摘 要：2019年理科全國卷試題形式變化很大，在此情形下，如何進(jìn)行新一輪復(fù)習(xí)備考是大家都關(guān)心的問題.本文通過對(duì)全國卷試題解題分析，提煉其“新”、“舊”變化，并在此基礎(chǔ)上提出復(fù)習(xí)備考建議.

關(guān)鍵詞：壓軸題;解題分析;復(fù)習(xí)備考

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0026-05

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：李偉，特級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

縱觀2019年全國高考數(shù)學(xué)理科試卷，其最大變化一是概率統(tǒng)計(jì)題、或解析幾何題出在21題位置.二是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題出在20題位置.由此自然產(chǎn)生一些聯(lián)想，這種變化對(duì)高三復(fù)習(xí)將帶來怎樣的變化？下面來分析探討這個(gè)問題.

一、關(guān)于壓軸20題位置的導(dǎo)數(shù)問題分析與備考建議 ?全國一卷20題 已知函數(shù)f（x）=sinx-ln（1+x），f ′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：

（1）f ′（x）在區(qū)間（-1，π2）存在唯一極大值點(diǎn);

（2）f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

解題分析（1）證明f ′（x）在區(qū)間（-1，π2）存在唯一極大值點(diǎn)的基本通法為：一是f ′（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（-1，π2）存在零點(diǎn)x0.二是f ′（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（-1，x0）為增函數(shù)，在區(qū)間（x0，π2）為減函數(shù).

（2）證明f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，從“形”的層面思考是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有且只有2個(gè)交點(diǎn).轉(zhuǎn)化為從“數(shù)”的層面思考是借助函數(shù)極值點(diǎn)、單調(diào)性的整合來實(shí)現(xiàn)上述“形”的意義，向“數(shù)”的意義轉(zhuǎn)化.

備考反思 對(duì)于問題（1），解題基本想法仍是通性通法.但有兩個(gè)地方值得反思，一是判斷g′（x）在區(qū)間（-1，π2）上是減函數(shù)所用的方法既不是用求導(dǎo)判斷，也不是用單調(diào)函數(shù)定義判斷， 而是借助y=-sinx，y=1（1+x）2是減函數(shù)，則其和也為減函數(shù)來判斷的.二是判斷g′（x）的零點(diǎn)是在（-1，π2）的部分子區(qū)間上通過連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理完成的，而不是通過解方程的途徑解決的.這些都是平時(shí)備考訓(xùn)練時(shí)容易忽略的.

從問題（2）解題過程看，與以前導(dǎo)數(shù)壓軸21題比較，變化的：一是減輕了構(gòu)造函數(shù)的難度.二是減輕處理不等式放縮的技巧.不變的：一是數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想要求并沒有減輕.二是反復(fù)從函數(shù)單調(diào)性概念及性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等多角度考察函數(shù)單調(diào)性仍是高考重點(diǎn).三是借助問題（1）來解決問題（2）的承接關(guān)系沒有變.

全國二卷 20題 已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1x-1.

（1）討論f（x）的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);

（2）設(shè)x0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)Ax0，lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線.

解題分析 對(duì)于問題（1）討論f（x）的單調(diào)性，通過解導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的不等式、增（減）函數(shù)的概念和增（減）等單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)仍然是討論函數(shù)單調(diào)性這類問題的基本思路.

對(duì)于證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，從“形”的層面思考是函數(shù)圖象與x軸（或者構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)的圖象）有兩個(gè)交點(diǎn)（從函數(shù)圖象看，結(jié)果是很顯然的）.從“數(shù)”的層面講零點(diǎn)存在定理、函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)的整合都是處理這類問題的通性通法，只要注意因題而異、靈活使用即可.

對(duì)于問題（2）而言，解決問題的想法很直接，證明曲線y=lnx在點(diǎn)Ax0，lnx0處的切線方程也是曲線y=ex在某點(diǎn)處的切線方程就可以了，余下的就是求切線方程問題了.

略解 （1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)?，1∪1，+∞，函數(shù)y=lnx，y=-x+1x-1=-1-2x-1在0，1，1，+∞分別是增函數(shù).所以函數(shù)f（x）在0，1，1，+∞分別是增函數(shù).

（2）由已知x0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)得：lnx0=x0+1x0-1.曲線y=lnx在點(diǎn)Ax0，lnx0處的切線方程為y-lnx0=1x0x-x0，即y=1x0x+2x0-1.

同理曲線y=ex在點(diǎn)x1，ex1處的切線方程為y=ex1x+ex1-x1ex1.

所以曲線y=lnx在點(diǎn)Ax0，lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線.

備考反思 問題（1）的難度從解法看，難度與以前相比有所下降，但考查的內(nèi)容沒有變化，方法選擇更加靈活，就上述給出的解題方法，簡便易懂，不需要復(fù)雜求導(dǎo)運(yùn)算.所以備考要注意一題多解和寬泛的通性通法的積累與運(yùn)用，不拘泥與某種特定方法進(jìn)行訓(xùn)練.

問題（2）的難度與以前的要求也降低了，但對(duì)切線概念的理解，切線公式的運(yùn)用要求在加深.所以，盡管此處圍繞切線方程涉及的知識(shí)點(diǎn)沒有什么新意，但公切線是平時(shí)備考很少訓(xùn)練的，所以備考要注意挖掘概念、公式深層次的理解和寬泛的應(yīng)用.

全國三卷 20題 已知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間0，1的最小值-1為且最大值為1？若存在求出a，b的所有值;若不存在，說明理由.

解題分析 （1）用求導(dǎo)，再解導(dǎo)函數(shù)解不等式，即可解決討論f（x）的單調(diào)性.

（2）從直觀看，已知最大、小值，所以可以利用求最值的方法列出兩個(gè)方程式，從解方程組角度思考，a，b的值是可求出的.

備考反思

問題（1）的求解過程是求導(dǎo)，解導(dǎo)函數(shù)不等式，討論a與0的大小.這些都是導(dǎo)數(shù)部分復(fù)習(xí)備考的通性通法，沒有難度，解題思維含量比較低.

問題（2）通過求函數(shù)最值列不等式組，求解a，b的值.這些也都是通性通法，沒有難度.就本題涉及的分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想也是平時(shí)備考中重點(diǎn)訓(xùn)練的.

二、關(guān)于壓軸21題位置的概率統(tǒng)計(jì)問題分析與備考建議 ?全國一卷 21題 為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道那種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥，一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分，甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

（1）求X的分布列;

（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi（i=0，1，2，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1i=1，2，…，7，其中a=PX=-1，b=PX=0，c=PX=1.假設(shè)α=0.5，β=0.8.

①證明：pi+1-pii=0，1，2，…，7為等比數(shù)列;

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解題分析 問題（1）求X的分布列，先確定X的取值，再計(jì)算出每個(gè)X的取值對(duì)應(yīng)概率，列出分布列表即完成.此為求解分布列問題的常規(guī)解題步驟.

問題（2）①是證明：pi+1-pii=0，1，2，…，7為等比數(shù)列;從通性通法角度講，就是用等比數(shù)列的定義，解題關(guān)鍵是由已知條件出發(fā)推出pi+1-pi=q（pi-pi-1）的形式即可.

問題（2）②一是求p4，二是根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

注意到（2）①與（2）②的承接關(guān)系，自然想到運(yùn)用數(shù)列累加法和等比數(shù)列求和公式即可求出p4.

對(duì)于根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性，首先注意到合理性判斷的依據(jù)的確定，條件中甲、乙兩種藥的治愈率分別為α=0.5和β=0.8，此數(shù)據(jù)已經(jīng)給出判斷標(biāo)準(zhǔn)是乙種藥治愈效果好于甲種藥是合理的，否則是不合理的.其次用數(shù)列累加、等比數(shù)列求和的方法求出p4=1257≈0.0039，說明甲藥比乙藥效果好是小概率事件.再次是用小概率事件否定甲藥效果比乙藥效果好，到此取得與已知判斷依據(jù)相一致的結(jié)論，得出結(jié)論是“此種試驗(yàn)是合理的”，否則是不合理的.

所以，p4=p1（44-13）=1257.由條件知p4的意義是表示“甲藥的累計(jì)得分為4時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，在已知甲種藥的治愈率為α=0.5，乙種藥的治愈率為β=0.8的條件下，說明甲藥比乙藥更有效是小概率事件（1257≈0.0039），此結(jié)果與已知基本相一致，所以此試驗(yàn)方案合理.

備考反思 問題（1）是求分布列，其解法屬于通性通法，不需要對(duì)概念的深刻理解.

對(duì)于問題（2）來說，難度比較大.難度之一是利用小概率事件對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定（肯定）.學(xué)生對(duì)邏輯上的否定（肯定）是比較熟練的;用相關(guān)性、獨(dú)立性檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)知識(shí)否定（肯定）也可以，因?yàn)榻滩纳嫌幸欢康慕榻B;用小概率事件來否定（肯定）某個(gè)結(jié)論（做法）學(xué)生就不太容易把握.主要原因是獨(dú)立性檢驗(yàn)雖然是建立在小概率事件上的兩個(gè)事件獨(dú)立與否的判斷，但在教學(xué)中其理論部分要求較低，重點(diǎn)突出運(yùn)用，導(dǎo)致其理論基礎(chǔ)不牢.所以建議復(fù)習(xí)備考還是要深挖知識(shí)形成過程，重結(jié)論運(yùn)用、輕基礎(chǔ)理論建構(gòu)、輕知識(shí)形成過程等做法是不可取的.難度之二是概率與數(shù)列的綜合，盡管所用數(shù)列知識(shí)和解題方法，也是通性通法，沒有特殊、高超的技巧要求，但平時(shí)缺乏這些知識(shí)點(diǎn)交匯使用的訓(xùn)練，導(dǎo)致運(yùn)用生疏.所以，備考中在堅(jiān)持夯實(shí)單元知識(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，變換不同知識(shí)點(diǎn)之間的交匯訓(xùn)練還是應(yīng)該堅(jiān)持的（如：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、概率、統(tǒng)計(jì)等主干知識(shí)之間的交匯）.難度之三是概率統(tǒng)計(jì)類題目閱讀量大，對(duì)語文學(xué)科閱讀能力要求很高，所以，數(shù)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力，通過閱讀訓(xùn)練提升學(xué)生提取數(shù)學(xué)信息、選擇解決問題的數(shù)學(xué)工具顯得十分重要，對(duì)此在復(fù)習(xí)備考中要保持一定的耐心.

三、關(guān)于處于21題位置的解析幾何問題分析與備考建議 ?全國二卷 21題 已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-12，記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線;

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點(diǎn)G.

①證明：△PQG是直角三角形;

②求△PQG面積的最大值.

解題分析 問題（1）比較顯然.

對(duì)于問題（2）①證明△PQG是直角三角形，解析幾何中的通性通法是斜率之積為-1，本題雖然運(yùn)用“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”，但，其中最大亮點(diǎn)是為簡化運(yùn)算采取的化簡代換，此舉不僅簡化運(yùn)算，還極大提高解題效率.

對(duì)于問題（2）②求△PQG面積，采取基本公式求解即可，沒有技巧.求其最大值處亮點(diǎn)同樣是為簡化運(yùn)算采取的化簡代換，至于用導(dǎo)數(shù)、還是均值不等式求最值都是通性通法要求.

略解 由已知得yx+2·yx-2=-12，化簡x24+y22=1（|x|≠2）.所以曲線C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn).

又由已知t>0，因此t≥2（k=1時(shí)取等號(hào)）.求導(dǎo)知S=8t1+2t2在2，+∞是減函數(shù)，所以當(dāng)t=2（k=1）時(shí)，S取最大值169.

備考反思 為達(dá)到化簡運(yùn)算的目的進(jìn)行代換法是解決復(fù)雜運(yùn)算的一個(gè)有效的做法，建議在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)該給予重視.通性通法中的“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”、“討論直線斜率存在性”等仍然是復(fù)習(xí)備考重點(diǎn).另外，高考不給圖形，顯然是要求學(xué)生根據(jù)題意自己畫圖.所以，規(guī)范的、體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的畫圖要求在備考中是要強(qiáng)調(diào)的.

全國三卷 21題 已知曲線C：y=x22，D為直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn);

（2）若以E（0，52）為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.

解題分析 （1）直線過定點(diǎn)的基本想法是：點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k（x-x0）方程中斜率為變量時(shí)，該直線過定點(diǎn)（x0，y0）.也可以從y=kx+b入手，尋求k，b的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式研究定點(diǎn).

（2）借助圓的切線性質(zhì)，求出直線方程，將四邊形ADBE的面積分解為兩個(gè)三角形面積的和，借助點(diǎn)到直線距離求高，兩點(diǎn)間距離求底邊長，即可完成四邊形面積求解.

略解 （1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，-12）. 則kAD=x1，kBD=x2，y1=x212，y2=x222;所以直線AD方程：y-y1=x1（x-x1），兩邊乘x2得：x2y-x2y1=x1x2（x-x1）.

由韋達(dá)定理得：x1+x2=2k，x1x2=-1，所以AB中點(diǎn)（k，k2+12）.由圓的切線垂直性質(zhì)得：kk2+12-52k-0=-1，解之k=±1.

當(dāng)k=1時(shí)，直線AB方程為：y=x+12，可解得|AB|=4，D（1，-12）.此時(shí)E到直線AB距離為2;D到直線AB距離為2.所以，四邊形面積為42.由對(duì)稱性知k=-1時(shí)，亦然.

當(dāng)k=0時(shí)，直線AB方程為：y=12.此時(shí)四邊形面積為3.

備考反思 在解問題（1）時(shí)，“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”仍是考查重點(diǎn).如果講新意就是借助求導(dǎo)來求斜率.綜合上述，本題雖然作為壓軸21題，考查通性通法仍然是重點(diǎn).

對(duì)于問題（2），考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，但缺乏考查深度，所涉及的解題方法和技巧也是復(fù)習(xí)備考中的通性通法，沒有新意.

所以解析幾何的復(fù)習(xí)備考還是要強(qiáng)調(diào)通性通法，強(qiáng)調(diào)知識(shí)落實(shí);解題時(shí)強(qiáng)調(diào)相關(guān)小題中的傳承遞進(jìn)關(guān)系.

通過上述壓軸題的剖析，概括而言，“新”體現(xiàn)在：一是知識(shí)點(diǎn)交匯比較新，如：概率與數(shù)列的整合.二是變換考查解題技巧，如：代換法.三是變換題目位置的設(shè)置，如：21題的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)為20題等.“舊”體現(xiàn)在：一是仍然是考查通性通法.二是“新”只體現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)的并列，而不是融合;代換法也是“六大核心素養(yǎng)中的要求內(nèi)容”.所以，在今后復(fù)習(xí)備考中，抓通性通法、抓知識(shí)基礎(chǔ)、抓知識(shí)的可能交匯、抓學(xué)生的解題自信，以此培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題能力和意志品質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是復(fù)習(xí)備考的主題.

參考文獻(xiàn)：

[1]李偉.“設(shè)而不求”縱橫談——對(duì)高中數(shù)學(xué)中“設(shè)而不求”解題思想探究和感悟[J].數(shù)理化解題研究，2019（07）：17-19.

[責(zé)任編輯：李 璟]