高 躍，鞏云鵬，房立金

（1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧 沈 陽 110819；2 東北大學(xué)機(jī)器人科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈 陽 110819）

1 引言

RV 傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊、壽命長、傳動比大、效率高、傳動精度高等顯著優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用在機(jī)器人、精密機(jī)械傳動、測量儀表等高技術(shù)設(shè)備領(lǐng)域。RV 減速器傳動原理，如圖1 所示。

它由漸開線齒輪行星傳動機(jī)構(gòu)與擺線針輪行星傳動機(jī)構(gòu)和輸出機(jī)構(gòu)三部分組成的封閉的差動輪系。機(jī)器人用RV 減速器必須有高的運(yùn)動精度、高的扭轉(zhuǎn)剛度和小的間隙回差，目前國內(nèi)還不能量產(chǎn)高精度RV 減速器，其關(guān)鍵技術(shù)一直被日本壟斷。主要分析其回差，并提出減小回差的措施。

2 RV 減速器幾何回差

在RV 減速器中，漸開線傳動和擺線針輪傳動中的齒側(cè)間隙、軸承間隙等幾何因素引起的輸出軸轉(zhuǎn)角滯后值，即間隙回差。由于零件加工、裝配誤差及負(fù)載和溫度變化的存在，回差是不可避免的?；夭畹拇嬖谑过X輪系統(tǒng)變向傳動時，輸出軸與輸入軸短時間內(nèi)失去運(yùn)動聯(lián)系，造成輸出瞬間突然中斷，使運(yùn)動傳遞關(guān)系成為非線性。對機(jī)器人的反饋控制系統(tǒng)具有直接的影響，同時還影響到系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)，所以機(jī)器人用RV減速器根據(jù)尺寸的大小規(guī)格不同，要嚴(yán)格限制回差范圍在（1～1.5）′以內(nèi)。

文獻(xiàn)[1]對單組擺線行星傳動進(jìn)行回差幾何建模，分析了影響擺線輪回差的影響因素；文獻(xiàn)[2]系統(tǒng)的分析了RV 減速器的回差、傳動誤差、扭轉(zhuǎn)剛度等問題，給出了回差的幾何數(shù)學(xué)模型，但因尺寸公差過于嚴(yán)格，實(shí)際生產(chǎn)尚有困難；文獻(xiàn)[3]把蒙特卡洛方法用于RV 減速器的幾何回差模型的計算；文獻(xiàn)[4]對RV 減速器靜態(tài)回差分析及誤差分配研究，建立了誤差分配的矩陣數(shù)學(xué)模型，但沒有給出公差的分配原則?，F(xiàn)有的研究還沒有給出RV 減速器組成零件的公差分配原則和分配方法，因此，研究RV 減速器回差的影響因素及其公差的分配方法仍有必要。

圖1 RV 減速器的傳動原理圖Fig.1 The Transmission Principle Diagram of RV Reducer

3 RV 減速器回差數(shù)學(xué)模型

回差的影響因素主要分為三類：加工誤差、裝配誤差、溫度等影響引起的變形。主要分析其加工誤差對其影響，影響RV 減速器回差的誤差因素，如表1 所示。

3.1 回差數(shù)學(xué)模型及計算

RV 減速器個零件的實(shí)際尺寸實(shí)在公差范圍內(nèi)隨機(jī)分布的，回差的數(shù)值是這些隨參數(shù)疊加的結(jié)果。通過分析上述各因素及它們與回差的關(guān)系，可以建立回差的數(shù)學(xué)模型。

（1）漸開線行星傳動產(chǎn)生回差基于RV 減速器機(jī)構(gòu)及文獻(xiàn)[5]中漸開線齒輪傳動的側(cè)隙計算方法獲得一級漸開線回差數(shù)學(xué)模型：

（2）擺線行星傳動產(chǎn)生的回差 理論上，標(biāo)準(zhǔn)擺線輪和針輪嚙合時是沒有間隙的。但實(shí)際上，為補(bǔ)償制造誤差避免干涉，方便拆裝和潤滑，必須保留合理的側(cè)隙，因此需要對標(biāo)準(zhǔn)擺線輪齒廓進(jìn)行修形。常用的擺線輪齒廓修形基本方法有以下三種或其組合：等距修形、移距修形、轉(zhuǎn)角修形。由于轉(zhuǎn)角修形不能在齒根和齒頂處產(chǎn)生徑向間隙不能單獨(dú)使用，同時，由于轉(zhuǎn)角修形調(diào)整繁瑣，磨齒時間成倍增加，一般很少采用。規(guī)定砂輪半徑減小時為負(fù)等距修形（Δrrp＜0）；砂輪靠近工作臺中心時，成為負(fù)移距修形（Δrp＜0）。

根據(jù)剛體幾何關(guān)系得出擺線針輪行星傳動的間隙回差的數(shù)學(xué)模型：

（3）輸出機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的回差輸出機(jī)構(gòu)的產(chǎn)生的回差主要由轉(zhuǎn)臂軸承徑向間隙引起的：

式中：Δu1—轉(zhuǎn)臂軸承徑向游隙；a0—漸開線行星齒輪傳動的中心距

（4）RV 減速器回差RV 減速器的總回差即漸開線行星傳動、擺線行星傳動和輸出機(jī)構(gòu)三部分產(chǎn)生的回差之和：

3.2 靈敏度分析

由于傳動比的原因，漸開線行星傳動側(cè)隙對回差的影響不大，故不再對其進(jìn)行靈敏度分析。通過對式（5）進(jìn)行靈敏度分析，以等距修形量為基本值，求出各個參數(shù)的相對靈敏度，如表1 所示。即可找出對幾何回差影響比較重要的幾個參數(shù)。

表1 參數(shù)誤差Tab.1 Parameters Errors

表中：S0—等距修形量Δrrp的相對靈敏度；S1—算例RV-40E-121中S0的數(shù)值。

取各個參數(shù)的誤差以0 為中心，變動量Δ=0.02，分別計算不同參數(shù)的不同誤差值時對應(yīng)的回差值。由各個參數(shù)誤差對回差的影響可知，除了偏心距誤差對回差的影響比較小以外，其他任何一項誤差的公差帶分配不合理都能導(dǎo)致RV 減速器幾何回差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1’，所以要找出擺線針輪嚙合副中各參數(shù)誤差對回差影響的相互關(guān)系來控制幾何回差。

4 RV 減速器中擺線輪齒廓修形

對擺線輪齒形進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，選擇合理的修形方法和修形量是控制RV 減速器幾何回差的關(guān)鍵。

（1）修形方法：文獻(xiàn)[2]采用負(fù)等距與負(fù)移距組合修形的方法來獲得非常接近共軛的齒形，在齒頂和齒根處附近產(chǎn)生徑向間隙，此修形方法雖然犧牲了部分承載能力，但是能獲得較小的齒側(cè)間隙。選用負(fù)等距與負(fù)移距組合的修形方法。

（2）優(yōu)化模型：文獻(xiàn)[9]對比分析文獻(xiàn)[6-8]對擺線輪參數(shù)優(yōu)化模型，得到采用基于法向齒廓間隙的優(yōu)化模型既能保證同一時刻多齒對嚙合及承載的均勻性，又能保證機(jī)構(gòu)能得到良好的潤滑及相對較高的回轉(zhuǎn)精度，因而采用基于法向齒廓間隙的優(yōu)化模型對擺線輪的修行量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。以角度φ 為橫坐標(biāo)，法向間隙為縱坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系。將φ∈［0，π］建立n 等分采樣區(qū)間，定義設(shè)計變量 X=［Δrrp，Δrp］′，建立修形優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)如下：

（3）約束條件：①滿足共軛嚙合，如選用的等距與移距修形組合方法產(chǎn)生的齒形有一段與轉(zhuǎn)角修形曲線吻合，即可達(dá)到擺線針輪嚙合副共軛嚙合的要求，同時是其在負(fù)載工作時實(shí)現(xiàn)多齒嚙合，具有承載能力大、瞬時傳動比恒定、運(yùn)動精度高的特點(diǎn)。②有徑向間隙Δr 和保證潤滑條件所需輪齒嚙合的側(cè)隙Δφi所以約束條件應(yīng)為：

5 算例

某款RV 減速器的基本參數(shù)，如表2 所示。

表2 RV-40E-121 減速器基本參數(shù)Tab.2 The Basic Parameters of RV-40E-121 Reducer

5.1 擺線針輪嚙合副參數(shù)優(yōu)化

5.1.1 齒形優(yōu)化

當(dāng)取 Δr=Δrrp-Δrp=0.03mm≥0，定義設(shè)計變量 X=［Δrrp，Δrp］′，選取采樣點(diǎn)數(shù)為500，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)編寫程序，利用MATIAB 軟件工具箱中的有約束非線性優(yōu)化求解函數(shù)fmincon，在約束條件范圍內(nèi)進(jìn)行最優(yōu)化搜索。通過優(yōu)化計算可知該型RV 減速器中擺線輪，最佳修形量，此時，產(chǎn)生大于 0 的最小的回差Δφ=0.11′。把修形量代入擺線輪通用方程進(jìn)行曲線擬合，得到的非常接近共軛嚙合齒形并且留有間隙。

5.1.2 公差帶優(yōu)化

基于RV 減速器的結(jié)構(gòu)要求，為了裝配過程中不出現(xiàn)干涉，輪針輪與針齒銷孔之間必須有間隙，則針齒銷孔半徑取正偏差，針齒半徑取負(fù)偏差，其誤差令回差間隙增大。又因為采用負(fù)等距加負(fù)移距的修形方法，其修形量會增大間隙。

為了補(bǔ)償以上各因素產(chǎn)生的間隙，則需對各誤差因素具體分析，合理的選取公差帶及上下偏差?？梢远x設(shè)計變量X=［δrp；δt；δRrp；δrrp；fp；Fr1；δe；δΔrp；δΔrrp］，建立誤差參數(shù)優(yōu)化模型：

優(yōu)化模型的目的是在各誤差在公差范圍內(nèi)，確定其產(chǎn)生回差的最小值和相對應(yīng)的各誤差值，所以約束條件為初定的各誤差的上下偏差值。目標(biāo)函數(shù)f（x）=0，利用fmincon 函數(shù)求解，得到優(yōu)化計算結(jié)果 X=［δrp；δt；δRrp；δrrp；fp；Fr1；δe；δΔrp；δΔrrp］=［-0.0014；-0.0013；0.0023；-0.0009；-0.0035；-0.0057；0；-0.001；0.0009］。根據(jù)減速器的基本參數(shù)及各參數(shù)因素的對回差影響的靈敏度，經(jīng)過具體對比分析，并結(jié)合實(shí)際情況，各參數(shù)公差帶分配，如表1 所示。

5.2 回差計算

為研究各參數(shù)誤差對回差的影響，確定合理的公差范圍，需要考慮各組件誤差分布的隨機(jī)性。蒙特卡洛法是基于概率理論的一種數(shù)值計算方法，它可在變量上下限范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來完成取值。將利用蒙特卡洛方法模擬生成RV 各零件公差范圍內(nèi)的隨機(jī)尺寸，進(jìn)而來仿真分析計算其回差。各部分參數(shù)誤差，如表1 所示。其中漸開線行星傳動中選用7 級標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪，輸出機(jī)構(gòu)中轉(zhuǎn)臂軸承徑向間隙取值（0～0.02），把各參數(shù)上下偏差值代入程序模擬計算1000 次。

圖2 漸開線行星傳動的回差Fig.2 Backlash Caused by the Involute Planetary Transmission

圖3 擺線行星傳動的回差Fig.3 Backlash Caused by the Second Level Cycloid Planetary

圖4 輸出機(jī)構(gòu)的回差Fig.4 Backlash Caused by Output Mechanism

圖5 RV 減速器回差Fig.5 The Total Backlash of RV Reducer

計算結(jié)果，如圖2～圖5 所示。由計算結(jié)果可知此時的RV 減速器的回差還不能很好的滿足小于1′使用要求。

5.3 結(jié)構(gòu)調(diào)整消隙

除了修形會加大回差，在制造裝配過程中不可避免的會生誤差，為了減少誤差，一方面可以提高制造裝配精度，另一方面也可以通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)來補(bǔ)償制造裝配誤差。

提出錯位裝配經(jīng)過轉(zhuǎn)角修形的兩個擺線輪，如圖6 所示。使兩個擺線輪裝配后與擺線針輪有一個預(yù)緊扭矩，正方向與反方向的兩個擺線輪分別于針輪接觸，兩個擺線輪不再嚴(yán)格對稱，令RV減速器在工作過程中正轉(zhuǎn)擺線輪1 工作、反轉(zhuǎn)擺線輪2 工作，這樣不僅可以減小擺線輪與針輪的間隙來補(bǔ)償回差，而且還可以避免因制造裝配過程中產(chǎn)生誤差導(dǎo)致干涉卡死現(xiàn)象的產(chǎn)生?；赗V減速器的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)擺線輪錯位安裝有如下方法：（1）軸承孔切向偏移，兩個軸承孔相對中心線同方向轉(zhuǎn)過一定角度；（2）擺線轉(zhuǎn)角加工，加工擺線輪齒廓時，輪胚轉(zhuǎn)過一定角度再切齒；（3）通過給定曲軸兩個偏心凸輪偏心切向相位誤差，以達(dá)到兩個擺線輪裝配時錯開一個角度。令兩片擺線輪相對轉(zhuǎn)角為δ′，則采用間隙補(bǔ)償結(jié)構(gòu)后，第二級擺線行星傳動產(chǎn)生幾何回差計算公式為：

由以上計算結(jié)果可知，各關(guān)鍵尺寸的誤差公差帶已經(jīng)相當(dāng)嚴(yán)格，依然不能令RV 減速器回差滿足回差小于1′的要求，因此采用錯位裝配經(jīng)過轉(zhuǎn)角修形的兩個擺線輪的方法來補(bǔ)償其他影響因素產(chǎn)生的間隙來減小RV 減速器的回差。本算例通過控制軸承孔的切向相位差δa，結(jié)合前文回差計算結(jié)果，使擺線輪錯位裝配轉(zhuǎn)過角度δ′=0.1′，能夠減小回差控制在1′以內(nèi)。計算結(jié)果，如圖7 所示。滿足回差小于1′要求。

圖6 擺線輪與針輪裝配位置Fig.6 The Assembly Drawing of Cycloid Gear and Pin Wheel

圖7 RV 減速器結(jié)構(gòu)調(diào)整后回Fig.7 Backlash Caused by the Cycloid Planetary Transmission

6 結(jié)論

通過對RV 減速器的回差分析，可以得到如下結(jié)論：

（1）找出了影響回差的誤差因素，建立了RV 減速器的幾何回差數(shù)學(xué)模型。（2）采用負(fù)等距與負(fù)移距的修形方法對擺線輪修形，可以得到非常接近共軛齒廓的齒形，以齒廓法向間隙優(yōu)化模型獲得最佳修形量。（3）對RV 減速器的結(jié)構(gòu)研究，初步探索出通過調(diào)整兩個擺線輪的角度，令其在裝配后有一定錯位相對角度，來補(bǔ)償因加工制造裝配引起的回差的有效方法。