王琦 雷曉莉

摘? 要：奇偶性是繼學生學習單調(diào)性之后的又一重要的函數(shù)性質(zhì). 本節(jié)課類比函數(shù)單調(diào)性的研究過程、研究方法和表達方式，從特殊的偶函數(shù)入手，讓學生通過作圖、觀察函數(shù)圖象，歸納出偶函數(shù)的圖象特征，再將圖象特征用自然語言進行描述，進而轉(zhuǎn)化為符號語言，從而得到偶函數(shù)的定義，然后類比偶函數(shù)對奇函數(shù)進行研究. 通過對定義中的關鍵詞進行再認識，加深對定義的理解. 通過學生舉例和教師追問的方式，幫助學生掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，并體會利用奇偶性可以簡化函數(shù)的研究過程.

關鍵詞：函數(shù);奇偶性;對稱性;數(shù)形結(jié)合

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

函數(shù)的奇偶性.

2. 內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容的本質(zhì).

奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，從“形”的角度，揭示了函數(shù)圖象整體的對稱性;從“數(shù)”的角度，刻畫了自變量與函數(shù)值之間的一種特殊的數(shù)量關系. 函數(shù)的奇偶性對于簡化函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究過程具有事半功倍的作用.

（2）蘊涵的思想和方法.

本節(jié)課的研究過程，體現(xiàn)了從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法. 用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象對稱性的過程，體現(xiàn)了類比的方法和數(shù)形結(jié)合的思想. 函數(shù)的奇偶性在簡化函數(shù)研究方面的應用體現(xiàn)了數(shù)學的求簡意識和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

（3）知識的上下位關系.

函數(shù)的奇偶性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)和應用、解決與對稱相關的問題中有著廣泛的應用.

（4）育人價值.

本節(jié)課對函數(shù)奇偶性的學習從具體函數(shù)到一般函數(shù)，學生在作圖、觀察等操作中經(jīng)歷了歸納、發(fā)現(xiàn)、概括規(guī)律的過程，在從形到數(shù)逐步抽象出數(shù)學概念的過程中感受了數(shù)學的嚴謹、準確，在類比單調(diào)性得到偶函數(shù)的刻畫方法及類比偶函數(shù)的研究過程探究奇函數(shù)定義的過程中體會了數(shù)與形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，這些都有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，能夠有效提升學生的直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為函數(shù)奇偶性概念的探究和理解.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）經(jīng)歷由特殊函數(shù)的作圖、觀察，歸納、抽象出一般結(jié)論，并逐步運用圖形語言、自然語言、符號語言進行表達的過程，理解函數(shù)奇偶性的圖象特征和形式化定義，體會特殊與一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，發(fā)展直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)，提高數(shù)學表達能力.

（2）掌握判斷具體函數(shù)奇偶性的方法.

（3）理解函數(shù)的奇偶性對簡化函數(shù)研究的作用，體會轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法.

2. 目標解析

達成上述目標的標志如下.

（1）學生能通過列表、描點、作圖，發(fā)現(xiàn)偶函數(shù)圖象的共同特征——關于y軸對稱;能通過列表發(fā)現(xiàn)當自變量互為相反數(shù)時函數(shù)值相等的規(guī)律，并用符號語言準確表達;能理解一般函數(shù)的圖象對稱性與相應符號表達之間的等價關系;能類比偶函數(shù)的定義過程得到奇函數(shù)的定義.

（2）能通過圖象或定義判斷函數(shù)的奇偶性，掌握運用定義判斷具體函數(shù)奇偶性的步驟.

（3）對于具體的奇函數(shù)或偶函數(shù)，能根據(jù)其奇偶性將函數(shù)圖象補充完整，并得到函數(shù)的相關性質(zhì).

三、教學問題診斷分析

學生在初中已經(jīng)學習了軸對稱圖形、中心對稱圖形，以及它們的性質(zhì)，對二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的對稱性也非常熟悉. 但學生對對稱性的認識只是幾何角度的描述，對代數(shù)角度的刻畫比較陌生.

通過函數(shù)的概念和表示及單調(diào)性的學習，學生接觸到了[y=x，y=x+1x]等圖象具有對稱性的函數(shù)，為本節(jié)課的學習增加了素材. 此外，通過函數(shù)單調(diào)性的學習，學生經(jīng)歷了由圖象特征到自然語言描述再到符號語言刻畫的過程，具備了用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象上升或下降趨勢的基本活動經(jīng)驗. 但學生對符號語言的理解，尤其是獨立完成圖形語言到符號語言的轉(zhuǎn)化還存在困難.

從學生的思維發(fā)展來看，高一年級學生的思維能力正在由形象經(jīng)驗型向抽象理論型轉(zhuǎn)變，但分析、歸納、抽象的思維能力還比較薄弱. ？

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為函數(shù)奇偶性概念的探究.

四、教學過程設計

1. 回顧研究方法，引入新課主題

問題1：函數(shù)單調(diào)性定義的研究過程是怎樣的？

師生活動：在學生回答的基礎上，教師結(jié)合PPT幫助學生回憶并總結(jié)：以單調(diào)遞增為例，我們通過觀察一些函數(shù)的圖象，歸納出他們在整體或局部上都具有從左至右持續(xù)上升的圖象特征，然后用“函數(shù)值隨自變量增大而增大”的自然語言來描述這樣的圖象特征，進而將自然語言用更為精確的符號語言表達為“當自變量滿足[x1<x2]的關系時，函數(shù)值滿足[fx1<][fx2]的關系”，最后再對研究范圍加以明確，就得到了單調(diào)遞增的定義. 這個過程可以由如圖1所示的框圖表示.

教師點明這是一個從形到數(shù)、從定性到定量的過程，幫助學生提升.

進而，教師提出本節(jié)課將類比函數(shù)單調(diào)性的研究過程、研究方法和表達方式，學習函數(shù)的另一種基本性質(zhì)——奇偶性，從而引入新課.

【設計意圖】用符號語言精確刻畫函數(shù)圖象的對稱性是本節(jié)課的難點，可以通過類比函數(shù)單調(diào)性的符號化過程來突破這個難點. 因此，在新課之前復習單調(diào)性的研究過程和結(jié)論是對后續(xù)突破本節(jié)課教學難點的鋪墊.

問題2：看到奇函數(shù)、偶函數(shù)這樣的名稱，大家能聯(lián)想到什么？

師生活動：看到奇函數(shù)、偶函數(shù)這樣的名稱，學生容易聯(lián)想到奇數(shù)和偶數(shù). 教師由此引出數(shù)學史的介紹：奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念最早是由著名的數(shù)學家歐拉提出的. 歐拉舉出的一類典型的偶函數(shù)是[y=x2n，n∈Z，] 如[y=x2，y=x0，y=x-2]等;一類典型的奇函數(shù)是[y=x2n-1，][n∈Z，] 如[y=x，y=x-1]等.

【設計意圖】在上一環(huán)節(jié)開門見山地引出本節(jié)課的課題后，學生難免會好奇：“奇偶性”這種性質(zhì)為什么用“奇偶”來命名？是不是與奇數(shù)、偶數(shù)有什么聯(lián)系？這里索性把學生感興趣的問題拋出來，再通過對數(shù)學史的介紹，使學生了解到指數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)和偶函數(shù)中典型的一類. 這樣的設計有助于學生認同奇函數(shù)、偶函數(shù)的名稱，也符合數(shù)學史上對函數(shù)奇偶性的認知過程. 此外，后面可以以這兩類特殊的函數(shù)作為奇函數(shù)和偶函數(shù)的代表觀察圖象的特征.

2. 類比單調(diào)性，定義偶函數(shù)

問題3：類比函數(shù)單調(diào)性的定義過程，我們先來觀察幾個偶函數(shù)的圖象，看看偶函數(shù)具有怎樣的圖象特征.

師生活動：學生描述[y=x2]和[y=x0]的圖象. 教師用PPT展示出這兩個函數(shù)的圖象，要注意[y=x0]的圖象不含點[0，1，] 此處應提醒學生研究函數(shù)時首先要關注定義域. [y=x-2]的圖象學生并不熟悉，需要列表描點作圖，進而觀察圖象、歸納共性.

【設計意圖】強調(diào)類比和從特殊到一般的研究方法，使學生進行有目的、有步驟的探究，同時體會這樣的數(shù)學思想和方法，在一次次應用的過程中逐漸提升分析問題和解決問題的能力.

追問1：如何作出[y=x-2]的圖象？

師生活動：學生根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的定義分析出[y=x-2=1/x2，] 并根據(jù)以往的作圖經(jīng)驗回答“列表、描點、作圖”.

追問2：你準備描出哪些點？

師生活動如下.

預設1：學生對自變量[x]取-2，-1，0，1，2這5個值. 此時教師可以詢問其他學生的意見，大家指出這位學生忽略了函數(shù)的定義域，再一次強調(diào)研究函數(shù)要先關注定義域.

預設2：學生對自變量[x]取-3，-2，-1，1，2，3這6個值. 此時教師可以追問學生不取0的原因，根據(jù)學生的回答強調(diào)定義域的重要性.

學生對點的選取沒有其他意見后，在筆記本上進行作圖. 教師提醒學生注意作圖的規(guī)范性，并巡視指導，選擇有代表性的進行展示.

追問3：有些學生描完點后，仍然觀察不出圖象走勢，該怎么辦？

師生活動：學生經(jīng)過思考回答多取一些點. 教師引導學生在判斷不清函數(shù)圖象走勢的區(qū)間多取一些點.

【設計意圖】函數(shù)[y=x-2]的圖象的繪制，不僅是為了觀察歸納偶函數(shù)的圖象特征，也是為了通過列表、描點的過程，使學生更容易發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)值的對應規(guī)律.

追問4：這三個函數(shù)的圖象有什么共同特征？

師生活動：學生觀察發(fā)現(xiàn)這三個函數(shù)的圖象都關于[y]軸對稱. 教師肯定學生的發(fā)現(xiàn)，并板書記錄偶函數(shù)的圖象特征.

【設計意圖】設置問題3的目的是使學生通過作圖、觀察，歸納出偶函數(shù)的圖象特征. 其中，列表描點總結(jié)規(guī)律的過程是學生探索發(fā)現(xiàn)的過程，有助于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

問題4：如何用自變量與函數(shù)值的語言來描述這種圖象特征？（當自變量滿足怎樣的關系時，對應的函數(shù)值又有著怎樣的規(guī)律？）

師生活動：學生通過觀察作圖時列出的表格或函數(shù)圖象，用自然語言歸納出：當自變量互為相反數(shù)時函數(shù)值相等.

【設計意圖】自然語言是圖形語言與符號語言之間的過渡. 此處根據(jù)需要可以引導學生類比單調(diào)性的表達，尋求自變量與函數(shù)值之間的變化規(guī)律.

追問1：你是怎么發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的？

師生活動：大部分學生會回答從列表描點的過程中發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律.

追問2：只有列表列出的這些點滿足這樣的規(guī)律嗎？

師生活動：學生經(jīng)過思考回答所有點都滿足這個規(guī)律.

追問3：什么范圍內(nèi)的所有點？

師生活動：學生思考后回答定義域內(nèi)的所有點. 教師解釋：事實上，“自變量互為相反數(shù)，函數(shù)值相等”說的是點關于y軸對稱，而函數(shù)圖象是點的集合，要描述函數(shù)圖象關于y軸對稱，只要函數(shù)圖象上的所有點都滿足這種對稱性就可以了.

【設計意圖】對自然語言的完善是為下一步將其準確轉(zhuǎn)化為符號語言做準備. 圖形語言與自然語言等價性的說明對學生而言是一個難點，如果強化理論上的證明容易影響本節(jié)課教學重點的突出. 因此，這里選擇較為直觀的方式對此進行簡單解釋.

問題5：你能用符號語言表示這個規(guī)律嗎？

師生活動：學生將自然語言轉(zhuǎn)化為符號語言. 教師幫助學生將符號語言表達得更加簡潔、準確.

【設計意圖】鍛煉學生使用符號語言和數(shù)學表達的能力，發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng). 符號語言是簡潔而準確的，我們用符號語言作為偶函數(shù)的定義.

板書偶函數(shù)的定義：一般地，設函數(shù)[fx]的定義域為[I，] 如果對于[？x∈I，] 都有[-x∈I，] 且[f-x=fx，] 那么函數(shù)[fx]就叫做偶函數(shù).

3. 類比偶函數(shù)，定義奇函數(shù)

問題6：你能類比偶函數(shù)的研究過程、方法和表達方式，給奇函數(shù)下個定義嗎？先獨立思考，有想法后，可以和你周圍的同學進行討論.

師生活動：學生類比偶函數(shù)的定義過程，作出函數(shù)[y=x]和[y=x-1]的圖象，分析圖象特征，轉(zhuǎn)化為自然語言，進而轉(zhuǎn)化為符號語言得到奇函數(shù)的定義.

一般地，設函數(shù)[fx]的定義域為[I，] 如果對于[？x∈I，] 都有[-x∈I，] 且[f-x=-fx，] 那么函數(shù)[fx]就叫做奇函數(shù).

【設計意圖】定義奇函數(shù)完全可以類比定義偶函數(shù)的過程進行，此處讓學生模仿偶函數(shù)定義的探究過程，獨立地去經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律和幾種數(shù)學語言之間的轉(zhuǎn)化過程，并由此建立奇函數(shù)的概念. 在這個過程中，調(diào)動并強化學生的基本活動經(jīng)驗，在實踐中深化學生對類比、由特殊到一般、數(shù)形轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法的理解.

4. 挖掘概念，加深理解

問題7：認真閱讀定義，畫出定義中你認為關鍵的詞.

師生活動：學生畫出關鍵詞，師生共同對關鍵詞進行再認識.

【設計意圖】通過對定義中關鍵詞的再認識，不僅可以進一步加深對定義的理解，也可以練習對符號語言的解讀.

追問1：怎么理解關鍵詞“任意”？在哪兒學過“任意”？能否舉出一個因為不滿足任意性而不是奇函數(shù)的例子？

師生活動：學生回憶起在常用邏輯用語部分學習過“任意”這個全稱量詞，通過全稱量詞命題的否定，發(fā)現(xiàn)判斷一個函數(shù)不是奇函數(shù)的方法. 學生可以利用PPT上還保留著的兩個奇函數(shù)的圖象來構(gòu)造反例. 在上述過程中，教師適度啟發(fā)引導.

追問2：單調(diào)性是在定義域的一個子區(qū)間內(nèi)研究的函數(shù)性質(zhì)，而奇偶性是對“[？x∈I]”具有的規(guī)律，這說明奇偶性是一個怎樣的性質(zhì)？

師生活動：可能會有學生對比單調(diào)性和最值的表述，得到“整體性質(zhì)”的結(jié)論. 如果學生說不出這樣的語言，只要學生理解其中的含義，教師就可以幫助給出“整體性質(zhì)”的表述.

追問3：“[？x∈I，] 都有[-x∈I]”說明什么？定義域關于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的什么條件？

師生活動：學生不難回答出“定義域關于原點對稱”. 但充分必要性的分析對學生來說是一個小難點，需要教師根據(jù)學生的反饋給予引導.

【設計意圖】對“定義域關于原點對稱”這個必要條件的揭示，為總結(jié)利用定義判斷奇偶性的步驟奠定基礎.

問題8：你還能舉出其他的奇函數(shù)或偶函數(shù)嗎？

師生活動：學生舉例，并說明判斷方法. 學生短時間內(nèi)進行舉例，容易選擇從圖象就能觀察出對稱性的熟悉的函數(shù)，如[y=x]和[y=x+1x]等.

【設計意圖】一方面，考查學生對概念的理解，幫助學生認識到除了整數(shù)指數(shù)的冪函數(shù)以外，還有大量其他類型的奇函數(shù)和偶函數(shù);另一方面，希望通過這個問題總結(jié)判斷函數(shù)奇偶性的方法，梳理定義法判斷（證明）奇偶性的步驟.

追問1：你是怎么判斷出這個函數(shù)的奇偶性的？

師生活動：學生短時間內(nèi)進行舉例，容易選擇從圖象就能觀察出對稱性的熟悉的函數(shù).

【設計意圖】得到判斷函數(shù)奇偶性的第一種方法——圖象法.

追問2：對于我們不熟悉圖象的函數(shù)，如函數(shù)[fx=x3+x，] 作圖需要花費很多時間，而且作圖和觀察的過程都會存在誤差. 有沒有其他方法可以準確判斷這個函數(shù)的奇偶性？

師生活動：學生不難想到用定義來進行判斷. 教師引導學生回顧定義，嚴格按照定義判斷函數(shù)[fx]的奇偶性，并梳理定義法判斷（證明）函數(shù)奇偶性的步驟，如圖2所示.

【設計意圖】對學生而言，想到用定義來判斷奇偶性并不困難，但定義中的很多細節(jié)是學生容易忽略的，學生對于需要嚴格滿足條件才能推出結(jié)論這一點的認識還不夠深刻. 依照定義梳理判斷（證明）函數(shù)奇偶性的步驟. 一方面，為今后解決此類問題理清思路;另一方面，再次強化對定義的認識.

問題9：圖3的圖象是函數(shù)[fx=x3+x]的圖象的一部分，你能畫出它在y軸左側(cè)的圖象，并說說函數(shù)的性質(zhì)嗎？

[O][x][y][圖3]

師生活動：學生根據(jù)前面的討論知道[fx=x3+x]為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，可以得到函數(shù)的完整圖象，從而得到函數(shù)[fx=x3+x]的性質(zhì). 教師通過信息技術(shù)用追蹤對稱點的方法演示補充圖象的過程.

【設計意圖】通過具體實例，幫助學生體會函數(shù)的奇偶性對于簡化函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究的作用. 教師通過追蹤對稱點的方法補充函數(shù)圖象，可以幫助學生理解奇函數(shù)圖象上任意一點關于原點的對稱點仍在函數(shù)圖象上.

追問：你能用一個成語來形容奇偶性對研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的作用嗎？

師生活動：學生在教師引導下答出“事半功倍”這個成語. 教師指導學生今后在作函數(shù)圖象前可以優(yōu)先判斷函數(shù)的奇偶性.

【設計意圖】在后續(xù)冪函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)的學習中，都可以利用函數(shù)的奇偶性來簡化研究過程，這里揭示奇偶性的這個價值，是對奇偶性的進一步認識，也是為后續(xù)課程所做的鋪墊.

問題10：一個函數(shù)不是奇函數(shù)，就是偶函數(shù)嗎？

師生活動：學生由前面的討論不難想到還存在非奇非偶函數(shù).

追問1：有沒有既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)呢？

師生活動：學生從形或數(shù)上經(jīng)過分析得出既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)的解析式應為[fx=0.] 教師引導學生關注定義域的要求，發(fā)現(xiàn)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無窮多個，解析式均為[fx=0，] 定義域只要關于原點對稱就可以了.

追問2：你能用Venn圖表示這幾種函數(shù)的關系嗎？

師生活動：師生共同完成圖4.

【設計意圖】此問題從函數(shù)分類的角度使學生進一步認識函數(shù)的奇偶性.

5. 課堂小結(jié)

函數(shù)的奇偶性是集數(shù)和形于一體的數(shù)學概念. 它在幾何上的表現(xiàn)是函數(shù)圖象關于y軸或關于原點對稱的性質(zhì);在代數(shù)上的表現(xiàn)是當自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值相等或互為相反數(shù)的規(guī)律. 幾何表現(xiàn)出的性質(zhì)直觀，代數(shù)表示出的規(guī)律精確，希望大家課下認真體會、合理應用.

最后，借用我國著名數(shù)學家華羅庚的一首詞來結(jié)束我們今天這節(jié)課.

數(shù)與形，

本是相倚依，

焉能分作兩邊飛.

數(shù)缺形時少直覺，

形少數(shù)時難入微.

數(shù)形結(jié)合百般好，

隔裂分家萬事非.

切莫忘，

幾何代數(shù)統(tǒng)一體，

永遠聯(lián)系，

切莫分離！

五、目標檢測設計

1. 已知[fx]是偶函數(shù)，[gx]是奇函數(shù)，試將圖5補充完整.

[O][x][y] [O][x][y][（1）][（2）][圖5]

【設計意圖】考查學生對函數(shù)奇偶性幾何意義的理解和應用.

2. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.

（1）[fx=2x4+3x2;]

（2）[fx=x3-2x;]

（3）[fx=x2+1;]

（4）[fx=xx2+1.]

【設計意圖】考查學生應用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟和方法.

3. 對于定義在[R]上的函數(shù)[fx，] 下列判斷是否正確？

（1）若[fx]是偶函數(shù)，則[f-2=f2;]

（2）若[f-2=f2，] 則函數(shù)[fx]是偶函數(shù);

（3）若[f-2≠f2，] 則函數(shù)[fx]不是偶函數(shù);

（4）若[f-2=f2，] 則函數(shù)[fx]不是奇函數(shù).

【設計意圖】考查學生對函數(shù)奇偶性概念的理解.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

收稿日期：2020-11-02

作者簡介：王琦（1983— ），女，中學一級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究.