摘 要：離心率問題是高考中考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，解答離心率問題的過程對學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有積極的作用.但學(xué)生對這一部分問題往往感覺無從下手，理不出頭緒.在大量高考題、模擬題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，筆者把離心率問題涉及的知識(shí)點(diǎn)及解決策略進(jìn)行了分類，抽象出七大模型.學(xué)生心中有了模型，解決這類問題也就變得有章可循.

關(guān)鍵詞：橢圓離心率;雙曲線離心率;關(guān)于a，b，c的方程

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0012-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：李化周（1981.2-），男，山東省沂水人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

新的課程改革強(qiáng)調(diào)將提升學(xué)生核心素養(yǎng)作為根本目標(biāo).圓錐曲線這部分，包含了直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線.通過尋找圖形與圖形的關(guān)系，從圖形中抽象出數(shù)量關(guān)系，總結(jié)規(guī)律，體驗(yàn)直觀想象的過程.或?qū)⑸钪械臄?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，借助圖形使問題得到解決.在這個(gè)過程中，可以很好地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與直觀想象能力.此外，橢圓、雙曲線的離心率是高考的核心考點(diǎn)，出現(xiàn)的頻率非常高.離心率問題以中檔題為主，它可以與很多知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，有很多載體，如三角函數(shù)、數(shù)列、方程等都可以與離心率結(jié)合.離心率問題有時(shí)靈活性較強(qiáng)，不容易入題;有時(shí)運(yùn)算量大，學(xué)生不容易得出正確結(jié)論;有時(shí)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相互交融，學(xué)生理不出頭緒.通過對離心率問題的深入研究，筆者歸納整理了離心率的基本知識(shí)，常見的類型及一般的解決策略.讓離心率問題有章可循.

一、直接法求離心率

例1 橢圓x29+y24=1的離心率是（ ?）.

A.133 ?B.53 ?C.23 ?D.59

分析 由方程可得，a=3，c2=a2-b2=9-4=5，所以c=5，所以，離心率e=ca=53，選B. ?二、利用橢圓、雙曲線定義求離心率

例2 已知F1、F2是雙曲線E：x2a2-y24=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線E上，PF1與x軸垂直，sin∠PF2F1=13，則雙曲線E的離心率為（ ?）.

A.2 ?B.32 ?C.3 ?D.2

分析 Rt△PF1F2中，因?yàn)閟in∠PF2F1=13，設(shè)|PF1|=m，則|PF2|=3m，2c=|F1F2|=22m.根據(jù)雙曲線定義得，2a=2m.故離心率e=2c2a=22m2m=2，選A.

三、利用比例關(guān)系求離心率

例3 若雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F分別為5∶3兩段，則此雙曲線的離心率為

.

分析 由題意得F（b2，0），c+b2c-b2=53，故c=2b，所以a=3b，故e=ca=2b3b=233.

四、利用三角知識(shí)求離心率

例4 已知橢圓x2a2-y24=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），若橢圓上存在點(diǎn)P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ?）.

A.（0，2-1） B.（22，1） C.（0，22） D.（2-1，1）

分析 根據(jù)正弦定理，|PF2|sin∠PF1F2=|PF1|sin∠PF2F1，故|PF1||PF2|=ca，所以，|PF1|=ca|PF2|.根據(jù)橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，所以，|PF2|=2a2a+c.因?yàn)辄c(diǎn)P不在長軸上，故a-c<|PF2|0.兩邊同除以a2得，e2+2e-1>0，解得e<-1-2或e>2-1.因?yàn)? ? ? ? 五、利用圖形幾何性質(zhì)求離心率

例5 過雙曲線x2a2-y2b2=1（b>a>0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為E，延長PE交拋物線y2=4cx于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OE=12（OF+OP），則雙曲線的離心率為（ ?）.

A.3+32 ?B.1+32 ?C.52 ?D.1+52

分析 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與雙曲線右焦點(diǎn)重合為F2（c，0）.因?yàn)镺E=12（OF+OP），所以E是FP的中點(diǎn).因?yàn)镺是FF2中點(diǎn)，故OE∥PF2，PF2=2OE=2a.又E是切點(diǎn)，所以O(shè)E⊥FP，故PF2⊥FP，PE=OF2-OE2=c2-a2=b，故PF=2b.因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，故MP=2a.Rt△PFM中，MF=PF2-MP2=2b2-a2.Rt△PFF2中，S△PFF2=12×2c×2b2-a2=12×2a×2b，所以c2（b2-a2）=a2b2，即c2（c2-2a2）=a2（c2-a2）.

整理得c4-3a2c2+a4=0，即e4-3e2+1=0，

解得e2=3+52，所以e=1+52，選D.

在離心率問題的解決過程中，學(xué)生經(jīng)歷著圖形、向量、三角函數(shù)、直線等與離心率之間的聯(lián)系與融合，由形到數(shù)，由數(shù)到形，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育有積極有效的作用.離心率問題雖涉及的情境各不相同，出現(xiàn)的形式異彩紛呈，感覺亂花漸欲迷人眼，其實(shí)是花不醉人人自醉.只要我們將遇到的問題模型化，歸納總結(jié)其特征及其解決的思路，針對具體問題擦亮眼睛，靜下心來，將題中的條件想辦法轉(zhuǎn)化為圓錐曲線中a，b，c的關(guān)系，離心率問題即可迎刃而解.

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[責(zé)任編輯：李 璟]