鄧小毛 廖子菊

摘要“數(shù)值計(jì)算”是一門研究用計(jì)算機(jī)程序解決數(shù)學(xué)物理問題的方法及其理論的課程，是計(jì)算數(shù)學(xué)方向重要的基礎(chǔ)入門課。本文針對(duì)文科類院校專業(yè)課程的設(shè)置特點(diǎn)，從教材教學(xué)內(nèi)容的選擇出發(fā)，融入課程相關(guān)研究領(lǐng)域的介紹、并找到合適的思政教育結(jié)合點(diǎn)，使學(xué)生更好地掌握相關(guān)算法的基本原理的同時(shí)，了解該課程在國(guó)內(nèi)業(yè)界的應(yīng)用前景。此外通過與數(shù)學(xué)建模知識(shí)相結(jié)合，合理設(shè)置上機(jī)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生具備一定的算法驗(yàn)證及設(shè)計(jì)能力，以此切實(shí)提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)值計(jì)算 教學(xué)方法 教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.29.049

Practice of "Numerical computation" Course in Liberal Arts Colleges

DENG Xiaomao[1]， LIAO Ziju[2]

（[1]SchoolofMathematicsandStatistics，GuangdongUniversityofForeignStudies，Guangzhou，Guangdong510006；（[2]Department of Mathematics， Jinan University， Guangzhou， Guangdong 510632）

Abstract"Numerical computation" is a course that studies the methods and theories of solving mathematical and physics problemswithcomputerprograms.Itisanimportantandbasicintroductorycourseincomputationalmathematics.According tothecharacteristicsofmajorcoursesinliberalartscolleges，thiscoursestartsfromappropriateselectionofteachingmaterials and contents， then integrates introduction of relevant research fields， and finds some combination points of Ideological and Political Education， so that the students can better master the basic principles of relevant algorithms and understand the application prospect of the course in the domestic industry. In addition， by combining the knowledge of mathematical modeling and reasonably setting up computing experiments， students can obtain some algorithm verification and design ability and thus it can effectively improve their ability to solve practical problems by using mathematical methods.

KeywordsNumerical computation； teaching methods； teaching practice

文科類院校“數(shù)值計(jì)算”課程是應(yīng)用數(shù)學(xué)系學(xué)生的專業(yè)選修課，該課程包含了計(jì)算數(shù)學(xué)方向的專業(yè)課“數(shù)值線性代數(shù)”“數(shù)值逼近”“微分方程數(shù)值解”等課程的眾多經(jīng)典算法。由于算法繁多而雜，公式冗長(zhǎng)難記，學(xué)生容易將此門課程作為一門數(shù)學(xué)工具類的課程對(duì)待，滿足于死記公式，而忽略掌握算法構(gòu)造的原理，更不用說設(shè)計(jì)新的數(shù)值算法。由于課時(shí)數(shù)有限，課程內(nèi)容難以講解透徹，上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容也難以豐富，這對(duì)授課教師在課程的設(shè)計(jì)和安排上提出了更高的要求。就如中國(guó)科學(xué)院院士、計(jì)算數(shù)學(xué)專家袁亞湘所提出，大學(xué)數(shù)學(xué)除了介紹數(shù)學(xué)的重要成果、漂亮的方法和巧妙的技巧，更重要的是介紹數(shù)學(xué)的思想。[1]如何更好地傳授每個(gè)方法背后的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考是每位數(shù)學(xué)教師應(yīng)該著力的方向。為此，一方面教師需要對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容精篩細(xì)選，保證算法講解部分自成體系，[2]另一方面需要合理設(shè)置上機(jī)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生獲得一定的算法實(shí)踐能力。[3]筆者就以上兩個(gè)方面談自己的看法。

1教材內(nèi)容的選擇與取舍

在課堂教學(xué)內(nèi)容的選擇方面，首先對(duì)教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該進(jìn)行模塊化分解。筆者選擇的是李慶揚(yáng)《數(shù)值分析》第五版的教材，但是授課時(shí)不是采用教材的原有順序，而是將線性方程組的直接解法和迭代解法，非線性方程的求解等作為教學(xué)的第一部分，然后將插值法、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與微分等內(nèi)容作為第二部分，最后將常微分方程數(shù)值解作為第三部分進(jìn)行講解。通過教學(xué)內(nèi)容的合理安排，使得知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系更加緊密，有利于學(xué)生掌握和復(fù)習(xí)。

其次，每個(gè)重要的算法不乏相關(guān)的公式推導(dǎo)和定理證明，理解這些定理通常需要“線性代數(shù)”“高等數(shù)學(xué)”等課程的基礎(chǔ)，全部講解費(fèi)時(shí)費(fèi)力，故應(yīng)適當(dāng)選擇重要的定理進(jìn)行證明。比如矩陣LU分解的原理需要反復(fù)運(yùn)用初等矩陣的性質(zhì)，杜利特爾分解和平方根法均是基于該分解得到；拉格朗日插值的截?cái)嗾`差中反復(fù)使用羅爾中值定理的技巧，在牛頓插值、埃爾米特插值截?cái)嗾`差的證明中仍然需要用到；插值型數(shù)值積分公式對(duì)奇數(shù)個(gè)積分節(jié)點(diǎn)的代數(shù)精度會(huì)至少提高一階的結(jié)論需要用到對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)的定積分性質(zhì)；牛頓法的局部平方階收斂性質(zhì)的證明，從而說明牛頓迭代法對(duì)初值有要求，只能選取在真解附近；定常迭代法收斂定理為雅克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和超松弛迭代法提供了通用的收斂判斷準(zhǔn)則等，以上這些定理可詳細(xì)講解。對(duì)于一些儲(chǔ)備知識(shí)，如矩陣算子范數(shù)的推導(dǎo)、對(duì)稱正定矩陣的性質(zhì)等，都可以在拋磚引玉的前提下分解成小的證明題，留作為課后練習(xí)，避免課堂上過多的理論推導(dǎo)使學(xué)生感到枯燥，還能使學(xué)生通過動(dòng)筆練習(xí)獲得更深的理解。高年級(jí)的學(xué)生完成作業(yè)的質(zhì)量和積極性比較高，但是課本習(xí)題通常比較少，可進(jìn)行一定量習(xí)題的補(bǔ)充，且在逐年教學(xué)的過程中可形成一定的習(xí)題庫積累。

2教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)與探索

數(shù)值計(jì)算課程關(guān)注的是將數(shù)學(xué)模型離散成計(jì)算機(jī)可求解的模型并且快速高效求解這個(gè)過程，通常省略了實(shí)際問題的分析到數(shù)學(xué)模型的建立這個(gè)過程。通過多搜集實(shí)際應(yīng)用中數(shù)學(xué)建模的例子作為算法講解的引子，在每個(gè)算法講解模塊開始和結(jié)束時(shí)都設(shè)置一定比例的貼近學(xué)生生活及其所學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)建模實(shí)例，[4]讓學(xué)生明白數(shù)值計(jì)算如何應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如市場(chǎng)調(diào)查中用戶滿意度與產(chǎn)品質(zhì)量、外觀、價(jià)格等參數(shù)的關(guān)系分析中通常需要進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，數(shù)據(jù)擬合常用的工具是最小二乘法，最小二乘法的實(shí)現(xiàn)通常需要求解法方程組，通過本課程正交多項(xiàng)式的構(gòu)造可以省去對(duì)該方程組的求解；根據(jù)不同深度的海水溫度數(shù)據(jù)，通過多項(xiàng)式插值可估計(jì)出其他深度處的水溫；在金融領(lǐng)域隱含波動(dòng)率反映了投資者對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來波動(dòng)率的預(yù)期，把期權(quán)實(shí)際價(jià)格及相關(guān)參數(shù)代入期權(quán)理論價(jià)格模型如布萊克-斯科爾斯公式，通過求解一個(gè)非線性方程可反演得到隱含波動(dòng)率。此處非線性方程的求解需要用到二分法、不動(dòng)點(diǎn)迭代、牛頓法等數(shù)值方法。

此外，教師應(yīng)結(jié)合自身的研究方向，給學(xué)生傳達(dá)與本課程相關(guān)的最新科研進(jìn)展和業(yè)界資訊。大三是學(xué)生思考未來就業(yè)及學(xué)業(yè)深造方向的重要學(xué)年，學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的背景和應(yīng)用也尤為感興趣。本課程作為計(jì)算數(shù)學(xué)方向的介紹性課程，應(yīng)讓學(xué)生了解所學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展趨勢(shì)和應(yīng)用前景，同時(shí)通過介紹國(guó)內(nèi)該領(lǐng)域的發(fā)展，可自然地在課程中引入思政教育的內(nèi)容。[5]例如近十幾年來我國(guó)高速鐵路的蓬勃發(fā)展，極大方便了乘客出行，促進(jìn)了地區(qū)間的經(jīng)濟(jì)文化交流，為中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)貢獻(xiàn)了巨大的力量。經(jīng)過眾多的技術(shù)創(chuàng)新和系統(tǒng)優(yōu)化，中國(guó)現(xiàn)已成為世界高鐵技術(shù)領(lǐng)域的佼佼者。在高鐵動(dòng)車組研發(fā)過程中，為減小列車高速前進(jìn)時(shí)的空氣阻力，同時(shí)減弱會(huì)車、進(jìn)出隧道時(shí)給乘客帶來的不適感，高鐵列車頭被設(shè)計(jì)成子彈頭的流線型，此設(shè)計(jì)是通過對(duì)列車高速前進(jìn)以及會(huì)車、進(jìn)出隧道時(shí)進(jìn)行詳細(xì)的空氣動(dòng)力學(xué)分析得到。而眾所周知?dú)鈩?dòng)分析通常需要借助數(shù)值仿真技術(shù)來完成，從計(jì)算數(shù)學(xué)的角度就是需要數(shù)值求解三維的Navier-Stokes流體動(dòng)力學(xué)方程，與本課程微分方程的數(shù)值求解算法聯(lián)系密切。此外，自2009年我國(guó)國(guó)防科技大學(xué)發(fā)布“天河一號(hào)”超級(jí)計(jì)算機(jī)，我國(guó)成為國(guó)際上第二個(gè)可以獨(dú)立研制千萬億次超級(jí)計(jì)算機(jī)的國(guó)家。隨后研發(fā)的“天河二號(hào)”“神威·太湖之光”“天河三號(hào)”等超級(jí)計(jì)算機(jī)均為大數(shù)據(jù)時(shí)代的應(yīng)用提供了重要的硬件基礎(chǔ)。氣象學(xué)高精度數(shù)值天氣預(yù)報(bào)、制造業(yè)工業(yè)設(shè)計(jì)仿真、醫(yī)學(xué)圖像處理及診斷等領(lǐng)域中數(shù)值求解大規(guī)模線性及非線性方程組的需求均可由超級(jí)計(jì)算機(jī)來完成。而線性方程組的數(shù)值求解算法是本課程的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容。通過以上兩個(gè)例子，可使學(xué)生深切體會(huì)到我國(guó)在科技領(lǐng)域日新月異的發(fā)展，增強(qiáng)民族自豪感和責(zé)任感，增強(qiáng)“四個(gè)自信”，有助于學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀。

3上機(jī)實(shí)驗(yàn)題的合理設(shè)計(jì)及靈活的評(píng)分機(jī)制

在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方面，考慮到課時(shí)的限制，在每個(gè)模塊講解結(jié)束可設(shè)置上機(jī)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告并提交程序。在每次上機(jī)實(shí)驗(yàn)完成后，教師應(yīng)仔細(xì)講解算法的程序，針對(duì)學(xué)生編寫算法過程中容易出現(xiàn)的程序語句過于煩瑣或者程序邏輯不通等問題，適當(dāng)講授程序設(shè)計(jì)的基本原理，并從算法的存儲(chǔ)空間和計(jì)算速度等方面對(duì)算法進(jìn)行評(píng)價(jià)，使學(xué)生對(duì)數(shù)值算法的計(jì)算效率有更加深刻的認(rèn)識(shí)。如在編寫解線性方程組的平方根法、雅克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等算法時(shí)，由于MATLAB的矩陣向量運(yùn)算非常方便，學(xué)生會(huì)隨意地生成矩陣和向量，造成了大量存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)。在設(shè)計(jì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)時(shí)，可添加如何使得計(jì)算量最小、計(jì)算空間最省等要求，使學(xué)生深入思考算法設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)的過程。

此外，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)部分需要區(qū)分算法驗(yàn)證題和算法設(shè)計(jì)題。第一種實(shí)驗(yàn)是加深學(xué)生對(duì)于課堂所學(xué)經(jīng)典算法的理解；[6]如比較不同插值方法對(duì)同一組數(shù)據(jù)的插值效果；自己編程發(fā)現(xiàn)高次多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象的存在；比較不同迭代法的收斂速度和不同初值所獲得的解的精確度等。這類算法驗(yàn)證的問題可訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)整理以及展示數(shù)值結(jié)果，更重要的是通過分析發(fā)現(xiàn)數(shù)值結(jié)果背后的規(guī)律，使之發(fā)現(xiàn)可能存在的問題，并思考可能的改進(jìn)方法，由此過渡到新算法的設(shè)計(jì)，也即第二類題目算法設(shè)計(jì)題的要求。算法設(shè)計(jì)題還可與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐和創(chuàng)新能力。例如：結(jié)合新冠疫情傳播的現(xiàn)象介紹常見的傳染病數(shù)學(xué)模型如SI、SIR、SEIR模型等，設(shè)置相應(yīng)的算法設(shè)計(jì)及應(yīng)用題目。例如，在上學(xué)期的“數(shù)值計(jì)算”課程上，我們?cè)O(shè)置了關(guān)于SEIR模型的題目，其相應(yīng)的常微分方程組如下：

其中S，E，I，R分別表示如下各類人群的數(shù)量：

（1） S類，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；

（2） E類，潛伏者（Exposed），指接觸過感染者，但暫無能力傳染給其他人的人，對(duì)潛伏期長(zhǎng)的傳染病適用；

（3） I類，感病者（Infectious），指染上傳染病的人，可以傳播給S類成員，將其變?yōu)镋類或I類成員；

（2）請(qǐng)搜集某地區(qū)人口、新冠疫情感染人數(shù)等數(shù)據(jù)，測(cè)算傳染率，康復(fù)率等參數(shù)，并將數(shù)據(jù)代入上述模型，測(cè)算出與該數(shù)據(jù)最吻合的計(jì)算模型，對(duì)模型給出合理的解釋，并預(yù)測(cè)疫情的變化趨勢(shì)。

第一類算法實(shí)驗(yàn)可讓學(xué)生獨(dú)立完成，鼓勵(lì)使用多種語言如MATLAB、C、C++、Python等進(jìn)行程序的編寫，對(duì)于優(yōu)秀的實(shí)驗(yàn)報(bào)告可以分享給學(xué)生共同學(xué)習(xí)；第二類算法實(shí)驗(yàn)可以分組形式完成，[7]給予學(xué)生充分的時(shí)間準(zhǔn)備，并在課程設(shè)計(jì)中預(yù)留出課堂時(shí)間用于各組實(shí)驗(yàn)的PPT匯報(bào)，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)調(diào)合作能力和表達(dá)能力，教師對(duì)實(shí)驗(yàn)中遇到的問題和匯報(bào)內(nèi)容的優(yōu)缺點(diǎn)應(yīng)及時(shí)進(jìn)行合理的點(diǎn)評(píng)。

最后，由于上機(jī)實(shí)驗(yàn)是本課程必不可少的一環(huán)，為了讓學(xué)生提高利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的能力，本課程的考核方式也應(yīng)符合課程的實(shí)際情況，更加靈活。[8]比如適當(dāng)提高實(shí)驗(yàn)報(bào)告的成績(jī)比例到總成績(jī)的30%-40%，期末考試試卷中適當(dāng)添加一些開放性的問題等。通過合理的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)和上機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐，使學(xué)生從本課程中了解數(shù)值算法的設(shè)計(jì)原理和實(shí)現(xiàn)步驟，進(jìn)而有助于了解現(xiàn)有數(shù)值計(jì)算軟件所集成的算法，并可從編程實(shí)踐中獲得解決實(shí)際問題的能力。

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