摘? 要：從學(xué)生不能畫出過(guò)定點(diǎn)的斜率確定的直線的現(xiàn)象入手，分析問(wèn)題在于概念理解僅停留在淺層次、教學(xué)情境問(wèn)題泛化、缺少數(shù)學(xué)抽象的活動(dòng)載體和數(shù)學(xué)表征形式單一. 提出在章起始課教學(xué)中建構(gòu)恰當(dāng)?shù)母拍钫Z(yǔ)境情境、合理創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)習(xí)心向促進(jìn)概念接納、通過(guò)活動(dòng)拉長(zhǎng)進(jìn)程減緩坡度、以多樣化的概念表征建立概念圖式等改進(jìn)教學(xué)的途徑，得出“章節(jié)起始課因涉及核心概念生成、思維方式轉(zhuǎn)變和思想方法的萌生，故接納理解應(yīng)重于運(yùn)算訓(xùn)練”的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：直線斜率;接納理解;教學(xué)思考

一、問(wèn)題的提出

近日聽了“直線的斜率”研討課，教學(xué)過(guò)程大致如下：教師先以蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）章頭圖為情境，在引言中明確解析幾何的研究對(duì)象、方法、策略，然后提出核心問(wèn)題：如何建立直線的方程？如何利用方程研究直線的性質(zhì)？接下來(lái)是直線斜率的教學(xué)，以臺(tái)階坡度的定量刻畫作為概念原型抽象斜率的概念和斜率公式，然后以計(jì)算運(yùn)用等手段強(qiáng)化對(duì)概念和公式的理解. 從教學(xué)時(shí)間分配來(lái)看，介紹解析幾何研究對(duì)象、方法、策略等引言內(nèi)容用時(shí)約4分鐘，直線斜率概念抽象和得到斜率公式用時(shí)約14分鐘，例題評(píng)講訓(xùn)練用時(shí)約20分鐘;從課堂即時(shí)效果來(lái)看，學(xué)生能順利完成由點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算直線的斜率，但面對(duì)“依據(jù)斜率數(shù)值畫過(guò)定點(diǎn)的直線，如過(guò)點(diǎn)[3，2]畫直線，使其斜率為[3/4]”的問(wèn)題時(shí)無(wú)從下手. 雖然經(jīng)過(guò)教師提示，把點(diǎn)[3，2]向右平移4個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位得到的點(diǎn)[7，5]在直線上，但是仍有學(xué)生追問(wèn)“斜率為何變成了平移”. 出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因何在？教學(xué)中如何改進(jìn)？引起筆者的思考.

二、問(wèn)題的分析

1. 學(xué)生的概念理解水平僅停留在記憶性理解

根據(jù)相關(guān)研究，數(shù)學(xué)概念的理解分為三個(gè)不同水平：記憶性理解，解釋性理解，探究性理解. 記憶性理解是指能夠記憶概念的定義、符號(hào)等，在應(yīng)用概念方面是標(biāo)準(zhǔn)情境中的簡(jiǎn)單套用，或是按照示例進(jìn)行機(jī)械的模仿;解釋性理解是指能夠掌握概念的來(lái)龍去脈，能用自己的語(yǔ)言或換一種形式正確地表達(dá)概念，在應(yīng)用知識(shí)方面是從一定范圍的變式情境中區(qū)別出概念的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，或把變式靈活轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式，以便解決數(shù)學(xué)問(wèn)題;探究性理解是指能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)概念或進(jìn)行歸納假設(shè)，探索新概念，在應(yīng)用概念方面是在相當(dāng)開放的變式情境中對(duì)已有數(shù)學(xué)概念的擴(kuò)展. 由斜率數(shù)值畫直線，概念理解應(yīng)達(dá)到解釋性理解的層次，需要將具體數(shù)值進(jìn)行邏輯和形式上的運(yùn)演，運(yùn)用相關(guān)的表征形式將其轉(zhuǎn)化為熟悉的結(jié)構(gòu)和形式. 課堂上，學(xué)生將斜率轉(zhuǎn)化為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)[x2，y2]的方程[y2-2x2-3=34]，但是無(wú)法求出不定方程的解，畫不出直線. 若能轉(zhuǎn)化為其他形式，也許就能順利求解.

2. 教學(xué)設(shè)置的問(wèn)題情境不足以喚醒學(xué)習(xí)心向

在概念邏輯體系中，斜率是章節(jié)的核心概念，直線的方程是斜率的“下位概念”. 章頭圖的情境是圍繞“如何建立直線的方程”而設(shè)置的，與斜率的概念在邏輯關(guān)系上有一定的距離，以此作為問(wèn)題情境則顯得泛化，不能喚醒學(xué)習(xí)心向. 依據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，從平面幾何的視角，兩條直線的傾斜程度在圖形上“一目了然”，為何還要“另起爐灶”定量刻畫？這是學(xué)生的疑惑. 教學(xué)時(shí)若以此為切入點(diǎn)，用具體問(wèn)題將此疑慮顯現(xiàn)放大，可以引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)心向，當(dāng)疑慮消失后，學(xué)生對(duì)平面解析幾何涉及的思維視角和研究方法也就有了感性認(rèn)知.

3. 數(shù)學(xué)抽象缺少載體致使思維進(jìn)程快、坡度大

通過(guò)引言的教學(xué)，學(xué)生雖然能感知量化傾斜程度與建立直線方程有關(guān)聯(lián)，但這種關(guān)聯(lián)的邏輯性尚不清楚，所以不能自然接納對(duì)傾斜程度的量化. 如果有如下認(rèn)知的鋪墊：延伸方向是直線的本質(zhì)屬性，傾斜程度是延伸方向的直觀表達(dá)，斜率是延伸方向的量化表達(dá). 學(xué)生便能自然地從代數(shù)角度理解斜率是直線本質(zhì)屬性的數(shù)量表示，與圖形直觀是一體兩面，促進(jìn)關(guān)于直線整體認(rèn)知的形成. 這既需要學(xué)生經(jīng)歷相應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，又需要教師設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象活動(dòng). 教學(xué)中，可以基于直線是質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的軌跡這一認(rèn)知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生從變化中的不變量和不變關(guān)系抽象直線的本質(zhì)屬性，在活動(dòng)中拉長(zhǎng)思維進(jìn)程、減緩思維坡度，促進(jìn)理解的形成和深化.

4. 概念表征形式單一，不能建立聯(lián)系形成網(wǎng)絡(luò)

斜率表達(dá)的是直線延伸方向，而方向的數(shù)學(xué)表征具有多樣化. 雖然不同時(shí)期不同版本的教材對(duì)斜率的定義方式不盡相同，但表征斜率的形式都離不開代數(shù)、幾何和運(yùn)動(dòng)等形式，如角度（直線的傾斜角）、向量（直線的方向向量和法向量）、平移變化和一次函數(shù)圖象等. 多樣化的概念表征無(wú)論是對(duì)內(nèi)涵的理解還是概念網(wǎng)絡(luò)的建立都是必要的. 教材也選用了傾斜角來(lái)表征斜率，但斜率的定義不是源于傾斜角的正切函數(shù)值而是趨于本質(zhì)的“函數(shù)平均變化率”. 回顧斜率公式的教學(xué)，過(guò)分強(qiáng)調(diào)直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)都能表達(dá)和計(jì)算斜率，沒(méi)有理清直線斜率與點(diǎn)坐標(biāo)間的邏輯關(guān)系，又使得斜率的表征形式單一，致使學(xué)生在面對(duì)斜率數(shù)值時(shí)，概念的提取形式僵化，能夠建立的聯(lián)系單一，這樣概念理解很難深化，后續(xù)的靈活運(yùn)用將缺乏思維的源泉.

三、相應(yīng)的對(duì)策

1. 重視章起始課教學(xué)，建構(gòu)恰當(dāng)?shù)母拍钫Z(yǔ)境

數(shù)學(xué)概念不僅表現(xiàn)為一種邏輯關(guān)系，同時(shí)還有語(yǔ)境和情境的問(wèn)題. 語(yǔ)境是表達(dá)概念外在形式的載體，同時(shí)還創(chuàng)造了相關(guān)概念的整體語(yǔ)言氛圍. 坐標(biāo)法及蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想是平面解析幾何的概念語(yǔ)境和情境，這對(duì)于初學(xué)者而言因研究視角和研究方法的變化而顯得不能適應(yīng)和接受，所以在學(xué)生認(rèn)知過(guò)程中，適宜的語(yǔ)境氛圍對(duì)于概念接納理解和后續(xù)學(xué)習(xí)都是十分必要的. 數(shù)學(xué)章起始課的重要教學(xué)功能就是創(chuàng)建適合概念學(xué)習(xí)的語(yǔ)境和情境.“直線的斜率”是“平面解析幾何初步”章起始課的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)其理解程度不僅反映在知識(shí)點(diǎn)的掌握上，也對(duì)概念語(yǔ)境的建構(gòu)產(chǎn)生直接的影響.

為建構(gòu)解析幾何的概念語(yǔ)境，教師應(yīng)從課程的整體性和系統(tǒng)性理解教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，辯證地面對(duì)“知識(shí)的整體性與教學(xué)的分散性”之間的矛盾. 實(shí)踐中，學(xué)生學(xué)完直線方程即可發(fā)現(xiàn)“并非所有的直線都是一次函數(shù)的圖象”，這有助于澄清片面認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)間的聯(lián)結(jié)，促進(jìn)整體理解形成整體觀念. 教學(xué)時(shí)，教師可以根據(jù)“歷史相似性原理”創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生經(jīng)歷“繞不開”的那幾步，以此體會(huì)解析幾何的研究?jī)?nèi)容和方法，還可以創(chuàng)設(shè)相關(guān)活動(dòng)，如查閱數(shù)學(xué)史實(shí)、撰寫小論文等，為學(xué)生感悟坐標(biāo)法中蘊(yùn)涵的量化、符號(hào)化和變量化思想提供機(jī)會(huì).

2. 創(chuàng)設(shè)合適情境，尋找認(rèn)知基點(diǎn)激發(fā)學(xué)習(xí)心向

一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，使“兩點(diǎn)確定一條直線”成為學(xué)生的共識(shí). 但是，他們既沒(méi)有思考兩點(diǎn)是如何確定直線的，也缺乏這樣思考的意識(shí). 因?yàn)閷W(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象是作為研究函數(shù)性質(zhì)的途徑和工具，教學(xué)的最終會(huì)落點(diǎn)在函數(shù)的性質(zhì)上，通過(guò)“描點(diǎn)、連線”畫圖象的依據(jù)和嚴(yán)謹(jǐn)性不是彼時(shí)教學(xué)的必須. 而在平面解析幾何中，用代數(shù)的方法研究幾何圖形，這種研究視角的改變不是學(xué)生熟悉的，教學(xué)時(shí)在學(xué)生熟知的知識(shí)體系中提出陌生的問(wèn)題. 例如，如何保證一次函數(shù)解析式確定的所有點(diǎn)都在由兩點(diǎn)畫出的直線上？如何保證由兩點(diǎn)畫出的直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足一次函數(shù)的解析式？可以將學(xué)生帶入“憤”“悱”的狀態(tài)，形成學(xué)習(xí)心向促進(jìn)主動(dòng)接納，把思維引向兩點(diǎn)的確定性與直線延伸的方向性的聯(lián)系上來(lái). 這樣既可以使得學(xué)習(xí)新知識(shí)的意義不言自明，思維敏銳的學(xué)生還能捕捉到“另起爐灶”意味著思維視角和研究方法的改變.

3. 恰當(dāng)安排活動(dòng)，拉長(zhǎng)思維進(jìn)程，減緩抽象坡度

《辭?！穼?duì)“本質(zhì)”一詞的解釋為“事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系”，教學(xué)中應(yīng)以表現(xiàn)本質(zhì)屬性的關(guān)系和問(wèn)題為載體，設(shè)置與之相應(yīng)的認(rèn)知活動(dòng)，如觀察、比較、辨別、表達(dá)等. 通過(guò)這些具體認(rèn)知活動(dòng)可以拉長(zhǎng)思維進(jìn)程、減緩思維坡度，以促進(jìn)概念理解和觀念形成. 在教學(xué)過(guò)程中，筆者提煉直線本質(zhì)屬性的過(guò)程如下：先以追問(wèn)“兩點(diǎn)究竟是確定了直線的哪種屬性，從而才使得直線得以確定？”引導(dǎo)學(xué)生思考，在形成“延伸方向是直線的本質(zhì)屬性”的認(rèn)識(shí)后，任意畫出一條直線，讓學(xué)生表達(dá)其延伸方向，當(dāng)學(xué)生明白直線上任意兩點(diǎn)都可以用來(lái)表達(dá)延伸方向時(shí)，以表達(dá)的任意性凸顯直線延伸方向的唯一確定性;然后讓學(xué)生辨別平行直線延伸方向的一致性和相交直線延伸方向的不一致性，明確延伸方向與直線位置的因果關(guān)系，以此強(qiáng)化對(duì)直線本質(zhì)屬性的理解;最后在觀察、描述多對(duì)相交直線傾斜程度差異性的活動(dòng)中，形成差異的精確化需要傾斜程度的數(shù)量化，引入斜率概念和公式. 這樣，讓學(xué)生在具體數(shù)學(xué)活動(dòng)中親身體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合具有內(nèi)在的一致性.

4. 多樣化概念表征，建立聯(lián)系形成概念圖式

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要課題是如何幫助學(xué)生適時(shí)、連續(xù)地完成概念圖式的不斷形成和轉(zhuǎn)換. 相關(guān)概念間的邏輯、并行、上下位等關(guān)系是形成概念圖式的基本途徑. 多樣化的表征對(duì)于核心概念圖式（如直線的斜率）的形成和轉(zhuǎn)化至關(guān)重要. 如下案例是筆者多樣化表征斜率的教學(xué)片斷.

案例：斜率數(shù)值的形象化.

師：在平面上畫直線，使其斜率分別等于數(shù)值1，[-1]，[12]，[-23]，并簡(jiǎn)要說(shuō)明依據(jù).

對(duì)于1和[12]，有的學(xué)生轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形和內(nèi)角為30°的直角三角形（雖然找出的三角形不對(duì)，但是思路很好）的斜邊，也有的學(xué)生轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的圖象;對(duì)于-1和[-23]，采用直角三角形畫法的學(xué)生顯得有些無(wú)助.

師：大家采用的策略都是以形助數(shù)，把斜率的數(shù)值與具體的圖形建立關(guān)聯(lián)，圖形直觀可以為問(wèn)題的解決提供幫助. 從公式結(jié)構(gòu)看，斜率是[Δy]與[Δx]的比值，如果將[Δy]和[Δx]都看成變量，有何發(fā)現(xiàn)？

生：將公式變形后即為[Δy=kΔx]，是一次函數(shù)關(guān)系.

師：若從函數(shù)關(guān)系的內(nèi)涵思考，可以得到什么？以[k=-23]為例具體說(shuō)明.

生：若確定了[Δx]的值，則[Δy]也隨之確定. 例如，當(dāng)[Δx=3]時(shí)，[Δy=-2].

師：利用哪種圖形可以表達(dá)[Δx=3]和[Δy=-2]呢？

學(xué)生進(jìn)入沉思狀態(tài)，稍后學(xué)生提出平移變換，將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位再向下平移2個(gè)單位，即可實(shí)現(xiàn)[Δx=3]和[Δy=-2].

師：同學(xué)們的思考非常有意義！枯燥的斜率[k]被看成了直角三角形、一次函數(shù)的圖象和平移變換，豐富了對(duì)斜率的認(rèn)識(shí). 在后續(xù)學(xué)習(xí)中，斜率也許還有其他的形象.

解析幾何的核心是數(shù)形結(jié)合，遵循“幾何問(wèn)題代數(shù)表達(dá)—代數(shù)運(yùn)算獲得結(jié)果—代數(shù)結(jié)果的幾何形式”的研究過(guò)程，但是這并非機(jī)械的線性順序，而是要數(shù)形結(jié)合貫穿始終. 實(shí)際上，圖形的代數(shù)表達(dá)既不能僵化也不是單向的，而是在深入分析形的特征和幾何推理的基礎(chǔ)上完成的;而代數(shù)運(yùn)算也不是純粹的運(yùn)算，要以形啟算、以形導(dǎo)算、以形驗(yàn)算，才能使運(yùn)算的路徑簡(jiǎn)潔，結(jié)果合理. 學(xué)生不能由斜率的數(shù)值畫出直線，表明他們不能識(shí)別斜率數(shù)值中隱含的圖形特征，無(wú)法將其與具體圖形建立關(guān)聯(lián).

另外，概念間的邏輯關(guān)系也是影響概念理解和概念圖式的重要因素. 例如，斜率與點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，在有些學(xué)生的理解中，斜率就是兩點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)變化量的比值，所以必須有點(diǎn)的坐標(biāo)才能求出直線的斜率. 如此，點(diǎn)坐標(biāo)是斜率的先決條件，斜率變成了點(diǎn)坐標(biāo)的附屬品. 顯然，這使兩者的邏輯關(guān)系本末倒置了. 在教學(xué)中，教師提出問(wèn)題：不在坐標(biāo)系中的直線存在斜率嗎？如果存在，將其表達(dá)出來(lái). 這樣就可以清楚斜率與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，使學(xué)生形成正確的認(rèn)知.

四、結(jié)語(yǔ)

對(duì)于核心概念的教學(xué)，接納理解應(yīng)重于運(yùn)算訓(xùn)練. 運(yùn)算是一種重要的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，培養(yǎng)運(yùn)算能力不能僅靠技能訓(xùn)練而脫離數(shù)學(xué)理解. 訓(xùn)練需要建立在理解的基礎(chǔ)上. 因?yàn)閿?shù)學(xué)概念、定理、法則的理解，公式的靈活運(yùn)用等必須通過(guò)解題訓(xùn)練來(lái)完成，這是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中更加具體的教學(xué)任務(wù)，但是如果教學(xué)中僅以運(yùn)用和訓(xùn)練來(lái)代替數(shù)學(xué)理解，在形式上就會(huì)落入“數(shù)學(xué)教學(xué) = 解題教學(xué) = 題型教學(xué) = 刺激 - 反應(yīng)訓(xùn)練”的窠臼，實(shí)質(zhì)上是“淺教學(xué)”，容易造成記題型套公式的錯(cuò)誤認(rèn)知，對(duì)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力沒(méi)有推動(dòng)作用. 因?yàn)檫壿嬐评眄氈v究邏輯的起點(diǎn)、過(guò)程和結(jié)果，只有明確數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法之間的邏輯關(guān)系，才能按邏輯關(guān)系有序思考. 在解析幾何學(xué)習(xí)中，經(jīng)常聽到學(xué)生感慨：能找到題目的解法，但是卻算不出來(lái)結(jié)果. 于是“熟能生巧”就被奉為訓(xùn)練的法寶. 在直線斜率這樣的章起始課中，涉及章節(jié)核心概念生成、思維方式的轉(zhuǎn)變及數(shù)學(xué)思想方法的萌生，應(yīng)該分清輕重緩急，顯然接納理解應(yīng)重于運(yùn)算訓(xùn)練.

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收稿日期：2020-07-08

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——對(duì)高中數(shù)學(xué)教科書中章頭圖和章頭語(yǔ)的教學(xué)研究（B-b/2016/02/118）.

作者簡(jiǎn)介：李昌（1972— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.