摘 要：本文主要研究二次型遞推數(shù)列不等式的放縮方法和技巧，探求高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列壓軸題的解題規(guī)律.

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列不等式;迭加放縮;迭乘放縮;迭式放縮;范圍的估計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0009-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：黎平（1975.10-），男，浙江省桐廬人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育學(xué).

遞推數(shù)列和不等式相結(jié)合的問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)題型，2015-2017浙江高考數(shù)學(xué)試卷的壓軸解答題都是這類(lèi)問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是巧妙地進(jìn)行不等式的放縮.實(shí)際上，遞推數(shù)列不等式的放縮有自身的特定方法和技巧，這樣的方法技巧與迭加公式和迭乘公式有密切的關(guān)系.

一、迭加公式和迭乘公式與遞推數(shù)列不等式

迭加公式 an-a1=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1，

迭乘公式 ana1=anan-1·an-1an-2·…·a2a1.

遞推數(shù)列中由遞推關(guān)系出發(fā)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃慰傻?/p>

迭加型：an-an-1≤f（n），

迭乘型：anan-1≤g（n）.

這兩類(lèi)最基本的遞推關(guān)系，對(duì)于迭加型遞推關(guān)系可結(jié)合迭加公式進(jìn)行放縮

an-a1=∑nk=2（ak-ak-1）≤∑nk=2f（k），

這種放縮方法稱(chēng)為迭加放縮.

對(duì)于迭乘型遞推關(guān)系可結(jié)合迭乘公式進(jìn)行放縮

ana1=anan-1·an-1an-2·…·a2a1≤g（n）·g（n-1）·…·g（2），

這種放縮方法稱(chēng)為迭乘放縮.

迭加放縮和迭乘放縮是遞推數(shù)列不等式中兩種最重要的放縮方法，這兩種放縮方法可統(tǒng)稱(chēng)”迭式放縮”.

二、二次型遞推數(shù)列不等式與迭式放縮

在遞推數(shù)列中，二次型遞推數(shù)列an+1=pan2+qan+r有重要的地位，對(duì)于二次型遞推數(shù)列不等式，我們應(yīng)運(yùn)用恒等變形和構(gòu)造新數(shù)列的方法，并結(jié)合范圍的估計(jì)使之轉(zhuǎn)化為迭加型an-an-1≤f（n）或迭乘型anan-1≤g（n），從而實(shí)現(xiàn)迭加放縮或迭乘放縮.

1.二次型遞推數(shù)列與迭加放縮

其中對(duì)式子pan2+ranan+1要進(jìn)行范圍的估計(jì)， 從而得到1an-qan+1≤t（或≥t），進(jìn)一步可化為qnan-qn+1an+1≤t·qn（或≥t·qn），此為迭加放縮.也可將1an-qan+1≤t（或≥t）化為1an-k≤q（1an+1-k），此為迭乘放縮.

例1 （ 2015浙江高考22題第二小題）已知數(shù)列an滿足a1=12，且an+1=an-an2n∈N*，設(shè)數(shù)列 an2 的前n項(xiàng)和為Sn，證明12（n+2）≤Snn≤12（n+1）n∈N* .

分析 遞推公式an+1=an-an2可化為1an+1-1an=anan+1，對(duì)其中右式要進(jìn)行范圍的估計(jì)，而anan+1=anan-an2=11-an，所以又要先估計(jì)an的范圍.

2.二次型遞推數(shù)列與迭乘放縮

利用不動(dòng)點(diǎn)，an+1=pa2n+qan+r型遞推數(shù)列也可化為

an+1=pa2n+qan+r

an+1+m=p（an+m）（ak+k）

an+1+man+m=ak+k.

其中對(duì)式子an+k要進(jìn)行范圍的估計(jì)，此為迭乘放縮.

例2 已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=a2n+5an+4，求證∑nk=11ak+3>13-19n-1+2.

分析 遞推公式an+1=a2n+5an+4可化為an+1+2=a2n+5an+6=（an+2）（an+3），所以1an+3=1an+2-1an+1+2，不等式左邊∑nk=11ak+3即可用裂項(xiàng)相消法求和.而由an+1+2=（an+2）（an+3）又可得an+1+2an+2=an+3，所以可結(jié)合范圍的估計(jì)將之化為迭乘型，再用迭乘放縮證明不等式.

證明 由an+1=a2n+5an+4可得an+1+2=a2n+5an+6=（an+2）（an+3），所以1an+1+2=1（an+2）（an+3）=1an+2-1an+3，即1an+3=1an+2-1an+1+2.

所以

從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)迭式放縮在證明二次型遞推數(shù)列不等式時(shí)起到關(guān)鍵作用，而要順利地實(shí)現(xiàn)迭式放縮，必須對(duì)二次遞推公式進(jìn)行靈活的恒等變形和恰當(dāng)?shù)姆秶烙?jì).另外1an-qan+1≤t（或≥t）這一類(lèi)遞推關(guān)系在遞推數(shù)列不等式問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，它與迭加放縮和迭乘放縮都有關(guān)聯(lián)，在證明遞推數(shù)列不等式時(shí)，我們一個(gè)主要的考慮方向就是將條件化為1an-qan+1≤t（或≥t），再進(jìn)行迭加放縮或迭乘放縮.

參考文獻(xiàn)：

[1]馮志剛.數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法（第二版）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2012：37-47.

[2]單墫.數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究教程（上）[M].上海：上海教育出版社，2019：202-209.

[責(zé)任編輯：李 璟]