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基于學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)的新課教學(xué)

2020-09-10 07:22雷曉莉
關(guān)鍵詞:奇偶性學(xué)習(xí)方法函數(shù)

摘? 要:函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì). 本節(jié)課設(shè)計(jì)了一系列問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng),教學(xué)中體現(xiàn)了研究函數(shù)性質(zhì)的一般思路,從具體到抽象,從特殊到一般,歸納概括,并讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確刻畫(huà)函數(shù)的奇偶性. 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)特殊對(duì)稱(chēng)的代數(shù)表達(dá),掌握了函數(shù)的奇偶性的研究,學(xué)生就可以類(lèi)比函數(shù)奇偶性的研究方法研究函數(shù)的一般對(duì)稱(chēng)的性質(zhì). 因此,本節(jié)課的教學(xué)定位為:學(xué)生在掌握知識(shí)、方法的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法,從學(xué)會(huì)觀察、思考逐步走向?qū)W會(huì)學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞:學(xué)習(xí)方法;函數(shù);奇偶性;新課教學(xué)

為了響應(yīng)黨中央和國(guó)務(wù)院提出的扶貧攻堅(jiān)計(jì)劃和精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召,2020年10月20日,由中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)、福建省教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教學(xué)委員會(huì)主辦的“中央蘇區(qū)、革命老區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)”活動(dòng)在福建省建寧縣舉行,筆者有幸參與此次活動(dòng),收獲頗豐. 在研討會(huì)上,北京市第五中學(xué)的王琦老師開(kāi)展了一節(jié)“奇偶性”現(xiàn)場(chǎng)研究課,這節(jié)課的設(shè)計(jì)理念及教學(xué)實(shí)施過(guò)程,都得到了當(dāng)?shù)亟處熂皩?zhuān)家的充分肯定,也引發(fā)了教師的討論與思考. 針對(duì)“奇偶性”這節(jié)課的設(shè)計(jì)與實(shí)施,筆者談?wù)勛约旱乃伎寂c理解.

函數(shù)是客觀世界中運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的重要模型,函數(shù)模型反映事物的變化規(guī)律,函數(shù)的性質(zhì)就是對(duì)函數(shù)模型所反映的變化規(guī)律的刻畫(huà),研究函數(shù)的性質(zhì)就是為了把握這些變化規(guī)律,進(jìn)而精確地認(rèn)識(shí)函數(shù)模型,解決問(wèn)題. 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的特殊情形,掌握了函數(shù)奇偶性的研究方法,就可以類(lèi)比函數(shù)奇偶性的研究方法研究函數(shù)的一般對(duì)稱(chēng)性. 因此,函數(shù)奇偶性新課教學(xué)的核心不僅是讓學(xué)生掌握用代數(shù)的方法刻畫(huà)函數(shù)關(guān)于[y]軸(原點(diǎn))對(duì)稱(chēng)的代數(shù)表示,更重要的是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的方法與策略,培養(yǎng)學(xué)生的思維水平,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

一、突出研究問(wèn)題的方法

1. 類(lèi)比的研究方法

學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和單調(diào)性,并用集合和邏輯用語(yǔ)表示了函數(shù)的概念與單調(diào)性,經(jīng)歷了研究函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程,積累了研究函數(shù)單調(diào)性的方法,也就是說(shuō)學(xué)生具備了類(lèi)比研究的知識(shí)基礎(chǔ)及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的第二個(gè)性質(zhì),與函數(shù)的單調(diào)性相比,函數(shù)的奇偶性相對(duì)簡(jiǎn)單,兩者的研究方法也基本相同. 因此,本節(jié)課的內(nèi)容完全可以類(lèi)比函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究.

本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)需要在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)提出問(wèn)題,有的教師經(jīng)常這樣提問(wèn):上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的單調(diào)性是什么?這樣的問(wèn)題圍繞知識(shí)本身設(shè)問(wèn),與我們這節(jié)課需要的研究方法和研究策略有很大的距離,不能為這節(jié)課的展開(kāi)提供具體的思路與方法. 我們提出的問(wèn)題應(yīng)該圍繞本節(jié)課的核心,這樣的問(wèn)題才會(huì)有價(jià)值. 因此,在引入環(huán)節(jié),我們這樣設(shè)計(jì)問(wèn)題:我們是如何得到函數(shù)單調(diào)性定義的?學(xué)生將會(huì)從研究的方法和過(guò)程(如畫(huà)出函數(shù)圖象、觀察函數(shù)圖象、歸納函數(shù)圖象特征、用自然語(yǔ)言表示函數(shù)圖象特征、用符號(hào)語(yǔ)言表示函數(shù)圖象特征等)進(jìn)行回顧,這些將為本節(jié)課的類(lèi)比學(xué)習(xí)提供思想方法和具體的研究步驟,有利于新課的學(xué)習(xí).

本節(jié)課除了從函數(shù)的單調(diào)性的研究方法和路徑類(lèi)比研究函數(shù)的奇偶性,還可以在研究偶函數(shù)的概念后,再通過(guò)偶函數(shù)的研究方法類(lèi)比研究奇函數(shù),讓學(xué)生充分經(jīng)歷這樣的研究過(guò)程,積累研究經(jīng)驗(yàn),構(gòu)建研究路徑,使學(xué)生在掌握知識(shí)的過(guò)程中學(xué)習(xí)研究問(wèn)題的方法,從學(xué)會(huì)模仿到學(xué)會(huì)思考,逐步走向?qū)W會(huì)學(xué)習(xí).

2. 從特殊到一般的研究方法

學(xué)生剛從初中升到高中,認(rèn)知水平還有待發(fā)展,對(duì)函數(shù)奇偶性的學(xué)習(xí)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知為起點(diǎn),從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般,也就是先給出具體的實(shí)例,然后尋找這些例子的共性,并把這些共性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái). 但是實(shí)例的選取也是非常有講究的,不是隨便舉幾個(gè)例子就行. 有些教師在講偶函數(shù)時(shí)給出下面的例子:[fx=x2],[fx=2-x],[fx=x4-x2],[gx=2x2+11,] 然后通過(guò)信息技術(shù)畫(huà)出這些函數(shù)的圖象,讓學(xué)生觀察規(guī)律. 由于這些函數(shù)圖象絕大部分都不是學(xué)生熟悉的,容易對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)產(chǎn)生干擾. 實(shí)際上,例子的選取首先應(yīng)該是學(xué)生熟悉的、簡(jiǎn)單的. 例如,偶函數(shù)[y=x2,y=x0,y=x;] 奇函數(shù)[y=x,] [y=x-1.] 也就是要用簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明深刻的道理. 但是這些函數(shù)學(xué)生知道其圖象,不會(huì)再用列表、描點(diǎn)畫(huà)出圖象,這就不容易找到表達(dá)函數(shù)對(duì)稱(chēng)的代數(shù)方法,學(xué)生不易由此歸納偶函數(shù)的概念. 因此,我們根據(jù)教學(xué)的需要,在偶函數(shù)的教學(xué)中讓學(xué)生畫(huà)函數(shù)[y=x-2]的圖象,這個(gè)函數(shù)圖象對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的,教學(xué)中學(xué)生要經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、畫(huà)圖,在這個(gè)過(guò)程中,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)“當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)時(shí),函數(shù)的值相等”這樣的特征,為抽象概括偶函數(shù)的定義做好鋪墊和準(zhǔn)備. 偶函數(shù)教學(xué)時(shí)補(bǔ)充了例子畫(huà)函數(shù)[y=x-2]的圖象,奇函數(shù)還需要補(bǔ)充嗎?其實(shí),在奇函數(shù)的學(xué)習(xí)中,沒(méi)有必要再補(bǔ)充畫(huà)函數(shù)[y=x3]的圖象. 一方面,奇函數(shù)是類(lèi)比偶函數(shù)學(xué)習(xí)的,學(xué)生已經(jīng)積累了代數(shù)刻畫(huà)的方法,沒(méi)有必要再經(jīng)歷一次;另一方面,函數(shù)[y=x3]的圖象學(xué)生將在冪函數(shù)中學(xué)習(xí),若前移至此,會(huì)增加本節(jié)課的難度,對(duì)學(xué)生掌握本節(jié)課的知識(shí)造成干擾.

二、體現(xiàn)研究?jī)?nèi)容的價(jià)值

學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí),若能進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí),也就是能明確知識(shí)的作用與價(jià)值,不僅能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)本身的理解,也會(huì)對(duì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的“整體性質(zhì)”,也就是定義域中任意一個(gè)[x]都滿(mǎn)足的特性. 奇偶性刻畫(huà)的是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,而且是關(guān)于[y]軸(原點(diǎn))的特殊對(duì)稱(chēng),因此利用函數(shù)的奇偶性可以簡(jiǎn)化對(duì)函數(shù)的研究,達(dá)到事半功倍的效果. 教學(xué)時(shí),要用好教材所給的例子,讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)奇偶性的作用與價(jià)值.

(1)判斷函數(shù)[fx=x3+x]的奇偶性.

(2)圖1是函數(shù)[fx=x3+x]的圖象的一部分,你能根據(jù)[fx]的奇偶性畫(huà)出它在[y]軸左邊的圖象嗎?

(3)一般地,如果知道函數(shù)[fx]

為偶(奇)函數(shù),那么我們可以怎樣簡(jiǎn)化對(duì)它的研究?

三、注重語(yǔ)言的學(xué)習(xí)與應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)中提出了“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”,明確指出數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)是重要的課程目標(biāo). 因此,函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)不僅包含對(duì)函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)理解,還要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)和應(yīng)用.

集合語(yǔ)言和邏輯用語(yǔ)的學(xué)習(xí),為用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)提供了工具. 函數(shù)概念的學(xué)習(xí)及函數(shù)概念的符號(hào)表征,也為刻畫(huà)函數(shù)性質(zhì)提供了基礎(chǔ). 在函數(shù)奇偶性的教學(xué)中,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)的圖象特征,然后把函數(shù)的圖象特征先用自然語(yǔ)言表達(dá),再把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言.

例如,在偶函數(shù)的學(xué)習(xí)中,教學(xué)片斷如下.

函數(shù)圖象如圖2 ~ 圖4所示.

圖象特征:函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

自然語(yǔ)言:自變量互為相反數(shù)時(shí),函數(shù)值相等.

符號(hào)語(yǔ)言:一般地,設(shè)函數(shù)[fx]的定義域?yàn)閇I,] 如果[?x∈I,] 都有[-x∈I,] 且[f-x=fx,] 那么函數(shù)[fx]就叫做偶函數(shù).

這里的符號(hào)語(yǔ)言是表達(dá)的關(guān)鍵,涉及集合語(yǔ)言,如“定義域?yàn)閇I]”“[x∈I]”等. 表達(dá)中的邏輯用語(yǔ)符號(hào)“[?]”,是這個(gè)概念的重點(diǎn),也是難點(diǎn)之一. 這個(gè)命題的否定還從邏輯角度給出了判斷函數(shù)不是偶函數(shù)的方法.

再如,在研究函數(shù)的分類(lèi)時(shí),函數(shù)可以分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù),這些函數(shù)的關(guān)系是什么?如何清楚地表達(dá)他們之間的關(guān)系?教師可以引導(dǎo)學(xué)生用Venn圖(圖5)來(lái)表示,讓學(xué)生感受集合符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的直觀、清晰、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔,體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的美,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

邏輯用語(yǔ)和集合語(yǔ)言在數(shù)學(xué)表達(dá)上有很多優(yōu)勢(shì),但學(xué)生剛剛開(kāi)始學(xué)習(xí)邏輯用語(yǔ)和集合語(yǔ)言,對(duì)其理解還不是很深刻,應(yīng)用還不是很熟練. 因此,語(yǔ)言的學(xué)習(xí)與使用也是本節(jié)課教學(xué)的重要內(nèi)容,這一點(diǎn)在教學(xué)中容易被忽視.

四、注重思維水平的培養(yǎng)

對(duì)學(xué)生思維水平的培養(yǎng)是教學(xué)的重要目標(biāo),也是落實(shí)核心素養(yǎng)的具體措施. 在教學(xué)中,我們應(yīng)該抓住一些關(guān)鍵環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的思維水平進(jìn)行培養(yǎng).

函數(shù)的奇偶性這節(jié)課,有多個(gè)環(huán)節(jié)可以進(jìn)行設(shè)計(jì),以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 例如,在函數(shù)奇偶性概念形成后,需要對(duì)概念進(jìn)行鞏固,有些教師會(huì)給出如[fx=x4,fx=x5,fx=x+1x,fx=1x2]等函數(shù),讓學(xué)生判斷函數(shù)的奇偶性,由于這些函數(shù)的圖象學(xué)生都不熟悉,需要利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷,判斷的過(guò)程能有效地落實(shí)函數(shù)奇偶性的概念. 但這樣的設(shè)計(jì)就一定完美嗎?有沒(méi)有更好的設(shè)計(jì)?對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,我們?cè)O(shè)計(jì)成開(kāi)放性問(wèn)題“你還能舉出哪些奇函數(shù)或偶函數(shù)?”讓學(xué)生自行舉例. 當(dāng)然,舉例后也需要通過(guò)定義判斷函數(shù)的奇偶性. 學(xué)生在舉例時(shí),既要考慮函數(shù)的表達(dá)形式,又要考慮函數(shù)奇偶性的判斷方法,這種開(kāi)放性的設(shè)計(jì)不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維,而且對(duì)學(xué)生思維水平的要求更高,因此這種設(shè)計(jì)更有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 再如,讓學(xué)生歸納概括通過(guò)定義法判斷(證明)函數(shù)奇偶性的步驟,有的教師從文字語(yǔ)言的角度進(jìn)行概括,總結(jié)出三個(gè)步驟,我們?cè)谶@個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中,不僅從文字語(yǔ)言的角度讓學(xué)生概括,還引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出判斷函數(shù)奇偶性的程序框圖,如圖6所示.

程序框圖直觀,判斷的邏輯又很明確. 有教師可能會(huì)說(shuō),程序框圖在《標(biāo)準(zhǔn)》中已經(jīng)不作要求,學(xué)生也不再進(jìn)行程序框圖的學(xué)習(xí),這樣會(huì)不會(huì)增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)?其實(shí)不然,程序框圖是一種數(shù)學(xué)的表達(dá),在平時(shí)生活、學(xué)習(xí)中我們也在不斷地使用,若平時(shí)能滲透在課堂教學(xué)中,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá),以及思維的有序性、邏輯性都非常有好處.

總之,教學(xué)需要用心設(shè)計(jì),過(guò)程需要教師和學(xué)生用心交流,不斷指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力,以及邏輯思維能力,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的教育目標(biāo).

參考文獻(xiàn):

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M]. 北京:人民教育出版社,2018.

收稿日期:2020-11-02

作者簡(jiǎn)介:雷曉莉(1973— ),女,中學(xué)高級(jí)教師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、評(píng)價(jià)及教師培訓(xùn)研究.

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