摘? 要：以一個(gè)生活問(wèn)題為切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)了作為定積分學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的學(xué)習(xí)任務(wù). 分情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個(gè)環(huán)節(jié)完整呈現(xiàn)了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用定積分加以解決的過(guò)程. 探討了此學(xué)習(xí)任務(wù)中各個(gè)環(huán)節(jié)所涉及的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并對(duì)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的設(shè)計(jì)提出一些看法.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);驅(qū)動(dòng)問(wèn)題;定積分

一、背景

高中階段的微積分教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中值得研究的一個(gè)問(wèn)題. 面對(duì)高中學(xué)生，微積分教什么、怎么教是一線教師關(guān)注的焦點(diǎn). 縱覽古今中外高中階段微積分課程的發(fā)展，可知微積分教學(xué)及其改革的艱巨性、復(fù)雜性和緊迫性.

過(guò)去十余年，筆者曾面向不同的學(xué)生群體教授過(guò)一元微積分課程，內(nèi)容從一元函數(shù)的極限至無(wú)窮級(jí)數(shù)為止. 這些授課對(duì)象包括：低年級(jí)（非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)）本科生;選修大學(xué)先修課程（或者美國(guó)AP課程）的高中生、少數(shù)資優(yōu)初中生等. 上述課程的共同特點(diǎn)是偏重計(jì)算，淡化以實(shí)數(shù)理論為代表的部分內(nèi)容. 大多數(shù)學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)也集中在“是什么”，而很少追究“為什么”，更遑論主動(dòng)思考“還有什么”. 不少學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容考完就忘，在今后的學(xué)習(xí)、工作中遇到實(shí)際問(wèn)題，也很難想起借助微積分來(lái)尋求解答，這不能不說(shuō)是教學(xué)的遺憾.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 據(jù)此，筆者產(chǎn)生了用“問(wèn)題解決”來(lái)推動(dòng)微積分學(xué)習(xí)的想法. 本文把一個(gè)源自日常生活的趣味問(wèn)題作為定積分教學(xué)的驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，嘗試設(shè)計(jì)一個(gè)包含情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù)，并藉此來(lái)發(fā)展學(xué)生的相關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、任務(wù)設(shè)計(jì)

1. 設(shè)計(jì)目標(biāo)與重、難點(diǎn)

認(rèn)知目標(biāo)：掌握定積分的定義，認(rèn)識(shí)變化率和總改變量之間的關(guān)系，拓展對(duì)速率的認(rèn)識(shí).

能力目標(biāo)：運(yùn)用類(lèi)比、數(shù)學(xué)化的思想，提高合情推理能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流、表達(dá)能力，嘗試數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，體驗(yàn)基本的問(wèn)題解決過(guò)程. 著重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

育人目標(biāo)：通過(guò)做數(shù)學(xué)，親歷將總改變量轉(zhuǎn)化為定積分的過(guò)程，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從而引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自主運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)的無(wú)處不在和巨大能量.

任務(wù)重點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考、積極交流.

任務(wù)難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)谋环e函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分并求解.

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)

（1）情境與問(wèn)題.

情境：生活中經(jīng)常聽(tīng)到消費(fèi)者用“一抓準(zhǔn)”來(lái)形容資深售貨員能在不借助儀器的情況下，直接抓取顧客所需分量的商品，以此稱(chēng)贊他們的業(yè)務(wù)能力. 現(xiàn)在來(lái)考慮一個(gè)與“一抓準(zhǔn)”類(lèi)似的“一開(kāi)準(zhǔn)”問(wèn)題.

早晨刷牙，擰開(kāi)水龍頭，用杯子接水，是一個(gè)每天都要重復(fù)的動(dòng)作. 通常的做法是，先擰開(kāi)水龍頭，等待杯中的水“差不多”裝滿(mǎn)，再迅速地關(guān)閉水龍頭，以防止浪費(fèi). 那么，以什么樣的角速度開(kāi)關(guān)水龍頭，可以使得當(dāng)水龍頭從完全關(guān)閉的狀態(tài)變成完全打開(kāi)，不作任何中間停留，直接再以相同速度回到完全關(guān)閉之后，總的出水量恰好能達(dá)到指定的值？

問(wèn)題：試計(jì)算能實(shí)現(xiàn)“一開(kāi)準(zhǔn)”接水過(guò)程的開(kāi)關(guān)水龍頭的“角速度”.

（2）知識(shí)與技能.

知識(shí)：定積分的概念.

如果函數(shù)[fx]在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)[a=x0<x1< … <xi-1<xi< … <xn=b]將區(qū)間[a，b]等分成[n]個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點(diǎn)[ξi][i=1，2，…，n，] 作和式[i=1nfξiΔx=i=1nb-anfξi，] 當(dāng)[n→+∞]時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)[fx]在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作[ abfxdx，] 即[ a bfxdx=limn→+∞i=1nb-anfξi.] 這里，[a]與[b]分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)[fx]叫做被積函數(shù)，[x]叫做積分變量，[fxdx]叫做被積式.

技能：曲邊圖形面積問(wèn)題與變力做功問(wèn)題的解決示范.

例1 （曲邊圖形面積）如圖1，求由函數(shù)[fx=x2]的圖象與直線[x=1，y=0]所圍成的平面圖形的面積[S.]

解：按照分割、近似代替、求和、取極限的步驟，得[S=limn→+∞Sn=limn→+∞i=1n1nfi-1n=limn→+∞131-1n1-12n=13.]

例2 （變力做功）如圖2，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置[l]m處，求克服彈力所做的功. 解：在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力[Fx]與彈簧拉伸（或壓縮）的長(zhǎng)度[x]成正比，

即[Fx=kx，] 其中常數(shù)[k]是比例系數(shù).

由變力做功公式，得

[W=0lkxdx=12kx2l0=12kl2]（J）.

（3）思維與表達(dá).

思維：通過(guò)對(duì)上述兩例的學(xué)習(xí)，已初步理解了定積分的意義和從已知變化率求出總改變量的一般過(guò)程. 與變力做功的例題類(lèi)似，在“一開(kāi)準(zhǔn)”問(wèn)題中，杯子里水量的變化率也是一個(gè)隨時(shí)間變化的（非常值）函數(shù)，但是在非常短的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，這一變化率的變化也非常小，從而可以近似地看作一個(gè)常數(shù). 如此，便完成了曲邊梯形計(jì)算中關(guān)鍵的“近似代替”步驟，使得把曲邊梯形面積的計(jì)算過(guò)程用于“一開(kāi)準(zhǔn)”問(wèn)題的設(shè)想成為可能.

表達(dá)：如同例題所展示的，利用定積分解決問(wèn)題，需要突破兩個(gè)關(guān)口：其一，是變化率函數(shù)，即被積函數(shù)的確定;其二，是變化率與改變量之間由定積分確定的等量關(guān)系.

此問(wèn)題中的變化率是單位時(shí)間內(nèi)由水龍頭中流出的水量，這個(gè)量一般稱(chēng)為水的流量. 易知，流量可由水流的橫截面積與水管內(nèi)水的流速確定，而隨著水龍頭開(kāi)的“大小”改變的是面積. 因此，假設(shè)流速穩(wěn)定，只需求出橫截面積隨時(shí)間變化的函數(shù)即可.

問(wèn)題解決.

① 一般假設(shè).

首先，明確問(wèn)題中談?wù)摰摹八堫^”的工作原理. 假設(shè)我們所考慮的水龍頭是以球閥來(lái)控制水流的，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖3所示.

其次，是水管口徑、水在管內(nèi)的流速這兩個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù). 考慮常見(jiàn)的4分管，管徑按11.5毫米計(jì)算. 流速則與工程計(jì)算的約定相同，按1米 / 秒計(jì)算.

理想化假設(shè)：一方面，令球閥閥芯開(kāi)口的圓面與球心的距離為球體半徑的[22，] 從而當(dāng)閥芯上的開(kāi)口面與閥體上的開(kāi)口面垂直時(shí)，龍頭恰好完全關(guān)閉;另一方面，當(dāng)水龍頭把手轉(zhuǎn)動(dòng)[θ]角時(shí)，水流的截面由一個(gè)弓形和一個(gè)橢圓中的弓形組成，如圖4陰影部分所示.

[O][A][B][圖4]

同時(shí)，我們也假設(shè)管內(nèi)水流速度平穩(wěn)，呈勻速流動(dòng)，且管內(nèi)各處直徑相同，不考慮雜質(zhì)、污垢等造成的影響.

② 面積函數(shù).

由面積射影定理，得所求面積為[r2arccostanπ-2θ4-]

[tanπ-2θ41-tan2π-2θ41+sinθ，r=OA.]

按照以上分析得到的模型固然比較精確，但是并不實(shí)用. 為此，考慮模型中最復(fù)雜的部分：[Sθ=][arccostanπ-2θ4-tanπ-2θ41-tan2π-2θ4，] 其圖象如圖5所示.

不難發(fā)現(xiàn)[Sθ]的圖象與函數(shù)[S=θ]的圖象非常接近，這啟發(fā)我們用[r2θ1+sinθ]來(lái)取代原先的模型. 結(jié)合水龍頭的管徑與出水速度等數(shù)據(jù)，得到簡(jiǎn)化的流量模型：[vθ=10011.522 · θ1+sinθ≈33.06θ1+sinθ]（單位：厘米3 / 秒）.

③ 積分方程.

回到最初的問(wèn)題，設(shè)水杯的容量為500毫升，水龍頭勻速地從完全關(guān)閉到完全打開(kāi)用時(shí)為[T.] 由定積分的定義，可得[02T33.06π2TT-T-t1+sinπ2TT-T-tdt=500.]其意義為：以角速度[π2T]將水龍頭勻速地從完全關(guān)閉狀態(tài)打開(kāi)到最大，再以同樣的速度將水龍頭勻速地關(guān)上，中間不作任何停留，總共經(jīng)過(guò)時(shí)間[2T]后，在這一過(guò)程中從該水龍頭共流出500毫升的水.

考慮被積函數(shù)的圖象（圖6），結(jié)合定積分作為曲邊圖形面積的幾何意義，由函數(shù)[T-T-t]的對(duì)稱(chēng)性知，被積函數(shù)在區(qū)間[0，T]和[T，2T]上的積分相等，故方程可變形為[33.060Tπ2Tt1+sinπ2Ttdt=250.] 再換元[u=πt2T，] 它對(duì)應(yīng)著圖象的伸縮變換（圖7），故同樣由定積分的幾何意義（實(shí)質(zhì)上是簡(jiǎn)單的換元積分法），可得方程化簡(jiǎn)為[33.06 · 2Tπ0π2u1+sinudu=250.] 注意該方程已經(jīng)把原來(lái)關(guān)于[T]的積分方程轉(zhuǎn)化成了代數(shù)方程. 借助計(jì)算器，得定積分[0π2u1+sinudu≈2.233 70，]代入方程解得[T≈5.32]（秒）.

（4）交流與反思.

交流：上述計(jì)算過(guò)程中有兩個(gè)值得探討的問(wèn)題. 首先，為求定積分[02T33.06π2TT-T-t1+sinπ2TT-T-tdt]的值，我們運(yùn)用了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)幫助簡(jiǎn)化算式;而為了求解得到的（積分）方程，又通過(guò)變量替換的方法將[T]從積分號(hào)下“解放”出來(lái). 這一現(xiàn)象在定積分的計(jì)算中是否具有普遍性？

其次，最后的定積分[0π2u1+sinudu]是通過(guò)計(jì)算器的幫助來(lái)求值的，但是其被積函數(shù)是我們熟悉的初等函數(shù)之積. 這樣的積分可以不借助計(jì)算器求解嗎？

反思：在我們對(duì)模型的初步簡(jiǎn)化中選擇[S=θ]來(lái)進(jìn)行近似，更多地依賴(lài)于對(duì)函數(shù)圖象的直觀感知，這是一種不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶幚硎侄? 在數(shù)學(xué)上更加合理的做法是利用最小二乘法來(lái)尋找已知函數(shù)[Sθ]的線性逼近. 可得到[Sθ≈lθ=1.040 49θ-0.054 73.]

為比較這兩個(gè)逼近，在同一坐標(biāo)系中作三個(gè)函數(shù)[S=Sθ，S=θ]和[S=lθ]的圖象，如圖8所示. 容易發(fā)現(xiàn)，三個(gè)圖象在[θ=0]附近的偏差相對(duì)明顯，在[θ=π2]附近則相當(dāng)接近.

分別計(jì)算三個(gè)函數(shù)與[1+sinθ]相乘之后的積分，得[0π2Sθ1+sinθdθ≈2.183 48; 0π2θ1+sinθdθ≈2.233 70;][0π2lθ1+sinθdθ≈2.183 44.] 因而，在積分的意義下，[lθ]給出了更好的逼近. 與此同時(shí)，我們不禁要問(wèn)：最初的觀察[Sθ≈θ]只是一種單純的巧合，還是背后另有道理呢？

為此，考查[Sθ]在[θ=π2]處的泰勒展開(kāi)式，可知[Sθ=π2+θ-π2+124θ-π23+oθ-π24，] 值得注意的是，[Sθ-π2]是關(guān)于[θ-π2]的奇函數(shù). 因此，當(dāng)[θ]與[π2]相差不大時(shí)，用[S=θ]對(duì)[S=Sθ]進(jìn)行逼近既有微分運(yùn)算的支持，也是符合直觀感知的. 但是由于原問(wèn)題關(guān)注的是函數(shù)[S=Sθ]在積分中的行為，因此最小二乘法給出的逼近[S=lθ]更佳.

三、小結(jié)

上述問(wèn)題解決的各個(gè)環(huán)節(jié)中涉及的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)總結(jié)如下表.

此外，積分方程化為代數(shù)方程的變形過(guò)程隱藏了換元積分公式和分部積分公式. 在現(xiàn)階段的知識(shí)基礎(chǔ)上，這些公式的推導(dǎo)可以作為拓展學(xué)習(xí)的內(nèi)容定性地展開(kāi). 同時(shí)，其背后的一般性事實(shí)又能作為激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分熱情的突破點(diǎn).

事實(shí)上，在教學(xué)中將數(shù)學(xué)知識(shí)技能與生活、科學(xué)問(wèn)題相結(jié)合的想法由來(lái)已久，國(guó)內(nèi)外很多同行也已進(jìn)行了許多嘗試. 但是在實(shí)踐過(guò)程中，往往會(huì)遇到各種障礙：學(xué)生對(duì)學(xué)科之間的聯(lián)系認(rèn)識(shí)不足，導(dǎo)致無(wú)法識(shí)別驅(qū)動(dòng)問(wèn)題中潛在的數(shù)學(xué)問(wèn)題;求解問(wèn)題所需的數(shù)學(xué)能力低于學(xué)生當(dāng)前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程的要求，貶低了數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值;數(shù)學(xué)教師難以轉(zhuǎn)換角色，扮演“數(shù)學(xué)的使用者”，凡此種種，不一而足. 筆者認(rèn)為，要解決上述種種矛盾，尋找恰當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)問(wèn)題不失為一個(gè)可行的解決方案. 因此，本文進(jìn)行了一個(gè)初步的嘗試，試圖幫助教師解決“怎么教”的困惑，也為學(xué)生提供更多“為什么而學(xué)”的理由，希望能起到拋磚引玉的作用.

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收稿日期：2020-09-21

作者簡(jiǎn)介：汪?。?984— ），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事單元設(shè)計(jì)研究.