楊衛(wèi)星

【摘要】眾所周知，高等數(shù)學的主體部分是微積分學，包括一元微積分學和多元微積分學，其中多元微積分學是高等數(shù)學教學中的重點和難點.本文介紹了從一元微積分向多元微積分過渡的類比法、化繁為簡法、找不同法、數(shù)形結(jié)合法和整合法.以上方法可以幫助學生較輕松地完成多元函數(shù)微積分學的學習.

【關鍵詞】高等數(shù)學;一元微積分;多元微積分

【基金項目】本文得到了北京化工大學理學院2019年本科教育教學改革專項研究項目的資助.

一、高等數(shù)學教學現(xiàn)狀

高等數(shù)學是理工科院校的一門重要的基礎課程，各個院校基本上都在大一上下兩個學期開設高等數(shù)學課程，它的學時基本上在80到120不等.它是學生進入大學階段接觸的第一門重要課程，也是學生普遍認為較難掌握的課程.

高等數(shù)學的主體內(nèi)容是微積分學，包括一元微積分學和多元微積分學.其中一元微積分學主要講授一元函數(shù)的極限和連續(xù)性、導數(shù)與微分、微分中值定理、微分的應用、不定積分、定積分、定積分的應用.多元微積分學主要講授多元求導法則、多元微分的應用、二重積分、三重積分、重積分的應用、曲線積分、曲面積分等內(nèi)容.對于一元微積分學，因為學生有高中數(shù)學的基礎，所以他們相對好理解它.但是，等到學習多元微積分學時，多數(shù)學生會覺得很抽象，不好理解，不好掌握.這是因為從一元函數(shù)到多元函數(shù)，空間結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，函數(shù)自變量的變化范圍由一維空間擴展到了n維空間，所有的問題變得復雜了很多，研究問題的思維方式也變得復雜了，所有熟悉的結(jié)論和性質(zhì)都得經(jīng)受挑戰(zhàn)，一元微積分學中已經(jīng)被大家接受的定理和結(jié)論，在多元微積分學中，多數(shù)不再成立.

筆者多年從事高等數(shù)學一線教學工作，一直在思考高等數(shù)學改革的方向和道路.他對于如何從一元上升到多元，有很深的體會和理解.他經(jīng)過多年的嘗試，總結(jié)和摸索出了一些經(jīng)驗和方法，這些經(jīng)驗和方法可以幫助學生順利完成從一元微積分到多元微積分的過渡.

二、一元微積分到多元微積分的過渡方法

（一）類比法

在講授多元微積分學時，筆者始終以一元微積分為主線和基礎，將其和多元進行對比和分析，抓住本質(zhì)上相同的一面，講清楚不同的一面，使學生很自然地把多元看成一元的延伸和推廣，降低學習新知識的難度.每講到一個新的概念和知識點，筆者都會帶著學生先把一元微積分中相對應的概念復習一下，看看從一元推廣到多元，是怎樣的思路，哪些是保持不變的部分，哪些是產(chǎn)生變化的部分，產(chǎn)生變化的原因是什么.這樣可以引領學生真正學懂和理解知識，而不是死記硬背一些公式和定理.

比如，在講解多元函數(shù)求極值時，筆者會跟學生一起回顧一元函數(shù)極值的相關內(nèi)容，包括極值的定義、極值的必要條件、必要條件的幾何解釋、極值的充分條件，然后再引導學生得出二元函數(shù)中的上述內(nèi)容.很自然地，學生總結(jié)出一元和多元中，極值的定義是相同的，極值的必要條件是類似的，極值的幾何意義是差不多的，但極值的充分條件在多元函數(shù)中復雜了很多.學生先用類比法把極值的概念從一元推廣到二元，二元函數(shù)的極值必要條件和充分條件掌握好之后，他們就可以很輕松地把相關知識點推廣到三元及以上，從而很輕松地完成這部分內(nèi)容的學習.

再比如，講解二重積分的定義和性質(zhì)這一節(jié)時，先回顧定積分的定義和性質(zhì).學生會發(fā)現(xiàn)從定積分到二重積分，只是積分區(qū)域發(fā)生了變化，從一維的區(qū)間推廣到了平面區(qū)域.積分的實質(zhì)是一樣的，定義方法也是一樣的，都是分割、代替、近似和、求極限這四步.二重積分的性質(zhì)和定積分的性質(zhì)幾乎也是一樣的，學生可以自己寫出二重積分的所有性質(zhì)，包括線性性質(zhì)、區(qū)域可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性、估值不等式以及積分中值定理等.

學生理解了從定積分向二重積分的推廣之后，他們在教師講到三重積分以及曲線積分和曲面積分時，就會發(fā)現(xiàn)所有積分之間的類比關系，所有的積分定義方式都是一樣的，都是積分定義的四步走，積分的性質(zhì)也是類似的.這樣，對于學生來說，雖然越往后知識越難，但是運用了類比法，就會越學越輕松.

在講到積分的物理應用時，也要經(jīng)常使用類比法.比如求質(zhì)量這個話題，可以貫穿整個積分學.如果物體所占區(qū)域為平面區(qū)域，求質(zhì)量要用二重積分計算;如果物體所占區(qū)域為空間區(qū)域，求質(zhì)量要用三重積分計算;如果物體所占區(qū)域為空間弧段或者平面弧段，求質(zhì)量要用第一類曲線積分計算;如果物體所占區(qū)域為空間曲面，求質(zhì)量要用第一類曲面積分計算.類似的講法還有求質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量以及求引力.

學生學習到重積分和曲線積分以及曲面積分時，普遍感覺到吃力和困難，因為這部分內(nèi)容不僅理論知識深奧難懂，計算量又偏大，還需要學生有一定的空間想象能力.現(xiàn)在的學時很緊張，學生基本上一節(jié)課要學習一種新的積分，包括這種積分的引例、概念、性質(zhì)、計算和應用，這樣會讓學生學習這部分內(nèi)容時難上加難.老師只有合理應用類比法，順應學生的理解能力，讓學生從定積分出發(fā)去理解多重積分，才能幫助學生克服學習中的困難和心理上的恐懼，順利完成多元函數(shù)積分學這部分內(nèi)容的學習.

在教師這樣講授一段時間后，學生的思維和學習習慣得到了很大的訓練.在高數(shù)下冊的后期，筆者會找一些知識點，讓學生自己完成上面表1中的導圖，使學生自主地完成從一元到多元的過渡分析，讓學生自己試著寫出新的概念和相應的定理、結(jié)論.當學生驚訝地發(fā)現(xiàn)自己可以推導出書本上高高在上的定理時，他們就會收獲很強的學習自信心.這種良好的學習習慣和思維訓練會讓學生受益終身，比背幾個公式、解幾個題目重要得多.

現(xiàn)行的高等數(shù)學教材雖然普遍分上下兩冊進行，但是上下冊從知識體系到理論框架都高度統(tǒng)一，因此類比法是一種非常好的學習多元微積分的方法.

（二）化繁為簡

教師在講解多元函數(shù)微積分學時，如果直接講最抽象的n元函數(shù)的情形，學生會直接蒙圈，完全不能理解.所以筆者每個知識點都是先從二元函數(shù)入手，因為從一元到二元是質(zhì)變的過程，二元到多元是量變的過程，只要能順利地把知識點從一元推廣到二元，就是最關鍵的突破，也是問題的實質(zhì)所在.學生只要經(jīng)歷了從一元到二元的突破，就可以很輕松地把二元的知識推廣到多元，從而順利地得到n元函數(shù)的相關結(jié)論.

比如教師在講多元函數(shù)極限的概念時，如果直接寫n重極限的定義，學生根本聽不懂.筆者會先介紹點函數(shù)的概念，即把n元函數(shù)統(tǒng)一寫成f（P）的形式，這樣n元函數(shù)就很神奇地化為一元函數(shù)了！這種寫法的好處就是可以直接把一元函數(shù)的定義搬來使用，輕松得到n重極限的定義.小小的一個工作，對于學生理解抽象的概念卻是個大大的幫助.學生會感到多元函數(shù)的極限定義與一元函數(shù)的極限定義在形式上是一樣的，只要把相應的鄰域描述改變一下，并沒有什么難學之處.

再比如教師在講解多元復合函數(shù)求導時，如果死板教條，學生會發(fā)現(xiàn)這一節(jié)有太多的情況和類型，有太多的定理和結(jié)論.函數(shù)關系錯綜復雜，尤其是多元函數(shù)再加復合函數(shù)，更讓學生摸不著頭腦.教師在講解這部分內(nèi)容時，要從最簡單的情況入手去分析，讓學生學會分析函數(shù)關系，并且畫出變量關系圖.學生只要抓住了變量之間的關系，就可以順著關系圖利用鏈式法則去求導，而不用非得對號入座去找相應的定理.學生掌握了化繁為簡法，就可以較為輕松地面對復雜的復合求導問題了.

這種方法符合學生的學習習慣和人類的思維習慣，越是難理解的知識，教師就越得用最簡單的方法給學生講解，只有化繁為簡，化難為易，才能讓學生不被多元函數(shù)嚇倒.

（三）找不同

從一元函數(shù)微積分過渡到多元函數(shù)微積分，有一些結(jié)論和性質(zhì)是一致的，有一些結(jié)論是變化的.對于不變的地方，學生會很順利地掌握和接受.所以在授課時，筆者讓學生更加關注變化的地方.

比如在多元函數(shù)求極值的講解中，極值的必要條件筆者會一帶而過，而極值的充分條件筆者會詳細講解.因為多元函數(shù)極值的必要條件幾乎和一元函數(shù)中的結(jié)論相同，而多元函數(shù)極值的充分條件卻有了很大的變化.

再比如由一元函數(shù)導數(shù)定義推廣到多元函數(shù)導數(shù)定義時，求導的方法沒有太大的變化，求偏導的實質(zhì)就是固定其他變量對一個變量求導，這跟一元函數(shù)求導的實質(zhì)是相同的.但是一些性質(zhì)有了很大的變化，一元函數(shù)中可導等價于可微，二者可以推出連續(xù).但是在多元函數(shù)中，可微和可導不再等價，而有了強弱之分，可導也不再能推出連續(xù).筆者會讓學生多關注這些變化的地方，集中精力學習這些產(chǎn)生變化的知識點.

找不同這種方法，首先可以讓學生建立新舊知識點之間的聯(lián)系，其次可以讓學生很快抓住重點，而不是眉毛胡子一把抓，反而不知道該從哪里學起.

（四）數(shù)形結(jié)合法

所謂數(shù)形結(jié)合，是指把所要刻畫的數(shù)量關系和直觀的幾何圖形相結(jié)合，從而方便學生去理解問題.數(shù)形結(jié)合這種方法能夠使抽象的數(shù)學問題直觀化和生動化，從而把抽象思維變成形象思維.這樣能大大降低問題的難度.

教師在講解多元微積分學時，要讓學生學會借助幾何圖形理解問題，用數(shù)形結(jié)合的方法學習.比如理解多元函數(shù)極值的必要條件，可以用畫圖的方式說明，其幾何意義就是在極值點處有水平的切平面，直觀的圖形展示會比嚴格的數(shù)學證明更好讓學生理解.在講解重積分以及曲線積分和曲面積分時，筆者每個例子都會畫圖展示，這樣可以更直觀地解決問題，而且筆者要求學生寫作業(yè)時也要每個題目都配上相應的圖形.經(jīng)過這樣的訓練，學生的空間思維得到了很好的訓練，學生的解題能力大大增強.

現(xiàn)在，數(shù)學軟件可以幫助教師和學生更加方便地繪制圖形，使他們充分使用數(shù)形結(jié)合法去學習.比如在講解空間曲面中的馬鞍面時，學生看到它的方程根本不能理解，不知道是什么樣的曲面，筆者會利用軟件展示它的圖形和空間結(jié)構(gòu)，這樣學生就可以了解這種雙曲拋物面的內(nèi)部架構(gòu)了.還有，教師如果有方便的教具，也可以大大提高課堂效率，幫助學生理解復雜的空間圖形.比如，在講解二重積分的計算時，筆者會把面包片作為教具，讓學生觀察到二重積分是如何化為累次積分的.

（五）整合法

高等數(shù)學上下冊的內(nèi)容看似章章獨立，內(nèi)容繁雜，但其實很多知識點都可以加以整合.教師可以把上下冊的內(nèi)容整理成一個完整的體系和脈絡，這樣可以方便學生掌握相關的知識點，有助于學生在備考碩士研究生時進行復習.

比如在講定積分的應用時，學生學會了求平面圖形的面積，但需要分直角坐標、參數(shù)方程、和極坐標三種情況運用不同的公式去計算.在學完二重積分后，筆者會告訴學生以后求面積不需要再記住那么多的情況和公式，都統(tǒng)一為一種方法，那就是A=dσ.同樣的道理，求空間立體圖形的體積，學生先后學過了用定積分計算，用二重積分計算以及用三重積分計算，筆者給學生統(tǒng)一為只用一個公式V=dΩ去計算.類似的整合還可以用在求弧長，求曲面的面積，以及在物理的應用中求物體的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和引力.

經(jīng)過這樣的整合，學生會感覺到如釋重負，因為他們不需要記住那么多復雜的計算公式了，而且他們看到了知識之間的聯(lián)系，知識點不再是一盤散沙，而是一個完整的系統(tǒng).所以，學生掌握了這樣的學習方法之后，會越學越輕松，越學越愛學，沉迷于數(shù)學之美、理論之精妙.

三、結(jié)語

高等數(shù)學中最主要的內(nèi)容就是微積分學.其中的一元微積分學有中學的知識做基礎，相對好理解.但是多元微積分學是學生從未接觸過的知識，需要學生更多的抽象思考能力和概括能力.學生普遍感覺多元微積分學偏難，不好理解和掌握.如果教師生硬地直接講新的知識點和概念，那么將不利于學生的學習.筆者在多年的教學實踐中，摸索和總結(jié)出一套方法，讓學生順利完成從一元微積分學到多元微積分學的過渡，達到了事半功倍的效果.

這套方法就是上面介紹的類比法、化繁為簡法、找不同法、數(shù)形結(jié)合法以及整合法.筆者經(jīng)過多年的教學試驗，感到效果不錯，向大家推廣開來.

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