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行豐富的教學(xué)案例開發(fā)與研究，在實(shí)踐中進(jìn)一步檢驗(yàn)本文提出的教學(xué)觀點(diǎn)的有效性.

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