【摘 要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為連接黨的教育方針與數(shù)學(xué)課程之間的橋梁，是開展數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的落腳點(diǎn)，其概念貫通小學(xué)、初中、高中，它具有課程特征、學(xué)科特征、素養(yǎng)特征、形成特征。文章借助圖形直觀理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三個(gè)基本問題。一是闡釋研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性;二是通過構(gòu)建幾何模型來理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);三是通過知識(shí)學(xué)習(xí)的理解、遷移、創(chuàng)新三種形態(tài)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)的六個(gè)關(guān)鍵能力，從而測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量水平。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);幾何模型;數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力;學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)

【作者簡介】劉祖希，華東師范大學(xué)出版社副編審，新青年數(shù)學(xué)教師工作室主持人，全國數(shù)學(xué)科學(xué)方法論研究交流中心副秘書長兼學(xué)術(shù)委員會(huì)副主任，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

《數(shù)學(xué)寫真集（第1季）——無需語言的證明》一書由許多“無需語言的證明”的圖片組成，書中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了“有什么比用插圖來展現(xiàn)一個(gè)個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)更好的主意呢？”[1]筆者閱讀后深受啟發(fā)，于是想到了圖說的數(shù)學(xué)教育原理，希望可以借助圖形幫助大家直觀了解和理解許多復(fù)雜、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)教育原理。其中，關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有三個(gè)問題值得我們關(guān)注：為什么要研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？如何測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？本文將就這三個(gè)問題展開研究。

一、為什么要研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

我們都知道數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是從高中階段開始提出的。在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的過程中，為何要特別研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)究竟有多重要？

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）的修訂思路（如圖1）[2]，為了具體化和細(xì)化黨的教育方針，充分挖掘各學(xué)科課程教學(xué)對(duì)全面貫徹黨的教育方針、落實(shí)立德

樹人的根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的獨(dú)特育人價(jià)值，各學(xué)科基于學(xué)科本質(zhì)凝練了本學(xué)科的核心素養(yǎng)，明確了學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科課程后應(yīng)達(dá)成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力，對(duì)知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀三維目標(biāo)進(jìn)行了整合[3]6。換言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既是連接黨的教育方針與數(shù)學(xué)課程之間的橋梁，又是開展數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，還是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的落腳點(diǎn);既保持了原課程目標(biāo)（三維目標(biāo)）的延續(xù)性，又與時(shí)俱進(jìn)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》還圍繞如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，精心挑選、重新組織了數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，并且指明了課程內(nèi)容的教學(xué)要求，提出了教材編寫、教學(xué)設(shè)計(jì)、考試評(píng)價(jià)等相關(guān)建議。概言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的統(tǒng)領(lǐng)，其重要性不言而喻。

二、什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

那么究竟什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？高中數(shù)學(xué)課程率先提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念，小學(xué)和初中的數(shù)學(xué)課程是否適用？

2019年12月，在第十一屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)閉幕式上，華東師范大學(xué)鮑建生教授做報(bào)告——《初中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中需要關(guān)注的幾點(diǎn)問題》。作為國家普通高中和義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂組成員，他談了對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)新一輪修訂的幾點(diǎn)思考，其中就包括小學(xué)、初中和高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)系統(tǒng)的整體設(shè)計(jì)（如圖2）。不難看出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念是小學(xué)、初中、高中相互貫通的。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析六要素。這六要素既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體。[3]4

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這一概念包括幾個(gè)要點(diǎn)：其一，它是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，這是其“課程”特征;其二，它是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，這是其“學(xué)科”和“素養(yǎng)”特征;其三，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的，這是其“形成”特征。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六要素觀點(diǎn)獲得了許多專家學(xué)者（非《課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組成員）的認(rèn)同。比較有代表性的意見是：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定反映了數(shù)十年來我國對(duì)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的共識(shí)，在一定程度上體現(xiàn)了我國數(shù)學(xué)教育界多年研究成果的延續(xù)性，是一種合理選擇。教師特別關(guān)注的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力歸納為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六方面。[4]許多學(xué)者還嘗試構(gòu)建了以下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六要素觀點(diǎn)的幾何模型。

（一）三棱臺(tái)模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》曾給出了十個(gè)核心詞：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。這十個(gè)核心詞可否與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六要素對(duì)應(yīng)起來？著名小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師曹培英建立了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三棱臺(tái)模型（如圖3），將十個(gè)核心詞（除去非數(shù)學(xué)特征的“創(chuàng)新意識(shí)”，增加具有數(shù)學(xué)特征的“抽象”）歸類到三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)。其中，上底面頂點(diǎn)表示的核心素養(yǎng)整體作用于下底面頂點(diǎn)表示的核心素養(yǎng)。[5]

可以看出，一方面，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六要素是十個(gè)數(shù)學(xué)核心詞聚類分析的結(jié)果;另一方面，這個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)三棱臺(tái)模型是基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長史寧中教授提出的數(shù)學(xué)基本思想（抽象、推理、模型）構(gòu)建的[6]。其中，數(shù)學(xué)基本思想（抽象、推理、模型）是高層級(jí)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)的基本能力（運(yùn)算能力、直觀想象能力、數(shù)據(jù)分析能力）是次層級(jí)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者曾形象地指出，數(shù)學(xué)基本思想（抽象、推理、模型）就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系的“基底”[7]。

（二）魔方模型

孫成成、胡典順試圖用魔方模型表示數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六要素（如圖4），其中六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相當(dāng)于魔方模型的六個(gè)面，數(shù)學(xué)基本思想（抽象、推理、模型）是魔方模型的中心塊，它隱藏于六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，與六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)緊密相連。[8]

用魔方模型表示數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀地表明了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特征，如整體性、組合性、內(nèi)隱性、聚合性等;缺點(diǎn)是沒有反映數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六要素的邏輯層次與內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

（三）九宮格模型

寧銳、李昌勇、羅宗緒建立了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的九宮格模型（如圖5），三行從低到高表示數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)（包括直觀想象和數(shù)學(xué)抽象）、數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)（包括數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理）、數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)（包括數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模），反映從數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展過程;三列從左到右表示數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念中的數(shù)學(xué)品質(zhì)、關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)情意（包括情感、態(tài)度和價(jià)值觀），從而形成了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的九宮格模型。[9]

用九宮格模型表示數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其優(yōu)點(diǎn)是既包括了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)成分，又涵蓋了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念的三個(gè)維度;缺點(diǎn)是沒有指明行與列之間的關(guān)聯(lián)或邏輯關(guān)系，僅是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念的一種閱讀理解。

（四）金字塔模型

呂世虎、吳振英構(gòu)建了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的金字塔模型（如圖6），模型由低到高包括四個(gè)層面：數(shù)學(xué)雙基層、問題解決層、數(shù)學(xué)思維層、數(shù)學(xué)精神層。該模型以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六要素作為中間兩層，并向下引申出數(shù)學(xué)雙基層，向上拓展出數(shù)學(xué)精神層，既包含數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的顯性方面（知識(shí)與技能），又包括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的隱性方面（應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力、數(shù)學(xué)思維以及數(shù)學(xué)精神等）。[10]

不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的金字塔模型脫胎于《課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程目標(biāo)，其涵蓋的內(nèi)容似乎更全面了，但也超越了概念界限。因?yàn)椤墩n程標(biāo)準(zhǔn)》已指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，課程目標(biāo)包含核心素養(yǎng)，兩者不能等同。以下理解更為合理：數(shù)學(xué)課程目標(biāo)可以概括為三個(gè)層次，一是“四基”“四能”，二是六個(gè)核心素養(yǎng)、“三會(huì)”，三是數(shù)學(xué)精神（情感態(tài)度價(jià)值觀）?！八幕薄八哪堋笔菙?shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的沃土，“三會(huì)”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)，數(shù)學(xué)精神是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的升華。三個(gè)層次構(gòu)成以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為中心的完整數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系。[11]

三、如何測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

再理想的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念和模型，如果不付諸教學(xué)實(shí)踐、不能與實(shí)際教學(xué)相結(jié)合，都是徒勞的。當(dāng)前，如何測(cè)評(píng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)顯得尤為重要，因?yàn)樗鼘⒂行У刂笇?dǎo)教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

南京師范大學(xué)喻平教授認(rèn)為，可以通過數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力來評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量水平。其基本觀點(diǎn)和理由是，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成源于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)表現(xiàn)為知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新三種形態(tài)，這三種形態(tài)生成不同水平的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的評(píng)價(jià)應(yīng)當(dāng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的三種形態(tài)。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力（即數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六要素）由學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化而來，因此也有三種水平。這樣就可以用六種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力水平去界定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平，進(jìn)而去界定數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平。其框架構(gòu)成與關(guān)系如圖7所示。[12-14]

當(dāng)然，用數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力暫時(shí)替代數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行測(cè)評(píng)只是權(quán)宜之計(jì)，更科學(xué)完整的測(cè)評(píng)方法有待完善。數(shù)學(xué)教育已進(jìn)入核心素養(yǎng)時(shí)代，我們更期待數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)入可測(cè)階段。

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（責(zé)任編輯：羅小熒）