趙巖

摘 ?要：對2020年高考試卷中選考內(nèi)容相關試題進行分析，以全國卷為主，總結(jié)研究試題的特點和解題方法，提出相應的教學建議，為2021年高考選考內(nèi)容的復習教學提供幫助.

關鍵詞：選考內(nèi)容;試題分析;解法賞析;復習建議

2020年高考選考內(nèi)容試題仍以坐標系與參數(shù)方程和不等式選講為主，在保持穩(wěn)定的基礎上延續(xù)以往的命題風格，注重試題解法的基礎性和靈活性，對學生的數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)起到了較好的區(qū)分作用.

一、考查內(nèi)容分析

1. 坐標系與參數(shù)方程

“坐標系與參數(shù)方程”這部分內(nèi)容要求學生理解一條曲線可以有不同的表示方法，需要學生掌握簡單曲線的參數(shù)方程、極坐標方程，以及參數(shù)方程、直角坐標方程和極坐標方程之間的轉(zhuǎn)換公式. 曲線的普通方程是用垂直的直線族刻畫曲線上動點的度量關系;曲線的極坐標方程是用直線族和圓族刻畫曲線上動點的度量關系;曲線的參數(shù)方程是用中間變量刻畫曲線上動點的兩個坐標的函數(shù)關系. 極坐標方程與參數(shù)方程不僅可以解決一些初等幾何中的復雜問題，構(gòu)造更豐富的平面曲線，而且在大學的數(shù)學學習中也具有重要的價值. 初步掌握曲線的參數(shù)方程和極坐標方程，有利于學生未來的學習與發(fā)展.

2. 不等式選講

“不等式選講”這部分內(nèi)容要求學生理解絕對值的幾何意義，會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：[ax+b≤c; ax+b≥c; x-a+x-b≥c，] 掌握絕對值三角不等式，并能利用絕對值三角不等式證明一些簡單不等式、解決一些恒成立與存在性問題;掌握簡單不等式的證明，掌握不等式證明方法中的綜合法和分析法. 綜合法往往是從題設的條件出發(fā)，依據(jù)基本不等式、不等式的基本性質(zhì)及一些常見函數(shù)的不等式關系，推證要證明的不等式關系;分析法往往是從要證明的不等式結(jié)論出發(fā)，分析要證的不等式的等價關系，逐漸推導至顯然成立的不等式、已知不等式或基本不等式. 在證明不等式關系時，綜合法和分析法可能是結(jié)合使用的.

二、試題分析與解法賞析

1. 極坐標與參數(shù)方程

【評析】此題難度適中，考查參數(shù)方程與普通方程的互化，以及求曲線的極坐標方法. 第（1）小題曲線C1是三角形式消參，因為三角函數(shù)的有界性，所以在消參之后，要注意范圍，曲線C2中消去參數(shù)t的過程再次用到“整體法”消參;第（2）小題運用方程觀點的數(shù)學思想方法，確定圓心位置，然后得到曲線的極坐標方程. 體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

【評析】第（1）小題考查不等式證明，有多種解題方法，方法1利用代數(shù)恒等變形，找到[ab+bc+ca，][a+b+c2，a2+b2+c2]之間的關系，達到證明不等式的目的;方法2是運用分析法，若證[ab+bc+ca<0，] 即證[-b2+1b<0，] 只需證明[b<0，] 然后再借助已知條件證明即可;方法3是借助常用不等式[a2+b2+c2≥ab+bc+][ca，] 再結(jié)合已知條件去掉取等條件即可. 第（2）小題的方法1是根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)是對稱的，所以不妨設一個最大的，然后借助均值不等式得到最大數(shù)的取值范圍;方法2是借助根與系數(shù)關系逆向構(gòu)建二次方程，根據(jù)根的分布求出最大數(shù)的范圍.

三、高考復習建議

1. 題型統(tǒng)計

2016年—2020年全國卷坐標系與參數(shù)方程題型分布統(tǒng)計情況如表1所示，不等式選講題型分布統(tǒng)計情況如表2所示.

2. 主要考點

（1）坐標系與參數(shù)方程.

坐標系的伸縮變換、極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程互化是熱點，直線與圓或橢圓是常見載體. 主要是解析幾何中的常規(guī)基礎問題，如交點坐標、圓弦長、圓切線、直線與曲線位置關系、曲線上動點到定點或定直線距離最值.

（2）不等式選講.

考查含絕對值的不等式，第（1）小題主要是解雙絕對值不等式或畫雙絕對值函數(shù)的圖象;第（2）小題多考查雙絕對值不等式恒成立、雙絕對值不等式能成立或不等式證明等，考查利用比較法、分析法、綜合法（均值不等式、柯西不等式）證明不等式.

四、經(jīng)典試題賞析

1. 坐標系與參數(shù)方程

參考文獻：

[1]鄭喜中，陳紅穗. 2017年高考“選考內(nèi)容”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2017（10）：52-57.

[2]王慶君，吳麗華. 2019年高考“選考內(nèi)容”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2019（9）：58-64.