周龍虎 胡典順

【摘 要】類比是靈感迸發(fā)的重要誘因，亦是演繹論證的基礎(chǔ)。類比屬于合情推理范疇，具有可試性及未竟性等特征，即要對(duì)研究對(duì)象的相似性展開聯(lián)想、做出嘗試，即使結(jié)論不確定，甚至?xí)稿e(cuò)。類比的價(jià)值主要在于試誤，類比的效度在于邏輯演繹和聯(lián)想創(chuàng)造。我們應(yīng)以建構(gòu)的眼光去分解、重構(gòu)類比的過程，以達(dá)成有價(jià)值的教與有效的學(xué)。

【關(guān)鍵詞】類比;試誤聯(lián)想;邏輯演繹

【作者簡(jiǎn)介】周龍虎，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院在讀博士，一級(jí)教師，新青年數(shù)學(xué)教師工作室成員，主要從事數(shù)學(xué)教育研究;胡典順，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院教授，主要從事數(shù)學(xué)課程和教學(xué)論研究。

【基金項(xiàng)目】教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目——中小學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)的模型建構(gòu)與實(shí)證研究（19YJA880012）

在邏輯學(xué)中，類比推理通常被定義為：“它是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象在一系列屬性上是相同（相似）的，而且已知其中的一個(gè)對(duì)象還具有其他特定屬性，由此推出另一個(gè)對(duì)象也具有同樣的其他特定屬性的結(jié)論?！倍谡J(rèn)知心理學(xué)領(lǐng)域，類比既可以被看作是推理的一種類型，也被認(rèn)為是知覺的一種類型。持這一觀點(diǎn)的學(xué)者認(rèn)為類比是具有相似性的兩種情境間的遷移。無論是前者關(guān)于事物屬性的遷移，還是情境的遷移，類比終會(huì)促進(jìn)知識(shí)或理解上的遷移。數(shù)學(xué)家波利亞說：“類比是偉大的引路人。”這句話強(qiáng)調(diào)了合情推理中類比的重要性。以已有的相似性估計(jì)未知的相似性，用確定猜測(cè)不確定，正是這種推理方式的精妙之處。數(shù)學(xué)家懷特海認(rèn)為理解方式應(yīng)有兩種：第一種是把事物看作一個(gè)統(tǒng)一體，并獲得它對(duì)環(huán)境（包括結(jié)果）起作用的能力的證據(jù)（稱之為“外在理解”）;第二種是分析事物的組成要素、方式等結(jié)構(gòu)概念（稱之為“內(nèi)在理解”）。理解類比，就應(yīng)看到類比過程中嘗試的價(jià)值而非僅關(guān)注類比結(jié)果的正確性;理解類比，離不開對(duì)類比認(rèn)知過程、類比方式與策略的分析。因而從“外在理解”到“內(nèi)在理解”的本質(zhì)探尋可視作領(lǐng)悟類比這一獨(dú)特推理方式的現(xiàn)象及內(nèi)涵的有效路徑。因此，筆者認(rèn)為應(yīng)從上述兩種理解方式來理解波利亞這句話的內(nèi)涵。

一、類比始于試誤，成于勘誤

我們不可否認(rèn)，只要涉及正誤判斷的問題就會(huì)有人犯錯(cuò)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更是如此。學(xué)生出錯(cuò)，或是屢犯同樣的錯(cuò)誤，很多教師花費(fèi)大量的時(shí)間和精力糾偏、糾錯(cuò)、析理，這樣容易導(dǎo)致兩個(gè)結(jié)果：一是錯(cuò)誤難以根治（主要是元認(rèn)知或基礎(chǔ)、概念上出了問題）;二是迫使教師轉(zhuǎn)變教學(xué)態(tài)度，開始對(duì)學(xué)生犯錯(cuò)預(yù)警，盡量降低他們犯錯(cuò)的概率。英國(guó)社會(huì)學(xué)家霍布豪斯有過精辟的闡釋和評(píng)價(jià)：“他們的注意多半不是放在如何鼓勵(lì)、幫助孩子獨(dú)立自主地判斷、行事，而是放在如何提防孩子們犯錯(cuò)，如何掃清孩子們前行道路上的可能性障礙，為他們提供一條簡(jiǎn)捷、平坦的光明大道上。這種不使孩子發(fā)生任何錯(cuò)誤與過失的教育，是一種安全的教育，但絕不是一種好的教育，因?yàn)樗鼊儕Z了孩子犯錯(cuò)誤和改正錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)，也就剝奪了孩子成長(zhǎng)的機(jī)會(huì)?！逼渲?，對(duì)如何看待學(xué)生出錯(cuò)，霍布豪斯則秉持“誠(chéng)實(shí)的錯(cuò)誤高于勉強(qiáng)地接受”這一觀點(diǎn)，因?yàn)樗亲园l(fā)的行為，是個(gè)人努力的結(jié)果，是理解的必經(jīng)之路。美國(guó)教育心理學(xué)家桑代克的“試誤說”學(xué)習(xí)理論也告訴我們，學(xué)習(xí)的過程是一種漸進(jìn)的嘗試錯(cuò)誤的過程。在這個(gè)過程中，無關(guān)的錯(cuò)誤的反應(yīng)逐漸減少，而正確的反應(yīng)最終形成。因此，我們可以有效減少錯(cuò)誤的真正發(fā)生，但不能保證錯(cuò)誤絕對(duì)不發(fā)生，類比就符合這一要義。

不得不說，數(shù)學(xué)中有很多知識(shí)的某些核心屬性是相似的，因而我們給這些具有共同屬性的對(duì)象下一個(gè)定義，但有沒有必要對(duì)這些對(duì)象都一一研究呢？筆者認(rèn)為時(shí)間、精力不允許，也不利于學(xué)生遷移能力的培養(yǎng)。因此，我們需要猜測(cè)，利用這些所謂的“依據(jù)”進(jìn)行合情猜測(cè)，有時(shí)比論證更具說服力。類比這個(gè)工具，給我們帶來了認(rèn)識(shí)上的進(jìn)步。如我們總說有對(duì)比就有說服力，這里的對(duì)比是存在比較基礎(chǔ)（共性特征）的，這也是類比。類比是一種發(fā)現(xiàn)類似及其關(guān)系的直覺，能夠發(fā)現(xiàn)并建立不同事物之間的類比關(guān)系，從而指導(dǎo)認(rèn)識(shí)上的飛躍。這種相似類比，要求在思維上首先容忍事物之間的不相關(guān)，然后通過辯證分析法認(rèn)識(shí)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系，這是對(duì)事物之間關(guān)系的一種洞察力，而不是從推理中直接得來的。以下通過具體例子從類比對(duì)象的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)以及適用范圍等進(jìn)行類比。

1結(jié)構(gòu)上類比

萬物皆具有結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)是揭示事物本質(zhì)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)也不例外，數(shù)學(xué)對(duì)象如代數(shù)、幾何等都具備相應(yīng)的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)特征揭示了事物的本質(zhì)特征，決定了解題思路。

例1 已知復(fù)數(shù)z1，z2，求z1z2的值。

分析：按照常規(guī)解題思路，需先求z1z2的代數(shù)表達(dá)式，再求其模。但是這個(gè)運(yùn)算過程比較煩瑣，需要我們?cè)诮忸}策略，即思維模式上進(jìn)行探究。如上文分析，類比是一種思維策略，能溝通知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，尤其能喚醒已然默許但很關(guān)鍵的知識(shí)。該題的優(yōu)化難點(diǎn)在于沒有直觀呈現(xiàn)對(duì)比的對(duì)象，題干中除了“復(fù)數(shù)”這一核心字眼，再無其他信息。復(fù)數(shù)的運(yùn)算如何進(jìn)行？復(fù)數(shù)有哪些運(yùn)算規(guī)律？教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)擴(kuò)充而來的，它們免不了有共性特征?；貧w知識(shí)本源，這是嘗試用類比分析和解決問題的一種策略。學(xué)生察覺出復(fù)數(shù)系運(yùn)算性質(zhì)與實(shí)數(shù)系運(yùn)算性質(zhì)的類似，就會(huì)疑惑z1z2=z1·z2是否成立，從而優(yōu)化運(yùn)算。

例2 已知a<0，f（x）滿足f（x+a）=f（x）-1f（x）+1，證明f（x）為周期函數(shù)。

分析：直接求出f（x）的周期并不容易，需要先研究一個(gè)與f（x）類似的函數(shù)，通過研究其周期，再類比猜測(cè)函數(shù)f（x）的周期。根據(jù)條件f（x+a）=f（x）-1f（x）+1，容易聯(lián)想到tanx-π4=tanx-1tanx+1，發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=tanx實(shí)質(zhì)上是函數(shù)f（x）當(dāng)a=-π4的特例。因而問題就轉(zhuǎn)向研究函數(shù)y=tanx的周期性，由數(shù)量關(guān)系π=（-4）× -π4，合情猜想-4a=（-4）×a，從而這一結(jié)論容易得證。限于篇幅原因，證明過程略。

2性質(zhì)上類比

對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)涵與外延的界定需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，而對(duì)于其區(qū)別于其他對(duì)象的本質(zhì)屬性則需要性質(zhì)上的歸納與概括。然而中學(xué)數(shù)學(xué)中諸多數(shù)學(xué)定義的相似性決定了性質(zhì)上的相近性，如圓錐曲線等。

例3 已知過拋物線Φ：y2=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線l與Φ交于A，B兩點(diǎn)，則有性質(zhì)：1|AF|+1|FB|=2p。若是橢圓或雙曲線具有哪些性質(zhì)呢？

分析：圓、橢圓、雙曲線和拋物線的性質(zhì)類比雖然是學(xué)生最為熟悉的一類問題，但他們對(duì)某些字母的意義或性質(zhì)并非全然了解，從而在解題中頻繁出錯(cuò)。例如對(duì)于拋物線Φ中p的幾何意義，學(xué)生即使知道指的是其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，那直接類比到橢圓或雙曲線中，得到焦準(zhǔn)距為b2c也是不對(duì)的。在這一試誤過程中，我們發(fā)現(xiàn)，如果質(zhì)疑p的由來，就會(huì)主動(dòng)推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;學(xué)生在檢驗(yàn)結(jié)論（常研究弦所在直線斜率不存在情形）時(shí)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往與曲線的本質(zhì)特征——離心率有關(guān)（拋物線的離心率e=1，故類比的風(fēng)險(xiǎn)較大）。

綜上可知，我們要善于抓住數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征，利用相似對(duì)象的性質(zhì)進(jìn)行聯(lián)系并延拓。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師針對(duì)所教內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)類比設(shè)問情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題和解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的類比設(shè)問意識(shí)和能力，這無疑是需要引起重視的。[1]

3特殊與一般的轉(zhuǎn)化類比

類比推理是將相似問題的解決思路與方法引進(jìn)新問題中，是有效經(jīng)驗(yàn)遷移的過程，因而常伴隨著新問題的解決及新舊問題解決辦法的概括。類比雖立足于從特殊到特殊，試圖找尋不同對(duì)象的共性特征，但一般性往往寓于特殊性中，因此，類比也是特殊與一般化思想的重要組成部分。類比推理促進(jìn)了命題適用范圍的擴(kuò)大及一般化。

例4 5個(gè)人換座位，要求每個(gè)人都不能坐回原來的位子上，求滿足題意的方法數(shù)。

分析：該題屬于典型的錯(cuò)排問題，直接求n個(gè)人錯(cuò)排的方法數(shù)an的通項(xiàng)公式較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是要先求出數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式。從課堂探究的情形來看，教師即使引導(dǎo)學(xué)生探求數(shù)列{an}的遞推關(guān)系，他們也不愿改變歸納式研究的首選方案（在他們看來，類比中若能發(fā)現(xiàn)很“優(yōu)美”的共性結(jié)論，此類比結(jié)論則是正確的），經(jīng)過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)2個(gè)人錯(cuò)排方法數(shù)為1=10種;3個(gè)人錯(cuò)排方法數(shù)為2=21種;4個(gè)人錯(cuò)排方法數(shù)為9=32種。從而猜想5個(gè)人錯(cuò)排方法數(shù)為64=43種，并將其推廣到一般情形：n個(gè)人錯(cuò)排方法數(shù)為nn-1種（歸納過程中蘊(yùn)含著類比）。筆者肯定了學(xué)生敏銳的洞察力，但同時(shí)也提出疑問：能否解釋nn-1的實(shí)際意義，若解釋不清，這一類比多半是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，5個(gè)人錯(cuò)排方法數(shù)為44種。不難分析得到，學(xué)生的思維是傾向于從特殊到特殊，或是從特殊到一般的歸納式思維，但常常忽略類比過程中的邏輯成分。如若不顧及類比物之間的差異，試誤是毫無意義的。如在平面幾何中有這樣的命題“垂直于同一直線的兩直線互相平行”，直接簡(jiǎn)單類比到立體幾何中，得到的命題“垂直于同一平面的兩平面互相平行”卻是假命題;“三角形三條高交于一點(diǎn)”的命題成立，而“四面體四條高線交于一點(diǎn)”的命題卻不成立。因此，在特殊與一般的轉(zhuǎn)化類比教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)類比對(duì)象的共性特征和異質(zhì)特征做充分的對(duì)比與分析，方能確保一般化的結(jié)論經(jīng)得起推敲。

綜上所述，從“外在理解”層面理解類比可從數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)等要素著手，警惕類比過程中掉進(jìn)類比陷阱。為增加類比的可信度，減少試誤的次數(shù)，我們可適當(dāng)增加類比項(xiàng)，找到類比對(duì)象的不同屬性間的本質(zhì)和必然的關(guān)系。

二、類比的效度：邏輯演繹與聯(lián)想創(chuàng)造

如果類比的內(nèi)在機(jī)理或與類比的過程未弄清楚，類比是難以被真正理解的。美國(guó)西北大學(xué)心理系教授Dedre Gentner認(rèn)為，類比應(yīng)用主要涉及的認(rèn)知過程有：（1）檢索（retrieval），在工作記憶中給定一些當(dāng)前情境，人們從長(zhǎng)時(shí)記憶中獲取一個(gè)先前相似的或類似的例子;（2）映射（mapping），在工作記憶中給定兩個(gè)案例，映射由聯(lián)合它們的表征結(jié)構(gòu)以抽取共同性和從一個(gè)到另一個(gè)投射推論組成;（3）評(píng)價(jià)（evaluation），對(duì)類比及其推論所做的基本判斷以便于新的推論的抽取;（4）抽?。╝bstraction），即抽取兩個(gè)相類似的事物的結(jié)構(gòu)共同性，在映射過程中可能會(huì)存在進(jìn)一步的加工;（5）再表征（rerepresentation），改編一個(gè)或兩個(gè)表征以提高匹配?？偠灾?，類比是根據(jù)類似物這一客觀對(duì)象所進(jìn)行的規(guī)律與事實(shí)的聯(lián)想，不是從一個(gè)偶然的聯(lián)想到另一個(gè)偶然的聯(lián)想;類比是從形式結(jié)構(gòu)表征到邏輯意義表征動(dòng)態(tài)漸變的過程，不是一步到位的瞬變過程。

類比推理具備投石問路的功能，正如德國(guó)數(shù)學(xué)家康德（IKant）所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往可以指引我們前進(jìn)?！比绾伪ＷC前進(jìn)之路不再折返，就不得不考慮類比的效度問題。欲提高類比的效度，就必須將類比置于推理和邏輯范疇內(nèi)。類比推理方式雖然是單一的由特殊到特殊的過程，但其中蘊(yùn)含的思維過程包括歸納和演繹推理。它先由每個(gè)對(duì)象具有某種屬性歸納得到某類對(duì)象具有該種屬性，然后再由此演繹得出另一同類對(duì)象也具有該屬性。類比較歸納可靠性更差，因?yàn)楹笳咴谶壿嬐评碇幸话闾N(yùn)含特殊，所以其結(jié)論總不至于走向真實(shí)的反面，而類比是有可能的;類比較歸納更難運(yùn)行，因?yàn)槿绻惐葘?duì)象隱晦時(shí)，類比是盲目的，這就需要有敏銳的洞察力和豐富的聯(lián)想創(chuàng)造能力。

1類比離不開邏輯演繹

在大前提和推理形式正確的前提下，推理結(jié)果是無誤的，因此要得到一個(gè)可靠的類比結(jié)果離不開邏輯演繹。邏輯演繹作為一種保真推理方式，能將類比對(duì)象的共性特征和共同本質(zhì)提煉并概括出來。

例5 設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=2Sa+b+c。類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體S-ABC的體積為V，則r=??? 。

分析：這是學(xué)生的一道獨(dú)立作業(yè)題，正確率還是比較高的。筆者自認(rèn)為學(xué)生對(duì)類比推理掌握得不錯(cuò)，待到課下與學(xué)生交流才得知，做對(duì)的絕大部分學(xué)生只是單純地注重到了平面幾何與空間幾何的元素的對(duì)應(yīng)類比，即點(diǎn)對(duì)線，線對(duì)面，面對(duì)體，因而猜得結(jié)論r=3VS1+S2+S3+S4，不曾想到證實(shí)或證偽。經(jīng)過筆者的提示后，還有很大一部分學(xué)生不知道如何驗(yàn)證，即使知道平面中三角形內(nèi)切圓的半徑的求法采用的是面積分割法，也不能類比到體積分割上來。

例6 如圖1，在平面幾何中，△ABC∠C的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為ACBC=AEBE，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中，面DEC平分二面角A-CD-B，且與AB相交于點(diǎn)E，則得到類比的結(jié)論是???? 。

分析：在批改學(xué)生的作業(yè)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)有60以上的學(xué)生填的答案是S△ACDS△BCD=S△ACES△BCE，而參考答案給的是S△ACDS△BCD=AEBE。很多學(xué)生覺得答案不對(duì)，他們認(rèn)為平面幾何中是線段成比例，空間幾何中應(yīng)該是面積成比例。這樣的思路貌似是正確的，但在探求結(jié)論的證明思路后，發(fā)現(xiàn)平面幾何中是由三角形面積比例得到的線段之比。同樣地，空間幾何中也應(yīng)從三棱錐體積之比入手，得到的直接結(jié)論便是參考答案的形式。盡管類比元素（或形式）很重要，但類比思路才是核心。

例7 4個(gè)平面最多能將空間分成幾部分？5個(gè)平面呢？

分析：波利亞指出：“類比是某種類型的相似性。我們可以說它是一種更確定和更具概念性的相似。”解決本題的關(guān)鍵就在于能否將這種更確定和更具概念性的相似用數(shù)學(xué)的方式清楚地表達(dá)出來。平面分空間的問題較難在紙上完成，特別是平面?zhèn)€數(shù)多，且要求分成最多部分的情形。由于數(shù)學(xué)的高度抽象性，以及隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程的發(fā)展，數(shù)學(xué)對(duì)象之間的表面相似性越來越小，深層次的結(jié)構(gòu)相似性需要用恰當(dāng)?shù)姆绞奖碚骱蟛拍茱@現(xiàn)出來，越直觀地表征出對(duì)象之間的結(jié)構(gòu)相似性，越能促進(jìn)類比推理的進(jìn)行。[2]學(xué)生對(duì)空間問題進(jìn)行降維處理（轉(zhuǎn)化為平面問題）并不難，難的是在于降維前后如何對(duì)劃分情形做具體分析，因此教師可引導(dǎo)學(xué)生多做更簡(jiǎn)便情形的直觀表達(dá)及抽象概括。

2類比需要聯(lián)想創(chuàng)造

聯(lián)想是通過思維和想象對(duì)事物進(jìn)行聯(lián)結(jié)，而不用考察二者的性質(zhì)，因而聯(lián)想的適用范圍遠(yuǎn)超過類比。為了體現(xiàn)不同對(duì)象間的本質(zhì)區(qū)別，我們可通過聯(lián)想構(gòu)造以完成一個(gè)個(gè)類比，即產(chǎn)生新命題。

例8 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，虛軸的上端點(diǎn)為B，線段AB與漸近線交于點(diǎn)M，若FM平分∠BFA，則該雙曲線的離心率e的取值范圍。

分析：如若把雙曲線的背景類比到橢圓中，學(xué)生會(huì)疑惑：橢圓哪來的漸進(jìn)線？除了這些定義或概念，我們還可以通過研究漸進(jìn)線的方程發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸進(jìn)線方程是y=±bax，雙曲線中a，b，c滿足c2=a2+b2，而橢圓中則有a2=c2+b2，即a，c互換了位置。因而類比到橢圓，可構(gòu)造相似條件“線段AB與直線y=bcx交于點(diǎn)M”。

值得一提的是，為了提高類比結(jié)論的可靠性，我們有時(shí)還要做一些必要的調(diào)整。如以下例9。

例9 已知過圓O外一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，直線OP與AB相交于點(diǎn)C，則有OA2=OP·OC。

分析：教師通過該題引發(fā)學(xué)生思考，橢圓或雙曲線等也有類似的性質(zhì)嗎？學(xué)生得出，若已知橢圓外一點(diǎn)P作橢圓的兩切線，其中點(diǎn)O是橢圓的中心，切點(diǎn)分別是A，B，直線OP與AB相交于點(diǎn)C，則有OA2=OP·OC。實(shí)際上，這個(gè)結(jié)論是不成立的。教師又繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考，這類問題能類比到圓錐曲線嗎？通過幾何畫板的測(cè)量和調(diào)整，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在圓中的結(jié)論等價(jià)于OD2=OP·OC，點(diǎn)D是射線OP與圓O的交點(diǎn)，在圓錐曲線中也可驗(yàn)證這一命題的正確性。當(dāng)然，這個(gè)教學(xué)過程我們可以放慢些，盡可能讓學(xué)生主動(dòng)探尋，由學(xué)生自我調(diào)整、自我成就的經(jīng)歷能逐步完善他們的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓科學(xué)的解題策略得以真正落實(shí)。

三、結(jié)語

上述兩點(diǎn)僅是筆者的淺薄認(rèn)識(shí)，但從培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、數(shù)學(xué)直覺的角度講，教師不能過多地強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理而忽視大膽的類比推理。波利亞曾說過：“無論是在初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)，或者在任何別的學(xué)科中的發(fā)現(xiàn)，恐怕都不能沒有這些思考過程（指類比與歸納），特別是不能沒有類比?！笨深惐鹊膶?duì)象尤其豐富，可以是學(xué)科間或?qū)W科內(nèi)部的知識(shí)與方法的類比，也可以是表征形式，如數(shù)學(xué)符號(hào)語言中數(shù)式與圖形的類比;可以基于方法，也可以基于結(jié)論。類比能使知識(shí)變得生動(dòng)起來，既有利于“知識(shí)團(tuán)”的形成，又能使深度學(xué)習(xí)變?yōu)榭赡堋?/p>

準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)上述兩點(diǎn)，無論是對(duì)于教師，還是學(xué)生都是大有裨益的。教師在類比舊知識(shí)設(shè)計(jì)新知識(shí)的引入、展開及深化等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握類比的學(xué)習(xí)方式，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)舊知識(shí)對(duì)新知識(shí)的正遷移，能切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

參考文獻(xiàn)：

[1] 高向斌.數(shù)學(xué)類比設(shè)問與1997年高考理科[23]題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1998（5）：17-18.

[2] 吳增生.數(shù)學(xué)類比思想教學(xué)案例及反思[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2013（9）：5-9.

（責(zé)任編輯：陸順演）