蔡衛(wèi)兵

摘? 要：在“借助雙曲線畫平行線”的專題性習題課中，以“反比例函數(shù)的圖象與性質的應用”為主題，以“畫平行線”為主線，以“整體關聯(lián)”為變式，基于“數(shù)學現(xiàn)實”，設置“生長性問題”驅動探究;基于“類比探究”，注重方法內(nèi)化培育核心素養(yǎng).

關鍵詞：雙曲線;平行線;問題驅動;類比探究

一、問題提出

經(jīng)過第一輪復習，大多數(shù)學生基本掃除了知識結構的欠缺和盲區(qū)，由于在數(shù)學知識體系的學習中，有許多占據(jù)重要地位的知識點和知識板塊是相互聯(lián)系的，因此在第二輪復習中要突出知識的橫向聯(lián)系和縱向延伸、拓展，將解題方法、解題思想進行歸類，以專題訓練的形式進行教學，引導學生圍繞問題多層次、全方位地深入探究，在多探之下隱性知識自然顯露，學生主動探究意識得到增強，歸納能力得到提高，數(shù)學素養(yǎng)得到發(fā)展. 此時我們會選擇具有代表性、典型性、示范性的試題作為“學生的膳食”進行課堂教學或綜合練習，給學生提供合理的“營養(yǎng)搭配”，以問題引領來激活學生思維是數(shù)學課堂教學的有力抓手. 有了問題，學生的思維才有了方向與載體，才有了交流展示的機會，課堂才能被激活.

然而在實際的專題性習題課教學中，依舊是反復的模擬演練加試卷講評，甚至有的教師習慣于研究“怎樣解”，較少問“為什么這樣解”，更少問“怎樣學會解”，忽略了探究過程中的輔助、轉換等環(huán)節(jié)的設計;有的教師徘徊在一招一式的歸類，缺少觀點上的提高或實質性的突破，對問題“提出”和“應用”研究不足. 沒有好的教學設計，沒有明確的目標和突出的主題，隨意選題和任性互動，怎樣才能更好地挖掘此類專題性習題課的功能，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展和數(shù)學素養(yǎng)的提升，都成為我們研究中需要解決的問題.

二、基本思路

構建以學生的思辨感悟與有效發(fā)展為目標的“三主一變”的教學模式，以問題為載體展開探究活動，踐行一題多思，體悟數(shù)學思維. 其中“主題”是指一堂課的核心知識和所隱含的數(shù)學思想方法、規(guī)律、策略，是教學內(nèi)容的重心;“主線”是指連接課堂教學各個環(huán)節(jié)的主要脈絡;“主體”是指教學對象，即學生，其外延包括學生的原有知識、經(jīng)驗，以及學生在學習時的情緒狀態(tài)、交往狀態(tài)和主動程度;“一變”是指在先學后教、以學定教的基礎上根據(jù)不同習題進行條件變換、結論探索、逆向思考、圖形變化等多角度、多方位的探討，強化思維的連貫性和知識的銜接性. 這就需要我們設計好數(shù)學問題，通過剖析問題的緣由、結構特征，以及產(chǎn)生新問題的生長點，在質疑、探索、釋疑中歸類對比、提煉共性、悟得通法，關注數(shù)學知識與技能目標的落實，挖掘數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，揭示數(shù)學的思想和方法，讓學生在問題解決中實現(xiàn)對知識的自我建構，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，學會數(shù)學地思考和表達. 其問題具有聚焦性，思維具有自然性，探究具有自主性，方法具有策略性，模塊具有歸一性. 本文以一節(jié)九年級“借助雙曲線畫平行線”的專題性習題課實踐“三主一變”教學模式，實現(xiàn)問題驅動學生深層思考的價值最大化.

三、設想解讀

受學生的接受能力和便于教學等諸方面因素的影響，學生獲取的知識呈“點狀”的形式，如反比例函數(shù)與幾何圖形在學生頭腦中是呈“孤立”的狀態(tài)，對知識之間的聯(lián)系理解膚淺. 本課例根據(jù)學習內(nèi)容和學生特點確定主題為“反比例函數(shù)的圖象與性質的應用”，以“畫平行線”為明線，以“數(shù)形結合與轉化思想，以及從特殊到一般的數(shù)學方法”為暗線，以“知識整體關聯(lián)與轉化”為變式，以“問題啟發(fā)學生有效思考”與以“問題促進師生智慧互動”為基調，以“動手操作”和“合作探究”為基本學習途徑，探求“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，循序漸進地使學生在變化中發(fā)現(xiàn)不變的本質、發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，進而認識數(shù)學本質，提升問題解決的能力.

美國數(shù)學家克萊因認為，數(shù)學是一種目標明確的思維活動，是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度. 為了提升學生解決問題的目標感與計劃性，解讀函數(shù)知識與幾何知識的結合點，要求學生掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會用反比例函數(shù)的代數(shù)不變性和幾何不變性，以及雙曲線的中心對稱性求解相關動點問題，在平行線的作圖與證明中，既凸顯符號意識、強化代數(shù)推理，又借助幾何直觀，運用全等相似. 通過問題驅動思維，增強問題意識，幫助學生在問題鏈的深層次思考與辨析中完善更高層次的反比例函數(shù)認知結構，積累解決函數(shù)與幾何綜合問題的策略. 問題引領，理性探索，及時準確地調控思維方向，有效消除思維定勢的干擾;適時質疑，拓展變式，培養(yǎng)學生遷移和應用知識的“深度學習”能力（如圖1），促進學生理性精神的提升，開啟豐富學生心智.

四、教學過程

1. 呈現(xiàn)開放問題，解讀對稱性

問題1：如圖2，已知[A1，3]，[B-1，-3]，你能寫出同時經(jīng)過這兩點的函數(shù)解析式嗎？

生1：直線AB的解析式為y = 3x，反比例函數(shù)的解析式為[y=3x].

追問1：如何知道反比例函數(shù)的圖象能同時經(jīng)過這兩個點.

生2：因為A，B兩點關于原點對稱.

生3：因為A，B兩點的橫縱坐標之積相等.

追問2：所求的一次函數(shù)的圖象有什么特點？

生4：因為A，B關于原點對稱，所以A，O，B三點共線，即直線AB過原點.

生5：由解析式為y = 3x，可知這個函數(shù)為正比例函數(shù)，所以其函數(shù)圖象過原點.

問題2：我們已經(jīng)知道一些畫平行線的方法，如利用一副三角板推平行線法畫平行線，用一個三角板借助網(wǎng)格來畫平行線等，那么能用一個三角板借助雙曲線來畫平行線嗎？如圖3，已知直線AB：y = 3x，雙曲線：[y=3x]，借助給出的圖形，僅用一個三角板能畫平行線嗎？怎么畫？為什么？

生6：如圖4，過點O任作一條與AB不重合的直線交雙曲線于C，D兩點，連接AC，BD，AD，BC，根據(jù)雙曲線的中心對稱性得出OA = OB，OC = OD. 由此可知四邊形ACBD是平行四邊形. 所以AC∥BD，AD∥BC.

追問1：如圖5，設AD，BC分別交x軸、y軸于點G，F(xiàn)，E，H，連接EF，GH，則EF和GH又有怎樣的位置關系呢？

生7：易證△AOF ≌ △BOH，所以OF = OH. 同理可得OE = OG. 所以四邊形EFGH是平行四邊形. 所以EF∥GH.

生8：因為[?ACBD]是以點O為對稱中心的中心對稱圖形，則有OF = OH，OE = OG，后面與生7的分析過程相同.

追問2：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生9：因為FH⊥EG，所以[?EFGH]為菱形.

【設計意圖】通過設計寫出同時過兩點的函數(shù)解析式的開放性問題，一方面，探求點的坐標與函數(shù)解析式之間的內(nèi)在聯(lián)系;另一方面，引發(fā)學生理性認知對稱性，為解決問題2激活思維. 僅用一個三角板借助雙曲線畫平行線的問題，引發(fā)了學生“借曲化直”的認知沖突，預熱了學生的發(fā)散性思維，為后面的遞進式探究做了有效的思維鋪墊.

2. 生成跟進問題，體驗解析法

問題3：借助雙曲線，利用中心對稱性可以快速、簡便地畫出多組平行線，試問圖5中還有其他平行線嗎？為什么？

學生經(jīng)過獨立思考、自主探索后，進行交流展示.

困惑：設點C的坐標為[Cp，q]，則pq = 3. 利用待定系數(shù)法求得直線BC的函數(shù)解析式為[y=q+3p+1x+q-3pp+1]. 則[E3p-qq+3，0]，[H0， q-3pp+1]，[F0， 3p-qp+1]. 如圖6，過點C作CP⊥Ox于點P，過點A作AQ⊥Oy于點Q，則[PE=p-3p-qq+3=pq+qq+3=3+qq+3=][1=AQ].

只需證明[QF=3-3p-qp+1=3+qp+1=CP]（*），即可證明Rt△CEP ≌ Rt△FAQ，所以AF = CE. 因為AF∥CE，所以四邊形ACEF是平行四邊形，從而得出結論，但（*）沒證出來.

解惑1：代入消元，將[p=3q]代入（*），通過通分和約分可得QF = q，從而求解.

解惑2：常數(shù)代換，將3 = pq代入（*），通過因式分解和約分可得QF = q，于是獲證.

解惑3：換法設元，設[Cp， 3p]，利用待定系數(shù)法求得直線BC的函數(shù)解析式為[y=3px+3-3pp]，則[Ep-1，0，H0， 3-3pp，F(xiàn)0， 3p-3p].[則有PE=]

[p-][p-1=1=AQ]，[QF=3-3p-3p=3p=CP]，后續(xù)步驟同上，略.

啟發(fā)1：借助設元，運用代數(shù)推理可以用字母表示相關的線段，只需由直線BC的函數(shù)解析式求得點E與點H的坐標. 如圖7，過點B作BJ⊥Oy于點J，易證

Rt△CEP ≌ Rt△HBJ. 所以CE = BH. 而AF = BH，所以AF = CE，后面步驟同上，略.

啟發(fā)2：函數(shù)解析式[?]點的坐標[?]線段長度，三者之間實現(xiàn)相互轉化，同理可求得，如圖8，直線AC與x軸的交點M，與y軸的交點N，易證△EOF ∽ △MON. 所以∠OEF = ∠OMN. 所以EF∥AC.

啟發(fā)3：由角導線，從已知點出發(fā)構造簡化運算，如圖9，過點A作x軸的垂線與過點C作y軸的垂線交于點I，易證Rt△EOF ≌ Rt△CIA. 所以∠OEF = ∠ICA. 因為∠ICA = ∠OMN，所以∠OEF = ∠OMN. 所以EF∥AC.

【設計意圖】充分利用生成資源跟進，自主揭示，從函數(shù)圖象與幾何圖形結合的角度整體建構. 由雙曲線上的交點連線畫出平行線到坐標軸上的交點連線產(chǎn)生新的平行線，由圖象的直觀觀察猜想到代數(shù)方法的精確計算，可謂關聯(lián)巧妙，順勢而為，體現(xiàn)“笨”方法中運算能力的重要性. 從知識本身的內(nèi)在聯(lián)系和學生思維點出發(fā)，凸顯符號意識，借助代數(shù)推理獲得線段長度，為全等或相似或平行四邊形提供條件，發(fā)現(xiàn)切入點、討論聚焦點、分析疑惑點、思辨啟發(fā)點，從而形成多種設元方法，提高學生的分式運算能力，增強學生的逆向思維能力.

3. 轉換探究問題，感悟幾何法

問題4：如圖10，連接PQ，則PQ與AC有怎樣的位置關系呢？

生10：同上借助代數(shù)推理，結合全等或相似或平行四邊形均可證明PQ∥AC.

生11：如圖10，利用已有結論EF∥AC，易證

△CME為等腰三角形. 由三線合一，可知PM = PE = 1. 所以AQ = PM. 因為AQ∥PM，所以四邊形AQPM為平行四邊形. 所以PQ∥AC.

生12：利用反比例函數(shù)的幾何不變性，即過雙曲線上的點作坐標軸的垂線后得到相關的矩形或三角形面積具有不變性. 如圖11，連接AP，CQ，則[SAPQ=32]，[SCPQ=32]. 所以[SAPQ=SCPQ]. 顯然點A和點C到直線PQ的距離相等，于是得PQ∥AC.

追問：如果過點A作x軸的垂線，過點C作y軸的垂線，是否存在類似的結論呢？可以用剛才的方法證明嗎？你會進行怎樣地推廣？

類比推廣1：如圖12，過點A作AK⊥Ox于點K，過點C作CL⊥Oy于點L，連接LK，則LK∥AC.

類比推廣2：如圖13，過點B分別作BI⊥Ox于點I，BJ⊥Oy于點J;過點C分別作CP⊥Ox于點P，CL⊥Oy于點L，連接PJ，IL，則PJ∥BC∥IL.

類比推廣3：上述平行的結論與證明的方法對任意雙曲線[y=kx]和該雙曲線上關于原點對稱的A，B兩點都成立，即過反比例函數(shù)圖象上的任意兩點分別向兩坐標軸作垂線段，經(jīng)過這兩個垂足的直線與經(jīng)過這兩點的直線互相平行.

【設計意圖】前面部分都是只利用一個三角板連線即可獲得平行線，但是在證明過程中出現(xiàn)了添加垂線的輔助線，乘勝追擊，借此觀察新圖形，繼續(xù)探究位置關系特征，及時引導學生對題中所給結論和已采用的方法進行深度思考和有效追問，發(fā)現(xiàn)運用幾何直觀進行等積轉化的妙用，簡潔明了、行之有效. 讓學生由問題發(fā)現(xiàn)新問題，經(jīng)歷從特殊到一般、從歸納到演繹的思維歷程，通過合情推理、類比、遷移，拓寬解題思路，提煉數(shù)學模型.

4. 變式拓展問題，引發(fā)創(chuàng)造性

問題5：圖14是兩個反比例函數(shù)分別位于一、三象限的一支雙曲線，借助給出的圖形，僅用一個三角板能畫平行線嗎？怎么畫？為什么？

生13：如圖15，過點O的直線AC分別交函數(shù)[y=k1x k1>0，x>0]和[y=k2x k2>0，x<0]的圖象于點A和點C，過點O的直線BD分別交函數(shù)[y=k1x][k1>0，x>0]和[y=k2x k2>0，x<0]的圖象于點B和點D，連接AB，CD，則AB∥CD.

思路解析：如圖16，分別過點A，C作AE⊥Oy于點E，CG⊥Oy于點G，分別過點B，D作BF⊥Ox于點F，

DH⊥Ox于點H，易證[OAOC=SAOESCOG=k1k2]，[OBOD=SBOFSDOH=][k1k2]. 所以[OAOC=OBOD]. 因為∠AOB = ∠COD，所以△AOB ∽△COD. 所以∠OAB = ∠OCD. 所以AB∥CD.

自主質疑：圖17是兩個反比例函數(shù)分別位于第一象限的一支雙曲線，借助給出的圖形，僅用一個三角板能畫平行線嗎？

發(fā)散聯(lián)想1：如圖18，射線OA分別交函數(shù)[y=k1x k1>0，x>0]和[y=k2x k2>0，x>0]的圖象于點C和點A，射線OB分別交函數(shù)[y=k1x k1>0，x>0]和[y=k2x k2>0，x>0]的圖象于點D和點B，連接AB，CD，則AB∥CD.

發(fā)散聯(lián)想2：如圖19，A，B為函數(shù)[y=k2xk2>k1>0，][x>0]圖象上的任意兩點，過點A，B分別作x軸的垂線交函數(shù)[y=k1x x>0]圖象于點F，D，作y軸的垂線交函數(shù)[y=k1x x>0]圖象于點C，E，連接CD，EF，則AB∥CD∥EF.

思路解析：如圖20，分別延長AF，BD交x軸于

點N，H，延長AC，BE交y軸于點G，M，連接GH，MN，由上可知GH∥CD，GH∥AB. 所以AB∥CD. 同理，MN∥EF，MN∥AB. 所以AB∥EF. 所以AB∥CD∥EF.

【設計意圖】變式拓展，建立聯(lián)系，融會貫通，深思提能. 圍繞新問題剖析、梳理圖象位置變化與幾何圖形之間的關系，準確捕捉思維節(jié)點，突破思維定勢，熟悉圖形結構，理解圖形構造原理，有利于學生體驗構造基本圖形的合理性與多樣性，感悟問題內(nèi)涵思維的關聯(lián)性與靈活性.

五、教后反思

1. 基于“數(shù)學現(xiàn)實”，設置“生長性問題”驅動探究

在學習過程中以學生已有的認知水平和思維水平為基礎，設計讓學生“跳一跳，夠得著”的問題，這樣既有利于讓學生感到問題的挑戰(zhàn)性，引領他們積極思考，又能使其感受到成功的喜悅，激發(fā)他們繼續(xù)深入探究的激情和勇氣，必要時搭好“腳手架”，適時探討交流、回顧反思、體會方法、感悟思想，提供思維內(nèi)化與思想方法領悟的時間與空間. 本課例挖掘“借助雙曲線畫平行線”問題資源開展深度學習，創(chuàng)設“寫出同時經(jīng)過這兩點的函數(shù)解析式”的開放式教學情境，激活學生“雙曲線中心對稱”的問題意識，點燃“構造平行四邊形與菱形”的思維火花，鼓勵學生質疑提問“含有雙字母的煩瑣的代數(shù)推理”，給學生提供表達自己的見解、思路和提出問題的機會，轉換“交點連線到垂足連線”的問題視角，揭示反比例函數(shù)橫縱坐標乘積的代數(shù)不變性與矩形或三角形面積的幾何不變性，以特殊到一般及由一個到多個的合理生長，重視對學生思維“最近發(fā)展區(qū)”的關注，當學生在某些知識或概念的理解上出現(xiàn)“思維斷層”而百思不得其解時，教師要找準學生的“最近發(fā)展區(qū)”，適時搭建“思維腳手架”，做好鋪墊工作，學生“借梯”拾級而上，順利地跨越“已知區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”，引導學生在嘗試與探究體驗中積極思考，讓知識能力、思維訓練、問題解決等真正得以發(fā)展.

2. 基于“類比探究”，注重方法內(nèi)化培育核心素養(yǎng)

數(shù)學素養(yǎng)的生存依賴于學生在數(shù)學活動中對應的體驗、感悟和反思，以培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)為主旨的教學，應該從以教為主向以學為主發(fā)展，關注由“一題”至“一類”的問題解決方法提煉，整體感知知識結構，多角度理解問題的深層結構，才有利于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展. 合理類比聯(lián)系“可疑”問題——借助設元，運用代數(shù)推理可以用字母表示相關的線段;順應類比遷移“相似”方法——符號意識解析法，幾何直觀面積法;巧用類比探究“拓展”問題——對任意雙曲線的任意兩個動點還成立嗎？借助兩個不同反比例函數(shù)圖象還能畫平行線嗎？能用類似的方法加以解決嗎？形成探究線之間位置關系的基本經(jīng)驗能類比、遷移、運用嗎？類比探究彰顯整體，為學生搭建數(shù)學學習的典型框架，讓學生主動地參與深層次的思維活動形成基本的數(shù)學觀念，能用類似的方法加以解決嗎？以“怎么做、怎么想到這樣做，以及同一類型還可以怎么做”設計類比探究，提供交流平臺，提供真實體驗，強調自主互動，注重方法內(nèi)化，感受數(shù)學“變中不變”的思想. 正如章建躍博士所說：“研究的對象在變，研究套路不變，思想方法不變，這就是數(shù)學基本思想、基本活動經(jīng)驗的力量”.

參考文獻：

[1]朱建良. 落實“問題為中心”的任務驅動型教學及反思[J]. 中學數(shù)學教學參考（中旬），2019（6）：24-26.

[2]徐成祥. 一道開放型函數(shù)題的教學與思考[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2019（12）：44-46.