范俊明 蔣志方 徐新斌

摘 ?要：2020年高考數(shù)學(xué)試卷中有關(guān)計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的試題聚焦重點(diǎn)內(nèi)容，注重知識(shí)交會(huì)，突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探究，全面考查概率與統(tǒng)計(jì)的基本思想和方法，以及學(xué)生的閱讀理解與信息整理能力和數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 通過對本專題典型試題進(jìn)行解題分析，總結(jié)這類試題的一般解題規(guī)律和解題失誤，并由此給出教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);概率與統(tǒng)計(jì);計(jì)數(shù)原理;解題分析;教學(xué)建議

綜觀2020年全國13份高考數(shù)學(xué)試卷，以計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)為主的試題，遵循基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，貫徹“低起點(diǎn)、多層次、高落差”的科學(xué)調(diào)控策略，突出概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的應(yīng)用特色，著重考查學(xué)生的閱讀理解與信息整理能力，突出數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 同時(shí)，在題型創(chuàng)新上加大力度，如全國新高考Ⅰ卷在新題型多選題中，采用了概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)交會(huì)的試題作為壓軸題，江蘇卷附加題也采用了概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列交會(huì)的試題等，體現(xiàn)了高考改革的方向，將對中學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)專題的教學(xué)發(fā)揮積極的引導(dǎo)作用.

《中國高考評價(jià)體系》引領(lǐng)下的新高考模式正在逐步推進(jìn)中. 本文以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》和《中國高考評價(jià)體系》為依據(jù)，充分挖掘計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)在新舊教材內(nèi)容之間的知識(shí)銜接點(diǎn)、共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，歸納總結(jié)本專題的試題類型、考查特點(diǎn)和解題經(jīng)驗(yàn)，并給出本專題的教學(xué)建議.

一、試題分析

2020年高考數(shù)學(xué)對“計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容的考查，均以概率與統(tǒng)計(jì)和計(jì)數(shù)原理的必備知識(shí)為載體，突出本專題內(nèi)容的應(yīng)用特征，題型涉及選擇題、填空題和解答題，主要圍繞計(jì)數(shù)原理、古典概型、概率的基本性質(zhì)、頻率與概率、離散型隨機(jī)變量分布列、期望及方差、樣本的數(shù)字特征、相關(guān)性分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)等方面進(jìn)行考查.

1. 計(jì)數(shù)原理

例1 （全國Ⅱ卷·理14）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________.

解法1：4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，第一步先取2名同學(xué)看作一組，剩余兩人各一組，選法有[C24=6]種;第二步再可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有[A33=6]種，根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法為[6×6=36]種.

解法2：設(shè)3個(gè)小區(qū)為甲、乙、丙. 由題意知去3個(gè)小區(qū)的同學(xué)人數(shù)一定是2，1，1，所以先考慮第一類：選取2人去甲小區(qū)，選法有[C24=6]種，再選取1人去乙小區(qū)，選法有[C12=2]種，最后選取1人去丙小區(qū)，選法有[C11=1]中，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這一類的安排方法共有[C24C12C11=12]種;同理，第二類選取2人去乙小區(qū)時(shí)、第三類選取2人去丙小區(qū)時(shí)，都有同樣的安排方法數(shù). 所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理題中不同的安排方法共有[3C24C12C11=36]種.

【評析】這是一道分組、分配型的組合計(jì)數(shù)題，源于對教材習(xí)題的改編，解決此類問題的一般方法是采用先分組再分配的策略. 在分組時(shí)要特別注意平均分組與不平均分組的差異，有時(shí)也可以用圖表或樹狀圖輔助列舉，理清正確分組情況. 此類試題的易錯(cuò)點(diǎn)在于學(xué)生對解題策略掌握不牢，正面列舉情況不全，或?qū)Ψ疵媲闆r把握不準(zhǔn)、分類討論不全等. 類似試題有全國新高考Ⅰ卷第3題.

【評析】此題主要考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，直接法和間接法均可解決問題. 通過對比，發(fā)現(xiàn)高考對二項(xiàng)式定理的考查主要集中在兩個(gè)方面：一是系數(shù)問題，包括項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)和的運(yùn)算等;二是項(xiàng)的問題，包括常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大（?。╉?xiàng)等. 求對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)的類似試題有北京卷第3題和天津卷第11題，求常數(shù)項(xiàng)的類似試題有全國Ⅲ卷理科第14題等. 此類試題的易錯(cuò)點(diǎn)通常表現(xiàn)為：（1）混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念;（2）忽視項(xiàng)的系數(shù)的正、負(fù)問題;（3）出現(xiàn)通項(xiàng)的計(jì)算、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化運(yùn)算等失誤. 因此，對二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的研究方法要根據(jù)通項(xiàng)靈活處理，在運(yùn)算量不大的情況下，可以直接全部展開，也可以部分展開后再考查目標(biāo)項(xiàng)的構(gòu)成.

3. 概率部分

（1）古典概型.

【評析】古典概型是高考命題的重點(diǎn)，試題難度中等，要求學(xué)生通過閱讀提取信息，并掌握必要的計(jì)數(shù)方法：枚舉法、樹狀圖或者排列組合知識(shí)計(jì)數(shù)原理等. 易錯(cuò)點(diǎn)主要有：（1）對基本事件（樣本點(diǎn)）的概念理解不清晰，對樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)計(jì)算出現(xiàn)重復(fù)或遺漏;（2）忽視基本事件的等可能性.

解答此類試題，一般分為如下3步.

步驟1：分析已知條件是否滿足古典概型.

步驟2：找出基本事件總數(shù)以及隨機(jī)事件包含的基本事件數(shù).

步驟3：代入古典概型的計(jì)算公式求解.

如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來. 如果基本事件個(gè)數(shù)比較多，列舉有一定困難，可以用樹狀圖法進(jìn)行輔助. 類似的試題有江蘇卷第4題.

（2）概率的基本性質(zhì).

例4 （全國新高考Ⅰ / Ⅱ卷·5）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（ ? ?）.

故該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.

例5 （全國Ⅰ卷·理19）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

【評析】這兩道試題主要考查概率基本性質(zhì)的運(yùn)用和獨(dú)立事件概率的計(jì)算. 兩道試題都以與學(xué)生生活密切相關(guān)的體育運(yùn)動(dòng)為背景，巧妙地將概率問題融入實(shí)際生活之中，分別以人數(shù)占比、參賽人的獲勝概率設(shè)問，重點(diǎn)考查學(xué)生對古典概型、事件的關(guān)系和運(yùn)算、事件獨(dú)立性的掌握情況，對事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力，以及分類與整合的思想和邏輯思維能力.

解決這類問題的基本步驟如下.

步驟1：把隨機(jī)事件符號(hào)化. 即把每個(gè)隨機(jī)事件用符號(hào)表示清楚.

步驟2：把各隨機(jī)事件關(guān)系化. 即把隨機(jī)事件之間的關(guān)系研究清楚，對和事件、積事件、互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件等要有清晰的認(rèn)知和準(zhǔn)確的辨析.

步驟3：合理選擇運(yùn)算方法. 即運(yùn)用概率公式和性質(zhì)進(jìn)行概率運(yùn)算.

步驟4：對結(jié)果的合情解釋. 解答這類試題要充分理解概率的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用或然與必然思想.

常見的易錯(cuò)點(diǎn)有：隨機(jī)事件表述不準(zhǔn)確，事件間關(guān)系不清晰，概率基本性質(zhì)不熟，對實(shí)際問題理解不到位，找不到解答的方向等. 類似試題還有天津卷第13題.

（3）頻率與概率.

例6 （北京卷·18）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二. 為了解該校學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表1所示.

假設(shè)所有學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

（1）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;

（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率;

（3）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為[p0，] 假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為[p1]，試比較[p0]與[p1]的大小.（結(jié)論不要求證明.）

說明：樣本體現(xiàn)出男生支持方案二的比例高于女生. 一年級(jí)的男女比例高于樣本中學(xué)校的男女比例，所以去掉一年級(jí)學(xué)生的支持率，其他年級(jí)的支持率會(huì)降低.

【評析】頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系是高考試題中考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要知識(shí)點(diǎn)，解答這類題需要學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)，從中獲取有用的信息，計(jì)算頻率，然后用頻率作為概率的估計(jì)值建立數(shù)學(xué)模型. 易錯(cuò)點(diǎn)主要有對頻率與概率的聯(lián)系不清晰、數(shù)據(jù)分析錯(cuò)亂、運(yùn)算出錯(cuò)等.

（4）離散型隨機(jī)變量分布列、期望及方差.

【評析】該題一題雙空，增加了得分點(diǎn)，降低了試題難度，是近幾年高考中常用的題型. 這類試題的易錯(cuò)點(diǎn)主要有：混淆不放回取樣和放回取樣，導(dǎo)致樣本點(diǎn)計(jì)算、概率計(jì)算出錯(cuò);忽視對分布列的概率和為1的驗(yàn)證等. 解答這類題要做到具體問題具體分析，并深刻理解兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布等分布列之間的區(qū)別與聯(lián)系.

求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟如下.

步驟1：確定隨機(jī)變量所有可能的取值.

步驟2：寫出隨機(jī)變量的每個(gè)取值所對應(yīng)的隨機(jī)事件.

步驟3：計(jì)算隨機(jī)變量所對應(yīng)的每個(gè)事件發(fā)生的概率.

步驟4：以列表形式寫出分布列.

4. 統(tǒng)計(jì)部分

解法2：一般情況，樣本數(shù)據(jù)的分布越集中，其方差越小，標(biāo)準(zhǔn)差也越小;樣本數(shù)據(jù)的分布越分散，其方差越大，標(biāo)準(zhǔn)差也越大. 所以對比4個(gè)選項(xiàng)中樣本數(shù)據(jù)的均值都為2.5，數(shù)據(jù)分布中與均值相比最集中的是選項(xiàng)A，其方差和標(biāo)準(zhǔn)差最小，最分散的是選項(xiàng)B，其方差和標(biāo)準(zhǔn)差則最大.

【評析】此題主要考查比較標(biāo)準(zhǔn)差的大小、方差公式的理解與應(yīng)用和計(jì)算能力. 用數(shù)據(jù)說話并計(jì)算其數(shù)字特征值（如平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）是概率與統(tǒng)計(jì)試題的有效考查方式. 解決此類問題的一般方法是正確理解圖表中數(shù)據(jù)所代表的實(shí)際意義和各個(gè)數(shù)字特征的具體含義. 而公式的記憶、運(yùn)算技巧是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn). 類似試題還有全國Ⅲ卷文科第3題、江蘇卷第3題、上海卷第6題和天津卷第4題等.

（2）相關(guān)性分析.

（3）由（2）知，各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得對該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

【評析】相關(guān)性分析問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題，其題型特點(diǎn)是數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段的步驟略有減少，呈現(xiàn)的一般是規(guī)范的數(shù)據(jù)格式或數(shù)據(jù)回歸模型，采取“重心后移”的策略，把考查的重點(diǎn)后移到對數(shù)據(jù)的分析、理解和找規(guī)律等方面，減少了繁雜的數(shù)據(jù)運(yùn)算，突出對概率統(tǒng)計(jì)思想方法的理解和運(yùn)用的考查. 解決這類試題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意和數(shù)據(jù)分析，提高數(shù)學(xué)閱讀和理解能力. 類似的試題還有全國Ⅰ卷文（理）科第5題.

因此有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【評析】獨(dú)立性檢驗(yàn)是近幾年高考中概率統(tǒng)計(jì)的必考題型. 解決這類題首先要克服恐懼心理，排除干擾數(shù)據(jù)，理清數(shù)據(jù)與所求量之間的關(guān)系. 這類題型主要包括數(shù)據(jù)分析中的整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲得結(jié)論等重要過程. 易錯(cuò)點(diǎn)為包括以下幾個(gè)方面.

（1）對分類變量的取值范圍認(rèn)識(shí)不清，數(shù)據(jù)分析時(shí)，統(tǒng)計(jì)不完整，概率估計(jì)計(jì)算出錯(cuò).

（2）對頻率與概率的概念模糊不清，誤認(rèn)為頻率就是概率.

（3）對符號(hào)表示的意義不能正確理解，在解答中容易出現(xiàn)符號(hào)表達(dá)錯(cuò)誤.

（4）不能準(zhǔn)確理解臨界值表的意義，不能將有95%的把握轉(zhuǎn)換為犯錯(cuò)誤的概率是[0.05].

在信息化時(shí)代，信息整理能力十分重要，它包含信息的獲取與識(shí)別、信息的處理與分析等. 數(shù)學(xué)信息整理能力表現(xiàn)為用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)思想方法準(zhǔn)確地概括和描述問題、理性地分析和解決問題. 此題以當(dāng)前社會(huì)關(guān)心的空氣質(zhì)量狀況和在公園進(jìn)行體育鍛煉為背景，給出數(shù)據(jù)表，考查學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)基本思想、基本統(tǒng)計(jì)模型的理解和運(yùn)用;試題的第（3）小題考查數(shù)據(jù)整理、分析、建模和應(yīng)用，以及統(tǒng)計(jì)結(jié)論的解釋等多方面的內(nèi)容和要求，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法整理信息、解決問題. 相似試題還有全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）的第19題.

二、解法欣賞

2020年高考數(shù)學(xué)對計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的考查特點(diǎn)突出，主要聚焦在圖表類型、生活語言文字類型和復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系類型上，進(jìn)一步凸顯了時(shí)代特征、真實(shí)情境和數(shù)學(xué)應(yīng)用. 特別是一些有代表性的典型試題，通過不同層次、不同類型的試題和不同知識(shí)的交會(huì)，借助多種形式、多個(gè)角度和多種解法，達(dá)到了考查閱讀、應(yīng)用、建模能力的目的.

例11 （全國Ⅱ卷·文4 / 理3）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1 200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓. 為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作. 已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1 600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概括不小于0.95，則至少需要志愿者（ ? ?）.

【評析】此題以志愿者參加某超市配貨工作為背景設(shè)計(jì)問題，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 試題背景是學(xué)生十分熟悉的疫情期間大規(guī)模的網(wǎng)購、配貨，是發(fā)生在學(xué)生身邊的真實(shí)事情. 試題考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，學(xué)生只要能讀懂題意即可得到正確答案，對穩(wěn)定學(xué)生的考試心態(tài)和提高學(xué)生的獲得感都有良好的作用. 試題情境具有鮮明的時(shí)代氣息，體現(xiàn)志愿精神，具有積極的教育意義. 試題重在考查學(xué)生分析問題和解決問題的基本能力，體現(xiàn)了對核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的考查要求. 解法1和解法2是從正面直接分析，通過方程，可以直接找到臨界值，而通過不等式可以直接找到“至少”的答案. 解法3則是通過選項(xiàng)直接計(jì)算判斷哪個(gè)更加符合“至少”這一特征. 在古典概型中，常常需要靈活運(yùn)用事件間的互斥、對立關(guān)系來化解復(fù)雜的計(jì)算，當(dāng)問題中出現(xiàn)“至少、至多、不小于”等特征詞語時(shí)，也要注意靈活運(yùn)用間接法、排除法等特殊方法.

【評析】此題作為多項(xiàng)選擇題的壓軸題，以信息熵為背景，通過給出信息熵的數(shù)學(xué)定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)知識(shí)，編制了與信息熵性質(zhì)相關(guān)的4個(gè)數(shù)學(xué)命題，考查學(xué)生對新知識(shí)的獲取能力、對新概念的理解能力和對新問題的探究能力. 對于選項(xiàng)A，求得[HX，] 由此判斷出選項(xiàng)A的正確性. 對于選項(xiàng)B，利用特殊值法進(jìn)行排除. 對于選項(xiàng)C，計(jì)算出[HX，] 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷其正確性. 對于選項(xiàng)D，解法1是先直接計(jì)算出[HX，HY，] 再利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出對錯(cuò);解法2是利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將對數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為指數(shù)的大小比較，要求熟練掌握指對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)算量較大;解法3是將復(fù)雜的計(jì)算問題特殊化處理，轉(zhuǎn)化為前面的選項(xiàng)A和選項(xiàng)B，再直接利用前面的計(jì)算結(jié)果找到反例，否定該結(jié)論，較大程度上降低了計(jì)算量. 通過求解試題，學(xué)生能充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，對培養(yǎng)學(xué)生探究未知的精神有著積極的引導(dǎo)作用.

【評析】此題是江蘇卷的壓軸題，考查古典概型、概率中的遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等，綜合考查了學(xué)生的邏輯分析求解能力. 此題將高等數(shù)學(xué)知識(shí)與高中數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)融合，是繼2019年全國Ⅰ卷理科第21題后再次將概率與數(shù)列交會(huì)，涉及高等數(shù)學(xué)中的隨機(jī)過程背景，與“賭徒輸光”和“酒鬼漫步”等概率模型相似，屬于馬爾科夫鏈（Markov Chain）. 試題將馬爾科夫鏈和一個(gè)二階齊次線性遞歸數(shù)列相聯(lián)系，雖然思維跨度較大，但構(gòu)造等比數(shù)列的形式在結(jié)論中已經(jīng)給出，降低了難度. 與2019年全國Ⅰ卷理科第21題相比，此題降低了對概率問題的理解要求，更側(cè)重概率與數(shù)列知識(shí)的交會(huì)，缺少了對結(jié)果的分析和解釋. 解題的思維難點(diǎn)在于：（1）理解[pn]和[qn]的含義;（2）將概率問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題. 解題的基本對策在于理解題意，提取有效信息，用初等數(shù)學(xué)知識(shí)消化高等數(shù)學(xué)背景.

三、教學(xué)建議

通過以上試題分析和解法欣賞，可以發(fā)現(xiàn)2020年高考數(shù)學(xué)對計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的考查以現(xiàn)實(shí)生活為背景、以必備知識(shí)為重點(diǎn)、以基本問題為載體進(jìn)行交會(huì)命題，全面考查了統(tǒng)計(jì)與概率、計(jì)數(shù)原理的基本思想方法，以及學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng). 基于此，對本專題的教學(xué)提出如下建議.

1. 依托教材內(nèi)容，準(zhǔn)確把握基本概念的教學(xué)規(guī)律

2020年計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的高考考查對象表明：（1）基本概念的考查面廣，必考點(diǎn)和輪考點(diǎn)交替命題. 必考點(diǎn)涉及排列組合、古典概型、隨機(jī)變量的分布、期望與方差、正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)圖表、樣本的數(shù)字特征、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn);輪考點(diǎn)涉及二項(xiàng)式定理、概率的性質(zhì)、幾何概型、隨機(jī)抽樣等. （2）基本技能的考查難度恰當(dāng). 如計(jì)數(shù)原理避免排列組合的復(fù)雜技巧，只需簡單的分類討論和列舉法就可以解決問題;二項(xiàng)式定理重點(diǎn)考查通項(xiàng)公式;概率與統(tǒng)計(jì)突出考查古典概型、概率的簡單性質(zhì)和數(shù)字特征. 這些試題基本都與教材例、習(xí)題的難度相當(dāng).

概率與統(tǒng)計(jì)的思維方式與邏輯推理不同于其他數(shù)學(xué)內(nèi)容，對結(jié)論的判斷標(biāo)準(zhǔn)也不一樣，而這些差異都與理解基本概念密切相關(guān)，因此，對基本概念的理解在計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)部分顯得尤為重要. 基于此，在教學(xué)中教師首先要善于認(rèn)真鉆研教材，準(zhǔn)確把握計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的基本概念的教學(xué)策略，要特別注重這些概念和方法的產(chǎn)生和形成過程，要將概率中的概念和統(tǒng)計(jì)中的概念進(jìn)行對比說明;其次，要突出重要概念的實(shí)際意義，突出用概率與統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的基本思想，突出知識(shí)的綜合應(yīng)用，讓學(xué)生將抽象的概念與具體的生活實(shí)際相結(jié)合，從而幫助學(xué)生進(jìn)一步理解這些概念的內(nèi)涵.

2. 注重知識(shí)交會(huì)，有效落實(shí)相關(guān)內(nèi)容的縱橫聯(lián)系

2020年高考數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)的考查問題表明：（1）問題的縱向聯(lián)系緊密. 試題往往注重通過圖表的形式給出數(shù)據(jù)，再進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并體會(huì)數(shù)據(jù)分析的決策作用.（2）問題的橫向聯(lián)系頻繁. 試題常常聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)分析單調(diào)性、聯(lián)系數(shù)列知識(shí)確定通項(xiàng)等.

教學(xué)時(shí)要注重本專題知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，兼顧知識(shí)內(nèi)部的交會(huì)整合. 例如，計(jì)數(shù)原理是古典概型的基礎(chǔ)，概率既具有決策的作用，又具有統(tǒng)計(jì)的意義. 又如，在直方圖中求中位數(shù)和平均值，在莖葉圖中求平均值與方差，線性回歸方程中相關(guān)公式的變形和數(shù)據(jù)處理等. 同時(shí)，還要注重本專題知識(shí)與其他內(nèi)容的相互聯(lián)系，適當(dāng)體現(xiàn)跨專題、跨學(xué)科的交會(huì)綜合. 例如，二項(xiàng)式定理可與二項(xiàng)分布相聯(lián)系，概率性質(zhì)可與集合的交、并、補(bǔ)相聯(lián)系，幾何概型可與平面幾何、立體幾何知識(shí)相聯(lián)系等，在這些知識(shí)的交會(huì)處，可適度拓展延伸，有效落實(shí)相關(guān)內(nèi)容間的縱橫聯(lián)系.

3. 捕捉時(shí)代氣息，真實(shí)提升數(shù)學(xué)閱讀與理解能力

2020年高考數(shù)學(xué)中的計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)試題表明：（1）通過真實(shí)的問題情境，體現(xiàn)我國的科學(xué)防疫成果、建設(shè)成就和制度優(yōu)勢，具有鮮明的時(shí)代特色，充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)試卷的育人功能.（2）進(jìn)一步采用非連續(xù)文本的方式，加強(qiáng)對數(shù)據(jù)整理、加工分析和統(tǒng)計(jì)推斷的考查，突出數(shù)學(xué)建模能力、信息處理能力和閱讀理解能力的考查力度.

教學(xué)時(shí)要重視數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析這三大核心素養(yǎng)在解決概率與統(tǒng)計(jì)問題中的支撐作用，要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)概念解讀具體問題、提取數(shù)學(xué)信息的能力，要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生對文字語言、符號(hào)語言、圖表語言的相互轉(zhuǎn)換能力，使學(xué)生逐步掌握“讀懂、理清、弄通、會(huì)做”的四個(gè)步驟，要善于與時(shí)俱進(jìn)地捕捉時(shí)代氣息，借助具有真實(shí)情境的數(shù)學(xué)問題，在全方位培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀與理解能力的過程中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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