吳家全

【摘要】主題教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)科并不是很理想.2017版高中新課標(biāo)倡導(dǎo)以主題為引領(lǐng)的教學(xué).學(xué)生在初中就學(xué)習(xí)了“標(biāo)準(zhǔn)差的作用”;高中統(tǒng)計(jì)與概率教材的各個(gè)章節(jié)也都有標(biāo)準(zhǔn)差作用的影子，但由于碎片化的分布讓學(xué)生并沒有形成對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)和理解.采用主題教學(xué)的方式設(shè)計(jì)“標(biāo)準(zhǔn)差的作用”并實(shí)施，使得教學(xué)效果比較突出，也得到了主題教學(xué)的有效策略：數(shù)學(xué)主題教學(xué)的邏輯性設(shè)計(jì)、廣泛聯(lián)系性實(shí)施和體驗(yàn)性開展.

【關(guān)鍵詞】主題教學(xué);標(biāo)準(zhǔn)差作用;邏輯性;聯(lián)系性;體驗(yàn)性

主題教學(xué)可以追溯到1931 年美國(guó)芝加哥大學(xué)的莫里遜倡導(dǎo)的著名的“莫里遜單元教學(xué)法”，是聚焦于對(duì)某一具有重要意義的課題的理解而展開的有目的的學(xué)習(xí)體驗(yàn).主題教學(xué)在語文、英語學(xué)科開展得如火如荼，但是在數(shù)學(xué)學(xué)科并不是很理想.

一、新課標(biāo)對(duì)主題教學(xué)的要求

2017版的新課標(biāo)中指出：教育教學(xué)要遵循教育規(guī)律和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，貼近學(xué)生的思想、學(xué)習(xí)、生活實(shí)際，充分反映學(xué)生的成長(zhǎng)需要，促進(jìn)每個(gè)學(xué)生主動(dòng)發(fā)展;精選教學(xué)內(nèi)容，重視以學(xué)科大概念為核心，使得課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使得課程內(nèi)容情境化，從而促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)[1].新課標(biāo)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，是由函數(shù)等五個(gè)主題構(gòu)成.新課標(biāo)數(shù)學(xué)后附的案例“函數(shù)單調(diào)性主題教學(xué)設(shè)計(jì)（案例36）”為廣大教師提供了主題教學(xué)的思想方法.因此，我們根據(jù)課標(biāo)的精神，在數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)中，開展主題教學(xué)是很有必要的.

二、標(biāo)準(zhǔn)差在教材中的分布及學(xué)生學(xué)習(xí)狀況

現(xiàn)以人教版教材中標(biāo)準(zhǔn)差的內(nèi)容分析主題教學(xué)的必要性.初二數(shù)學(xué)人教版20.2數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度中學(xué)生學(xué)習(xí)了標(biāo)準(zhǔn)差的公式及它反應(yīng)數(shù)據(jù)的離散程度的意義.高中數(shù)學(xué)人教版必修3中的2.2.2.2標(biāo)準(zhǔn)差中指出標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，并給出了標(biāo)準(zhǔn)差的另外一種解釋：居民月均用水量的100個(gè)數(shù)據(jù)落在[x--2s，x-+2s]外的只有4個(gè)，[x--2s，x-+2s]幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù)，但這種解釋很多師生是沒有重視的，緊接著閱讀與思考中“生產(chǎn)過程中的質(zhì)量監(jiān)控圖”對(duì)這種解釋進(jìn)行了運(yùn)用，可惜絕大部分閱讀材料是不會(huì)寫在教材上的.高中數(shù)學(xué)人教版選修2-3中的2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差再次提到標(biāo)準(zhǔn)差刻畫隨機(jī)變量偏離于平均值的平均程度，大部分師生認(rèn)為此知識(shí)和初中無異.高中數(shù)學(xué)人教版選修2-3的2.4正態(tài)分布中又在末尾提到了與標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)的3σ原則，只是正態(tài)分布要求低，教師對(duì)3σ原則一語帶過.我們從教材的這些分布可以看到，教材對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差的編寫是欲語還休，既不系統(tǒng)也不深刻.學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)差的內(nèi)容最深刻的就是“標(biāo)準(zhǔn)差就是反應(yīng)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小”.尤其，高中教材中關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)差的知識(shí)是散亂的、沒有邏輯的，因此，學(xué)生經(jīng)過高中學(xué)習(xí)后對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的學(xué)習(xí)仍然停留在初中水平.還有，在平時(shí)的考試數(shù)據(jù)分析中，總有標(biāo)準(zhǔn)差這一欄，筆者問過教師：“標(biāo)準(zhǔn)差在分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)時(shí)有什么用？”大部分人說沒有什么用.

三、基于主題教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)差用途的教學(xué)設(shè)計(jì)

如何讓高中階段的學(xué)生深刻系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)“標(biāo)準(zhǔn)差”？筆者以“標(biāo)準(zhǔn)差的用途”為主題，整合教材，基于主題“標(biāo)準(zhǔn)差用途”進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì)：

引入：微博中網(wǎng)友梆梆可愛與斯皮爾翠花的對(duì)話：“小作文500字我要寫半個(gè)鐘頭.”“我也是.”“寫完了就是一篇長(zhǎng)文而已，沒有任何浪漫或者心動(dòng)的東西.”“怪不得高考語文墊底.”“我們兩個(gè)文盲.”“都是人，我們的差距可能在3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外吧！”這里的“我們的差距可能在3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外”是什么意思？從而揭示主題“標(biāo)準(zhǔn)差的用途”.

問題一：下面是27人每30秒的心跳次數(shù)紀(jì)錄，如何計(jì)算這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差？

學(xué)生回憶標(biāo)準(zhǔn)差的公式

問題二：從結(jié)構(gòu)上看標(biāo)準(zhǔn)差公式有什么特點(diǎn)？

學(xué)生計(jì)算后，對(duì)結(jié)果還是存在疑問，于是繼續(xù)計(jì)算.

我們通過這兩個(gè)例子，能發(fā)現(xiàn)：數(shù)據(jù)落在（u-2σ，u+2σ）內(nèi)的頻率約為95%，數(shù)據(jù)落在（u-3σ，u+3σ）內(nèi)的頻率約為99%.

教師及時(shí)延伸，在頻率分布直方圖中，組距無限小，樣本無限大，得到的就是總體分布直方圖，它們也符合這樣的規(guī)律，如我們熟悉的正態(tài)分布也是如此.

問題三：數(shù)據(jù)落在（u-2σ，u+2σ）內(nèi)的頻率約為95%，數(shù)據(jù)落在（u-3σ，u+3σ）內(nèi)的頻率約為99%.落在區(qū)間外的數(shù)據(jù)多么？這個(gè)結(jié)論對(duì)我們有什么用？

學(xué)生思考會(huì)發(fā)現(xiàn)落在區(qū)間外是小概率事件.教師順勢(shì)提供案例：截至2019年9月底，印度影子銀行對(duì)印度公共債券的信貸利差保持在超過5年平均水平兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上，近期外國(guó)投資者在印度公共債券中的份額從一年前的4.5%下降到2018年底的3.6%，說明越來越多的全球投資者都不再看好印度經(jīng)濟(jì).

練習(xí)2：圖1是工廠生產(chǎn)零件時(shí)的質(zhì)量監(jiān)控圖，即在生產(chǎn)過程中，每隔一定的時(shí)間任取一個(gè)零件進(jìn)行檢查，并將檢查零件的尺寸用圓點(diǎn)標(biāo)注在圖中，若圓點(diǎn)在控制界限（u-3σ，u+3σ）外，可認(rèn)為有異常情況發(fā)生，應(yīng)該停機(jī)檢查.請(qǐng)解釋這樣做的理由是什么？

練習(xí)3：正態(tài)分布中，總體在（u-2σ，u+2σ）以外取值的概率只有4.6%，在（u-3σ，u+3σ）以外取值的概率只有0.3%，在（u-6σ，u+6σ）以外取值的概率有什么特點(diǎn)？ 對(duì)我們有什么啟示？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)在（u-6σ，u+6σ）以外的數(shù)據(jù)幾乎是不存在的，于是在介紹企業(yè)中的“ 6σ管理法”的數(shù)學(xué)原理時(shí)，以6σ為質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，并控制目標(biāo)出現(xiàn)在（u-6σ，u+6σ）內(nèi)，即在一百萬個(gè)里，只找出2，3個(gè)瑕疵的，是一種追求完美，追求零缺陷率的管理理念和方法.

問題四：根據(jù)我校半學(xué)期考試數(shù)學(xué)成績(jī)（如表1）和英語成績(jī)（如表2）回答：

（1）小成的數(shù)學(xué)考了106分，小成的英語考了110分，請(qǐng)判斷這兩個(gè)分?jǐn)?shù)分別在（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）中哪個(gè)區(qū)間？

（2）比較小成的英語和數(shù)學(xué)成績(jī)哪個(gè)好，為什么？

學(xué)生通過思考，計(jì)算得到：

則數(shù)學(xué)分在（u-2σ，u+2σ）內(nèi)，英語分在（u-σ，u+σ）內(nèi)，故數(shù)學(xué)成績(jī)比英語成績(jī)好.Z=X-uσ叫作標(biāo)準(zhǔn)分，可以估計(jì)原始分在幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間內(nèi)，大致占比為多少，也可以用來衡量不同類別的數(shù)據(jù)大小.下表為5歲以下兒童生長(zhǎng)狀況判定的Z評(píng)分表：

其中自家寶寶的實(shí)測(cè)值與對(duì)應(yīng)的參考寶寶群中位數(shù)之間的差值和參考寶寶群的標(biāo)準(zhǔn)差相比，所得比值為寶寶的Z評(píng)分.

標(biāo)準(zhǔn)差的用途很廣泛，如有些地方的高考賦分也可以用之估計(jì).我們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)中有可能會(huì)學(xué)習(xí)到馬爾可夫不等式與切比雪夫定理，它們?cè)谀撤N意義上刻畫了標(biāo)準(zhǔn)差在反應(yīng)數(shù)據(jù)離散程度的同時(shí)還刻畫了每個(gè)數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度.

四、基于主題教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)差用途的教學(xué)反饋

標(biāo)準(zhǔn)差這堂課設(shè)計(jì)好之后，筆者在一個(gè)中等水平的班級(jí)進(jìn)行了實(shí)踐，區(qū)內(nèi)教師參加了這堂課的觀課和議課.首先，課堂充分從標(biāo)準(zhǔn)差的定義出發(fā)，并用聯(lián)系的觀點(diǎn)讓學(xué)生思考標(biāo)準(zhǔn)差的定義有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)生分析出標(biāo)準(zhǔn)差的定義中反應(yīng)數(shù)據(jù)的偏離、平均偏離程度、保持?jǐn)?shù)據(jù)的單位與之一致便于計(jì)算等情況，充分思考了數(shù)學(xué)的本源問題.其次，教師緊緊抓住主題“標(biāo)準(zhǔn)差的用途”，從標(biāo)準(zhǔn)差反應(yīng)平均偏離程度角度出發(fā)，引出距離平均值一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差、兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差、三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間內(nèi)的占比可能是什么，通過計(jì)算兩個(gè)例子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而把規(guī)律引申到正態(tài)分布，利用這個(gè)規(guī)律發(fā)現(xiàn)異常，然后，利用這個(gè)規(guī)律反過來找到數(shù)據(jù)的占比位置，從而比較不同類別數(shù)據(jù)的優(yōu)越，引出標(biāo)準(zhǔn)差在標(biāo)準(zhǔn)化比較中的地位和作用.最后，教師為學(xué)生提供大學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)差的繼續(xù)研究及方向.整堂課，學(xué)生思維活躍，認(rèn)識(shí)具體，課堂邏輯清晰，環(huán)環(huán)相扣.課后，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了訪談，了解到學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差有了全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，并知道了標(biāo)準(zhǔn)差的三個(gè)作用及在生活中的具體應(yīng)用，增加了學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的興趣.也有點(diǎn)遺憾，因標(biāo)準(zhǔn)化比較中有點(diǎn)倉促，學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差在新高考中具體分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化的作用還有點(diǎn)不夠明白.

五、數(shù)學(xué)主題教學(xué)策略

主題教學(xué)由于要整合教材，創(chuàng)造性設(shè)計(jì)課堂，因此對(duì)教師能力要求比較高，但是它的規(guī)律也是很明顯的：

（1）聚焦主題后，教師要按照知識(shí)發(fā)展邏輯和聯(lián)系及設(shè)計(jì)課時(shí)順序進(jìn)行教學(xué).教師在進(jìn)行主題教學(xué)前，要能夠明確與主題相關(guān)的知識(shí)的前后邏輯關(guān)系，并依據(jù)對(duì)知識(shí)的邏輯的理解和認(rèn)識(shí)，進(jìn)行主題教學(xué)的設(shè)計(jì).主題的選擇可以是核心概念、重要內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想、關(guān)鍵方法等[2].

（2）主題教學(xué)融入數(shù)學(xué)文化、生活或其他學(xué)科知識(shí).主題教學(xué)作為一個(gè)聚焦內(nèi)容，不能僅僅局限于課標(biāo)、教材.為了讓學(xué)生深入了解該主題內(nèi)容，明確該主題的結(jié)構(gòu)及學(xué)習(xí)方向，主題教學(xué)應(yīng)融入數(shù)學(xué)文化、生活或其他學(xué)科知識(shí)，讓學(xué)生了解主題的背景、應(yīng)用及來龍去脈，為學(xué)生提供繼續(xù)學(xué)習(xí)的平臺(tái)和方向.

（3）主題教學(xué)體現(xiàn)針對(duì)性、體驗(yàn)性.主題教學(xué)除了要有一般課堂的規(guī)律外，它更強(qiáng)調(diào)針對(duì)性和體驗(yàn)性.主題的選擇一定是經(jīng)過教師精心思考并且很有必要的內(nèi)容，如“疑難雜癥”內(nèi)容，課程靈魂內(nèi)容等，同時(shí)還需要輔以課前、課后的閱讀與思考、題后的反思與感悟、合理的變式、實(shí)驗(yàn)探究、提煉通性通法等體現(xiàn)學(xué)生參與主題教學(xué)的活動(dòng).

總之，主題教學(xué)是新時(shí)代教育教學(xué)多樣化的一個(gè)選擇.主題教學(xué)，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的自由，獲得思想的自由，從零碎散亂的知識(shí)中解放出來，從教材的奴役中解放出來，進(jìn)而獲得人生的自由.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]邵朝友，韓文杰，張雨強(qiáng).試論以大觀念為中心的單元設(shè)計(jì)：基于兩種單元設(shè)計(jì)思路的考察[J].全球教育展望.2019（6）：74-83.