李國良

【摘 要】數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。在《倍的認(rèn)識》單元復(fù)習(xí)中，以“倍”的本質(zhì)屬性——關(guān)系為主線，采用“一題一課”的形式，梳理出單元的知識結(jié)構(gòu)，在“一題”的變化中促進(jìn)知識的生長，在多重表征、多維觀察、多型練習(xí)的復(fù)習(xí)路徑中，立體化呈現(xiàn)量與量之間的不同關(guān)系，從而促進(jìn)學(xué)生思維的提升、能力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】關(guān)系 一題一課 高階思維

一、課前慎思

所謂“一題一課”，一般是指一節(jié)課中對一道題或一個(gè)材料的深入研究，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)素材，科學(xué)有序地組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，以此達(dá)到多維的目標(biāo)過程。教師在研究此題的過程中使學(xué)生在較高認(rèn)知水平層次上進(jìn)行心智活動(dòng)，促進(jìn)其高階思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課借助一課一題來展開教學(xué)，不僅能鞏固知識、強(qiáng)化技能，還能幫助學(xué)生對已學(xué)的知識進(jìn)行有效的梳理，形成結(jié)構(gòu)化的知識體系，從而促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行大概念的學(xué)習(xí)。

《倍的認(rèn)識》單元是人教版數(shù)學(xué)三年級上冊的內(nèi)容，它涉及3個(gè)例題，分別是：例1——倍的含義，例2——求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，例3——求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少。應(yīng)該說，例1是本單元知識的“種子課”，通過建立和理解倍的概念來解決與倍有關(guān)的實(shí)際問題。筆者在翻閱人教版數(shù)學(xué)教材時(shí)發(fā)現(xiàn)，與倍相關(guān)的知識教材僅安排了求倍數(shù)、幾倍數(shù)和一倍數(shù)等比較簡單的、一步解決問題的題目，而到了五年級上冊《簡易方程》單元中出現(xiàn)了如：“地球的表面積為5.1億平方千米，其中，海洋面積約為陸地面積的2.4倍，地球上的海洋面積和陸地面積分別是多少億平方千米？”“果園里種著桃樹和杏樹，杏樹的棵數(shù)是桃樹的3倍，杏樹比桃樹多90棵，桃樹和杏樹各有多少棵？”等等這樣用“和倍或差倍”來解決的實(shí)際問題。我們認(rèn)為，這與三、四年級的學(xué)習(xí)存在著一定的脫節(jié)現(xiàn)象，從大概念的視角來看，需要建構(gòu)起從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，讓其能在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上得到發(fā)展。

二、巧設(shè)一題

采用“一題一課”形式來促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，關(guān)鍵是對這“一題”的設(shè)計(jì)，它所呈現(xiàn)的是對知識“來龍去脈”的梳理，還有對知識“瞻前顧后”的把握。根據(jù)對教學(xué)內(nèi)容的分析與教材的梳理，筆者以為，教師復(fù)習(xí)時(shí)可以進(jìn)一步借助圈一圈、畫一畫等方法多維度鞏固倍的概念，在表征中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幫助其理解從不同角度觀察來建構(gòu)倍的意義，發(fā)展數(shù)學(xué)模型。一題設(shè)計(jì)如下：

學(xué)生在表征的過程中，不僅可以從部分與部分的角度分析，也可以從部分與整體的角度分析。部分與部分之間的倍數(shù)關(guān)系是教材研究倍的知識起點(diǎn)，部分與整體之間的倍數(shù)關(guān)系是和倍關(guān)系的知識起點(diǎn)，這樣，學(xué)生能從不同的角度立體化呈現(xiàn)倍的意義，為后續(xù)的用方程解決問題做準(zhǔn)備，逐步建立起方程思想，最終形成一個(gè)立體網(wǎng)狀、動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)。

三、實(shí)踐探索

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)具有面向全體學(xué)生又兼顧兩頭的差異教學(xué)理念，需建立起低起點(diǎn)進(jìn)入、高思維出來的學(xué)習(xí)路徑。眾所周知，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，而倍是兩個(gè)量比較后產(chǎn)生的新的量，是學(xué)生學(xué)習(xí)相差關(guān)系后的一種新的關(guān)系，我們以“關(guān)系”為教學(xué)主題，針對“一題一課”的教學(xué)思路開展了實(shí)踐探索。

（一）多重表征，深刻理解倍的意義

課始，教師出示核心題目，組織學(xué)生涂一涂、圈一圈，再填一填，然后列出算式，要求學(xué)生能用兩種關(guān)系和兩種不同的方法來完成。學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)知水平很快表征出不一樣的結(jié)果。

生1：涂色有2個(gè)，空白個(gè)數(shù)是涂色的3倍，6÷2=3;也可以說，涂色有2個(gè)，總個(gè)數(shù)是涂色的4倍，8÷2=4。

生2：涂色有1個(gè)，空白個(gè)數(shù)是涂色的7倍，7÷1=7;也可以說，涂色有1個(gè)，總個(gè)數(shù)是涂色的8倍，8÷1=8。

生3：涂色有4個(gè)，空白個(gè)數(shù)是涂色的1倍，4÷4=1;也可以說，涂色有4個(gè)，總個(gè)數(shù)是涂色的2倍，8÷4=2。

接著，教師讓學(xué)生一起討論生2的表征情況：算式中每個(gè)數(shù)表示的意思，并說說為什么有7倍和8倍的區(qū)別，讓學(xué)生明白標(biāo)準(zhǔn)量都是1個(gè)，比較量不一樣，它們之間的關(guān)系就不一樣，也就是倍數(shù)不一樣，使學(xué)生進(jìn)一步懂得標(biāo)準(zhǔn)量相同時(shí)，可以從不同的角度來比較與觀察，從而得到不同的結(jié)果。

隨后，教師設(shè)疑：

師：剛才大家涂色時(shí)涂了1個(gè)、2個(gè)、4個(gè)，怎么沒有涂3個(gè)呢？

生4：因?yàn)橥?個(gè)，空白是5個(gè)，它們之間沒有倍數(shù)了。

生5：涂3個(gè)，總數(shù)8個(gè)，8不能除以3。

師（出示圖2）：其實(shí)，5個(gè)和3個(gè)、8個(gè)和3個(gè)之間有倍數(shù)關(guān)系，它們是1倍多一些和2倍多一些，只是現(xiàn)在還沒有學(xué)到這個(gè)知識點(diǎn)。

這一環(huán)節(jié)主要讓學(xué)生了解雖然兩個(gè)數(shù)之間除不盡，但它們之間仍然存在著倍數(shù)關(guān)系，為以后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)（小數(shù)）倍埋下伏筆。

隨即，教師針對生3的表征結(jié)果設(shè)問。

師：這里還可以找到不一樣的倍的關(guān)系嗎？

生6：空白有4個(gè)，涂色個(gè)數(shù)是空白的1倍，總個(gè)數(shù)是空白的2倍。

師：同樣是1倍，有不一樣嗎？

生7：剛才空白個(gè)數(shù)是涂色的1倍，標(biāo)準(zhǔn)量是涂色個(gè)數(shù)，現(xiàn)在涂色個(gè)數(shù)是空白的1倍，標(biāo)準(zhǔn)量是空白個(gè)數(shù)，雖然都是1倍，但標(biāo)準(zhǔn)量和比較量發(fā)生了變化，它們所表示的意義是不一樣的。

復(fù)習(xí)時(shí)，教師必須讓每個(gè)學(xué)生能從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中迅速、正確地回憶起知識，促使其大腦興奮，從而能主動(dòng)、高效地參與課堂。這一環(huán)節(jié)主要有三個(gè)部分，每部分環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，不僅引導(dǎo)學(xué)生從部分與部分的角度去觀察它們之間的關(guān)系，而且給予解決問題的腳手架，引導(dǎo)其從部分與整體的角度去尋找它們的關(guān)系，更明確了：如果標(biāo)準(zhǔn)量與比較量發(fā)生變化，所表示倍的意義也隨之發(fā)生變化。當(dāng)然，教師在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生容易表示出空白個(gè)數(shù)與涂色部分的倍數(shù)關(guān)系，而表示總個(gè)數(shù)與涂色部分的倍數(shù)關(guān)系時(shí)存在一定思維障礙。我們以為，這與教材的編排有一定的關(guān)系，這一單元中沒有安排“整體與部分之間的倍數(shù)關(guān)系”的相關(guān)例題或習(xí)題，可能造成教師在教學(xué)時(shí)有所疏忽。因此，從這個(gè)意義上說，基于關(guān)系的倍的復(fù)習(xí)是必要的。

（二）多維觀察，深刻理解量與量的關(guān)系

在第一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，逐漸梳理出完整的關(guān)系圖（如圖3），教師組織學(xué)生觀察左右兩列的異同點(diǎn)。有了上述基礎(chǔ)，學(xué)生在同桌交流的基礎(chǔ)上很快梳理出內(nèi)在的關(guān)系。

生1：左邊都是空白部分與涂色部分之間的倍數(shù)關(guān)系，右邊是總數(shù)與涂色部分之間的倍數(shù)關(guān)系。

生2：它們的標(biāo)準(zhǔn)量是一樣的，都是涂色個(gè)數(shù)，而比較量是不一樣的。

生3：左邊與右邊橫著看，發(fā)現(xiàn)右邊比左邊的分別多1倍。

生4：右邊的比左邊的多1倍，這個(gè)1倍就是涂色部分本身的1倍。

師：通過比較可以清晰發(fā)現(xiàn)，左邊是部分量與部分量之間的關(guān)系，右邊是整體量與部分量之間的倍數(shù)關(guān)系，整體與部分量之間多的1倍就是標(biāo)準(zhǔn)量自身的1倍。

師：現(xiàn)在把其中一種關(guān)系變一下（如圖4），大家還能發(fā)現(xiàn)這里的倍數(shù)關(guān)系嗎？

生5：空白個(gè)數(shù)是涂色的3倍，算式是6÷2=3。

生6：總個(gè)數(shù)是涂色的4倍，算式是8÷2=4。

生7：空白個(gè)數(shù)比涂色多的個(gè)數(shù)是涂色的2倍，算式是（6-2）÷2=2。

師：這里的3倍、4倍、2倍分別表示什么意思呢？

…………

接著，教師組織學(xué)生觀察圖5中這三個(gè)圖示之間的區(qū)別。經(jīng)過討論，學(xué)生一致認(rèn)為前兩幅圖是部分與部分之間的倍數(shù)關(guān)系，第二個(gè)圖示的比較量是兩個(gè)量之間的差異量，第三個(gè)圖示是部分與總體之間的倍數(shù)關(guān)系，通過這一觀察、比較與分析，揭示了本節(jié)課核心主題是借助于倍的復(fù)習(xí)來研究數(shù)量之間的關(guān)系。

我們認(rèn)為，這一教學(xué)環(huán)節(jié)中的亮點(diǎn)是把原始直紙條表征的方法轉(zhuǎn)變到更清楚的上下對比的表征方式，通過對直觀幾何圖形的不同角度觀察和變化，使部分與整體（部分）之間的關(guān)系更加清晰，為后續(xù)學(xué)習(xí)和倍關(guān)系、差倍關(guān)系，甚至是“比”等關(guān)系起到較好的鋪墊作用，在思維層次上也提升了一個(gè)臺(tái)階。

（三）多型練習(xí)，建構(gòu)不同倍的模型

在進(jìn)一步掌握倍的意義的基礎(chǔ)上，明確了量與量之間的倍數(shù)關(guān)系可以是部分與整體的關(guān)系，也可以是部分與部分的關(guān)系，甚至可以是部分與兩個(gè)量之間相差部分的關(guān)系。

隨即，教師出示三個(gè)不同類型的題目（如圖6），要求學(xué)生根據(jù)圖示的意義獨(dú)立編題，四人小組交流后集體反饋，讓學(xué)生能從自己的生活經(jīng)驗(yàn)入手，編制一些不同情境、不同類型的題目，使學(xué)生對倍的意義和關(guān)系理解更為深刻，從而建立起解決倍問題的數(shù)學(xué)模型。

筆者以為，三個(gè)題目類型不同、目標(biāo)不同、層次不同，較好地體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課面向全體又有差異的特征。第一題已知標(biāo)準(zhǔn)量和倍數(shù)，求比較量，指向于復(fù)習(xí)鞏固;第二題已知倍數(shù)關(guān)系和總數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)量，指向于用算術(shù)的思維解決和倍關(guān)系中的一倍數(shù);第三題是已知比較量與標(biāo)準(zhǔn)量之間的差異量和倍數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)量，指向于用算術(shù)的思維解決差倍關(guān)系中的一倍數(shù)。這一環(huán)節(jié)是在“一題”的基礎(chǔ)上變化抽象而來的，更加符合數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，更有思維含量，更能促進(jìn)高階思維的發(fā)展。

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。我們巧設(shè)“一題”，構(gòu)建起以“關(guān)系”為主題的倍的復(fù)習(xí)，對所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)整理，著力做到知識的“聯(lián)”，厘清了倍知識的“前世今生”與后續(xù)走向，充分發(fā)揮了“一題”的功能，使知識“活”起來，讓思維“動(dòng)”起來，令能力“長”起來，不斷發(fā)展學(xué)生的高階思維。