田媛

摘 ?要：中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生閱讀習(xí)慣和閱讀能力的培養(yǎng). 結(jié)合數(shù)學(xué)概念課教學(xué)開展對(duì)數(shù)學(xué)閱讀的研究與理解，通過(guò)設(shè)計(jì)閱讀教學(xué)環(huán)節(jié)，結(jié)合問(wèn)題進(jìn)行提綱式閱讀和要領(lǐng)提煉式閱讀，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，建立學(xué)生對(duì)信息的提取、篩選與整合機(jī)制，聚焦學(xué)生閱讀素養(yǎng)，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以達(dá)到思源、思序、收獲、創(chuàng)新的程度，從而促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)閱讀;數(shù)學(xué)概念;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

近幾年，高考數(shù)學(xué)試題的題干文字?jǐn)?shù)量不斷增加，篇幅也逐漸增大，這表明高考加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的考查. 在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中閱讀視野狹窄，缺乏耐心，受“快餐文化”的影響，喜歡篇幅短小的文章，閱讀能力不容樂(lè)觀，這種情況對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)極為不利. 學(xué)生的閱讀理解能力與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力密切相關(guān)，數(shù)學(xué)閱讀不只是閱讀文字，更重要的是要提取其中的有用信息，將其轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，概括提煉為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而尋找解決問(wèn)題的方法.

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷和證明的依據(jù)，是數(shù)學(xué)定理、法則和公式的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn). 因此，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位. 在2019年12月舉辦的“第九屆北京數(shù)學(xué)教師論壇”中，高一數(shù)學(xué)概念課“向量的加減”的教學(xué)旨在探索通過(guò)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，主要針對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)、解決實(shí)際問(wèn)題、跨學(xué)科定義概念的比較和數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)等方面，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)探究，將數(shù)學(xué)閱讀內(nèi)化為對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與認(rèn)識(shí).

一、設(shè)計(jì)閱讀教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣

教師在教學(xué)過(guò)程中要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)閱讀的價(jià)值及其重要性，將閱讀教學(xué)滲透于教學(xué)活動(dòng)全過(guò)程中，積極開展有效的閱讀教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣. 概念教學(xué)一般包括創(chuàng)設(shè)情境、概念形成、概念辨析、概念應(yīng)用四個(gè)環(huán)節(jié).

數(shù)學(xué)概念的抽象性決定了在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中需要通過(guò)“實(shí)例引入”來(lái)引領(lǐng)學(xué)生邁出直觀認(rèn)識(shí)概念的關(guān)鍵一步，其目的是讓學(xué)生感知概念. 同時(shí)，在創(chuàng)設(shè)的情境中隱藏著數(shù)學(xué)概念的原型，其能夠?yàn)橄乱浑A段數(shù)學(xué)概念的形成做好鋪墊.

例如，在“向量的加減”的教學(xué)中，既要突出向量加法的運(yùn)算本質(zhì)，又要準(zhǔn)確定義數(shù)學(xué)運(yùn)算的概念. 以學(xué)生的親身經(jīng)歷和相關(guān)事件作為閱讀材料，設(shè)計(jì)課堂情境與問(wèn)題.

閱讀材料1：上午最后一節(jié)課是體育課，學(xué)生都到室外上課，學(xué)生甲下課后直接從操場(chǎng)出發(fā)，去食堂吃飯，學(xué)生乙先回教室拿飯卡，再去食堂. 若用[A，][B，C]分別表示操場(chǎng)、教室、食堂. 如圖1，操場(chǎng)到食堂的距離約[500 m]，食堂到教室的距離約800 m，教室到操場(chǎng)的距離約[1 000 m].

試問(wèn)：（1）甲、乙兩名學(xué)生從操場(chǎng)到食堂的路程各是多少？

（2）甲、乙兩名學(xué)生從操場(chǎng)到食堂的位移各是多少？

學(xué)生回答：（1）甲的路程為500 m，乙的路程為[1 000+800=1 800 m;]

（2）甲、乙兩名學(xué)生從操場(chǎng)到食堂的位移相同，表示兩次位移的結(jié)果與一次位移的結(jié)果相同.

學(xué)生通過(guò)閱讀發(fā)現(xiàn)：路程是標(biāo)量，即數(shù)量;位移是矢量，即向量. 位移求和得到的位移之和也是矢量（向量），矢量相加的本質(zhì)是“累計(jì)”，不是簡(jiǎn)單的數(shù)值大小相加.

“向量數(shù)學(xué)”是19世紀(jì)末20世紀(jì)初才發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分支，其在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、空間物質(zhì)結(jié)構(gòu)等方面有著廣泛的應(yīng)用，備受人們關(guān)注，進(jìn)而形成了一套具有優(yōu)良運(yùn)算通法的數(shù)學(xué)體系. 由于它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)與形于一體，因此成為幾何代數(shù)化的重要工具. 數(shù)學(xué)中，向量的加法運(yùn)算是以物理模型為原型構(gòu)建的，它體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)是模型的科學(xué)”.

在教學(xué)中，為充分挖掘?qū)W生的潛能，教師應(yīng)進(jìn)一步設(shè)計(jì)閱讀材料，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，培養(yǎng)其分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

閱讀材料2：學(xué)校的操場(chǎng)是南北方向的，上體育課的時(shí)候，突然刮起大風(fēng)，風(fēng)從正北方向吹來(lái)，風(fēng)速為[50 km / h]，教師要求學(xué)生緊急返回教室避風(fēng)，操場(chǎng)出口在東北側(cè)，此時(shí)，學(xué)生丙正在操場(chǎng)的西北方向，距離出口約80 m，他立刻以[12 km / h]的速度向出口跑去（正東方向），若奔跑過(guò)程中不改變方向，試問(wèn)學(xué)生丙能否準(zhǔn)確到達(dá)出口？為什么？

閱讀能力較強(qiáng)的學(xué)生的回答：不能，丙的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向不是正東方向，應(yīng)該是風(fēng)吹的方向與丙的運(yùn)動(dòng)方向的合成，利用平行四邊形法則可以得到丙的運(yùn)動(dòng)方向，如圖2所示.

位移是向量，向量是有方向的量，所以向量的加法不僅要考慮數(shù)值大小，還要考慮方向. 向量的加法是按照平行四邊形法則計(jì)算的，不是數(shù)值和.

此時(shí)，有個(gè)別學(xué)生出現(xiàn)閱讀困難，在回答教師的問(wèn)題時(shí)，答不出其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，抓不住閱讀素材中的本質(zhì)問(wèn)題. 通過(guò)演示與作圖，更多的學(xué)生感受到數(shù)學(xué)閱讀與理解數(shù)學(xué)概念是密切相關(guān)的，懂得了通過(guò)具體的生活實(shí)例去體會(huì)抽象的數(shù)學(xué)含義，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念既來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活. 這也體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力對(duì)把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的重要性.

教學(xué)實(shí)踐中，不能用教師的個(gè)體思維代替學(xué)生的個(gè)性思維發(fā)展，在實(shí)施閱讀教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)給學(xué)生充足的時(shí)間對(duì)題目進(jìn)行閱讀及分析，使學(xué)生通過(guò)仔細(xì)閱讀，認(rèn)真體會(huì)、理解閱讀素材中的核心問(wèn)題，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，這樣才能激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣. 認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)后，教師不僅要在課堂中留出閱讀的時(shí)間，還要從外部環(huán)境入手，組織閱讀教學(xué)活動(dòng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣.

二、實(shí)施提綱式閱讀，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，保障數(shù)學(xué)思維的流暢性

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷感知、理解、保持和應(yīng)用四個(gè)心理過(guò)程. 向量運(yùn)算是繼數(shù)的運(yùn)算、集合運(yùn)算之后對(duì)運(yùn)算的又一次擴(kuò)充，是深化對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)的契機(jī). 數(shù)學(xué)課堂離不開學(xué)生的探究活動(dòng)，在課堂教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行局部探究活動(dòng)設(shè)計(jì)，可以幫助學(xué)生更清楚地了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，理解知識(shí)的本質(zhì).

為了減輕學(xué)生的閱讀難度，教師在備課時(shí)應(yīng)當(dāng)編寫簡(jiǎn)要的提綱，展現(xiàn)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，以及對(duì)主題和概念的理解、應(yīng)用和再認(rèn)識(shí). 提綱可以采用圖表或問(wèn)題串的方式引導(dǎo)學(xué)生審讀題意，抓住重點(diǎn)，達(dá)到思源、思序的程度. 環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題串、借助現(xiàn)代教育技術(shù)進(jìn)行直觀演示、預(yù)設(shè)合理化實(shí)際問(wèn)題等都是實(shí)施提綱式閱讀的有效策略，如下表所示.

在數(shù)學(xué)課堂上，師生之間應(yīng)該建立新型的對(duì)話關(guān)系，學(xué)生是課堂的主體，教師可以聆聽學(xué)生的見解，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的欲望，教師適時(shí)地給予贊同、表?yè)P(yáng)或指正. 在數(shù)學(xué)課堂上，教師不能僅將學(xué)生作為學(xué)習(xí)活動(dòng)的接受者，更應(yīng)該充分發(fā)揮其主體作用，使其積極參與到新知識(shí)的思維過(guò)程中，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考.

例如，在證明向量加法的結(jié)合律[a+b+c=a+] [b+c]時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)造平面圖形，回顧與之相關(guān)的不等式知識(shí)，通過(guò)自主提問(wèn)，利用分類討論思想，發(fā)現(xiàn)并證明向量的運(yùn)算律.

學(xué)生提出如下問(wèn)題.

（1）是否需要用圖形表現(xiàn)向量[a，b，c]的方向和長(zhǎng)度？

（2）若向量[a，b，c]具有任意性，是否應(yīng)該分類討論？

（3）若向量[a，b，c]具有特殊性，那么會(huì)有幾種情況？

（4）若向量[a，b，c]沒有特殊性，怎樣借助向量的加法進(jìn)行證明？

……

分類討論：（1）當(dāng)向量[a，b，c]中有零向量時(shí)，向量加法的結(jié)合律顯然成立.

（2）當(dāng)向量[a，b，c]是非零向量時(shí).

如圖3，設(shè)[a=AB，b=BC，c=CD，]

則可以得到[a+b+c=AB+BC+CD=AD=AB+][BC+CD=a+b+c.]

結(jié)合三角形的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)于“向量三角不等式”的結(jié)論，并加以研究.

問(wèn)題提出：對(duì)于任意兩個(gè)向量[a，b，] 結(jié)合三角形中“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的性質(zhì)，探究[a-b≤a+b≤a+b]的幾何意義.

分類討論：（1）當(dāng)[a，b]中有零向量時(shí)，顯然成立.

（2）當(dāng)[a，b]是非零向量時(shí)，進(jìn)一步分析.

① [a，b]共線時(shí)，即[a∥b]時(shí)，分為兩種情況.

如圖4，當(dāng)[a，b]方向相同時(shí)，[a+b=a+b，][a-b<a+b=a+b];

如圖5，當(dāng)[a，b]方向相反時(shí)，[a-b=a+b，][a-b=a+b<a+b].

② [a，b]不共線時(shí)，如圖6，在[△OAB]中，[OA-AB<OB<][OA+AB，] 即[a-b<a+b<][a+b][.]

因此，構(gòu)成“向量三角不等式”[a-b≤a+b≤][a+b].

圍繞學(xué)生的思維發(fā)展進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的提綱式閱讀教學(xué)，使問(wèn)題、思想、探究、聯(lián)系和發(fā)展貫穿始終. 學(xué)生在教師的啟發(fā)下，不斷發(fā)現(xiàn)所面臨的新問(wèn)題，這成為課堂探究活動(dòng)的主線，沿著這條主線，教師將帶領(lǐng)學(xué)生尋找區(qū)別和聯(lián)系. 課堂上，學(xué)生回答問(wèn)題的過(guò)程成為體驗(yàn)和完成一次科學(xué)探究的過(guò)程，成為培養(yǎng)科學(xué)探究素養(yǎng)的過(guò)程.

三、實(shí)施要領(lǐng)提煉式閱讀，聚焦學(xué)生的閱讀素養(yǎng)，幫助學(xué)生提高解題能力

解題的前提是閱讀，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀題目表述的內(nèi)容，抓住題目中隱含的條件和解題的突破口，數(shù)學(xué)閱讀材料是通過(guò)不同的試題來(lái)呈現(xiàn)的，因此學(xué)生將類似的算式、問(wèn)題和性質(zhì)等信息，通過(guò)閱讀勾畫出材料的要點(diǎn)信息，完成要點(diǎn)的提煉與整合，準(zhǔn)確理解試題的要求，就可以完成要領(lǐng)提煉式閱讀.

學(xué)生不會(huì)審題，不能從試題中迅速捕捉到有效的信息，丟三落四，就會(huì)造成解題的困難，這與學(xué)生的閱讀理解能力有直接的關(guān)系. 在遇到這類問(wèn)題時(shí)，教師經(jīng)常歸咎于學(xué)生粗心，卻很少思考他們是否真的讀“懂”了題目. 有的學(xué)生在做題時(shí)，沒讀完題目，未能提煉出問(wèn)題的要領(lǐng)，僅根據(jù)日常做題的經(jīng)驗(yàn)完成對(duì)題目的解答;或者在讀題的過(guò)程中，添字、漏字、遺漏關(guān)鍵條件等. 對(duì)題目理解錯(cuò)誤，無(wú)法解題也就不足為怪了.

因此，當(dāng)學(xué)生完成向量加法的運(yùn)算之后，為了激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的興趣和欲望，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自編問(wèn)題、相互解答，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言水平和數(shù)學(xué)交流能力.

如圖7，在正六邊形[ABCDEF]中，已知圖形的各邊和對(duì)角線，選擇圖中的線段為向量，恰當(dāng)使用向量的加法和運(yùn)算律，自編問(wèn)題，并解答. 解答后學(xué)生間進(jìn)行相互評(píng)價(jià).

教師提供的備選問(wèn)題：

（1）[OA+OC=______];

（2）[BC+FE=______];

（3）[OA+FE=______];

（4）[OB+BC+CO=______];

（5）[AB+BC+CD+DE+EF+FA=______].

這些問(wèn)題的類型相近，但所表示的向量在圖形中的位置是不同的，對(duì)不同的向量進(jìn)行加法運(yùn)算，最終得到一個(gè)確定的向量. 通過(guò)求解問(wèn)題，學(xué)生可以提煉問(wèn)題的共性，尋找解題要點(diǎn)，總結(jié)一般規(guī)律.

觀察上述向量算式，如果從等式的右邊向左邊進(jìn)行運(yùn)算，你會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

通過(guò)引導(dǎo)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)向量都可以拆成多個(gè)向量的和，這樣就激發(fā)了學(xué)生的好奇心與求知欲，使學(xué)生能夠在類似的數(shù)學(xué)算式中尋找共性，提煉要點(diǎn)，并產(chǎn)生逆向思維. 因此，教師需要在教學(xué)中加強(qiáng)訓(xùn)練，在閱讀中培養(yǎng)學(xué)生形成反思行為和逆向思維的習(xí)慣.

通過(guò)以向量所在空間的維度為基準(zhǔn)，利用基底作為研究向量的平臺(tái)，以向量加法的逆向運(yùn)算為方法，進(jìn)行向量的拆分，初步形成“拆分向量”思想，將在今后的空間向量學(xué)習(xí)中得到加強(qiáng)，為學(xué)習(xí)后續(xù)的知識(shí)奠定基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但它在形成的過(guò)程中又是一門實(shí)踐性的歸納科學(xué). 在最初的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，就是要通過(guò)讀一讀、想一想、畫一畫、算一算、試一試等方式，經(jīng)歷從閱讀到理解再到應(yīng)用的過(guò)程. 數(shù)學(xué)閱讀是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)專業(yè)語(yǔ)言的閱讀. 數(shù)學(xué)學(xué)科語(yǔ)言有三種：文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言. 文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言最顯著的特點(diǎn)是嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、精確性. 數(shù)學(xué)閱讀要體現(xiàn)精準(zhǔn)、有條理和靈活處理的能力特征. 數(shù)學(xué)閱讀的最終目標(biāo)是明確數(shù)學(xué)條件和建立數(shù)學(xué)模型，是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)，以達(dá)到思源、思序、收獲、創(chuàng)新的程度，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

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