廣東省湛江一中培才學校(524037) 魏 欣

離心率是圓錐曲線的重要幾何性質,在圓錐曲線中占有重要地位.而求圓錐曲線離心率的取值范圍問題在各級各類試題中屢見不鮮,不僅考查了圓錐曲線的定義、標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基本知識,還常與不等式、向量、平面幾何等內容交匯在一起,考查了學生分析問題與解決問題的能力.破解圓錐曲線離心率范圍問題的關鍵是找到含有a,b,c的不等式,進而找到解決問題的突破口.本文對圓錐曲線離心率的取值范圍問題進行探討,陳述并證明其若干性質,并通過例題加以說明,以便掌握解題的規(guī)律.

性質1若橢圓的兩個焦點為F1,F2,M為其上一點,且|MF1|=λ|MF2|(λ＞1),則該橢圓的離心率e的取值范圍為

圖1

證明如圖1,由橢圓的第一定義,得|MF1|+|MF2|=2a,由

因為λ＞1,由三角形的性質有:|MF1|-|MF2|≤|F1F2|,即又e＜1,解得:所以雙曲線的離心率e的取值范圍為

例1(2019年福建廈門高考調研) 已知橢圓的(a＞b＞0) 兩個焦點為F1,F2,M為其上一點,且|MF1|=3|MF2|,則該橢圓的離心率e的取值范圍為____.

解析由性質1 易知,λ=3,所以橢圓的離心率e的取值范圍為

性質2若雙曲線的兩個焦點為F1,F2,P為其上一點,且|PF1|=λ|PF2|(λ＞1),則該雙曲線的離心率e的取值范圍為

圖2

證明因為

所以點P在雙曲線的右支上,如圖2所示,由雙曲線的第一定義,得

例2(2019年安徽二模) 已知雙曲線的=1 (a＞0,b＞0) 兩個焦點為F1,F2,P為其上一點,且|PF1|=2|PF2|,則該雙曲線的離心率e的取值范圍為( ).

A.(1,3) B.(1,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞)

解析由性質2 易知,λ=3,所以雙曲線的離心率e的取值范圍為故選B.

性質3若橢圓的兩個焦點為F1,F2,M為其上一點,且∠F1MF2=θ,則該橢圓的離心率e的取值范圍為

證明在ΔF1MF2中,由余弦定理得

由橢圓的第一定義,得

又因為

由以上①②③,得

例3(2019年江蘇南通二模)已知橢圓的=1(a＞b＞0) 兩個焦點為F1,F2,M為其上一點,且∠F1MF2=120°,則該橢圓的離心率e的取值范圍為________.

解析由性質3 易知,所以橢圓的離心率e的取值范圍為

性質4若雙曲線的=1(a＞0,b＞0)的右焦點為F,過點F且斜率為k(k＞0)的直線與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上,則雙曲線的離心率e的取值范圍為

證明因為過點F且斜率為k(k＞0) 的直線與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上,所以雙曲線的漸近線y=的斜率不小于過點F的直線的斜率,即所以

例4(2019年湖北武漢高考調研) 已知雙曲線的=1(a＞0,b＞0) 的右焦點為F,過點F且傾斜角60°為的直線與雙曲線的右支有且僅有一個交點,則雙曲線的離心率e的取值范圍為( ).

A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)

解析由性質4_易知,所以雙曲線的離心率e的取值范圍為[2,+∞),故選C.

由于圓錐曲線有著統(tǒng)一的內在聯(lián)系,所以它們存在著很多類似的性質.下面介紹焦點重合的橢圓和雙曲線離心率的優(yōu)美性質.

性質5已知橢圓C1:=1(其中a1＞b1＞0)與雙曲線C2:=1(其中a2＞0,b2＞0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則

證明所以

性質6已知橢圓C1:=1(其中a1＞b1＞0)與雙曲線C2:=1(其中a2＞0,b2＞0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則

(1)當b1≤b2,則e1e2＞1;

(2)當b1＞b2,則

證明由性質5 得所以

由0＜e1＜1,e2＞1 且得令

(1)若b1≤b2,則f(t) 對稱軸t=所以f(t)在上單調遞減,f(1)=1,故0＜＜1,即e1e2＞1.

(2)若b1＞b2,則1＜在上單調遞增,在上單調遞減,故即

例5(2016年高考浙江理科第7 題) 已知橢圓C1:+y2=1(其中m＞1)與雙曲線C2:-y2=1(其中n＞0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則( )

A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1

C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1

解析設P為橢圓與雙曲線在第一象限內的公共點,F1,F2為它們的公共焦點,則|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2n,所以|PF1|=m+n,|PF2|=m-n,所以m＞n,由性質6(1) 得橢圓和雙曲線的離心率之積e1e2＞1,故選A.

例6(2016年全國高中數(shù)學四川聯(lián)賽)已知F1,F2為橢圓和雙曲線的公共焦點,P為它們的一個公共點,且∠F1PF2=則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是( )

解析設橢圓方程為雙曲線方程為由橢圓和雙曲線焦點三角形的面積公式得ΔPF1F2的面積為即由性質6(2)得橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值故選B.

性質7已知橢圓C1:=1(其中a1＞b1＞0)與雙曲線C2:=1(其中a2＞0,b2＞0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則

(1)當b1＞b2時,有最大值,無最小值,且最大值為并且

(i) 當b2＜b1≤時,的取值范圍為

(ii) 當b1＞時,的取值范圍為

(2)當b1≤b2時,既無最大值,也無最小值,且的取值范圍為

證明由性質5 得即

令

則

于是問題轉化為在條件

下,探究z=的最值問題.

u2+v2=表示單位圓u2+v2=1 上一段劣弧AB,其中B(1,0),圓u2+v2=1 在A點處切線斜率為k=目標函數(shù)z=的斜率為

(1)當k′＜k,即-即b1＞b2時,平移直線z=當直線z=與圓弧相切時,z取得最大值.

設切點P(u0,v0),則由得切點此時zmax=zP=z沒有最小值.

zA=2,zB=令zA=zB,得b1=因此得的取值范圍為當時,z的取值范圍為

(2)k′≥k,即即b1≤b2時,當平移直線z=由線性規(guī)劃思想知zB＜z＜zA,又zA=2,zB=故z的取值范圍

例7(2014年高考湖北理科第9 題) 已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )

解析設橢圓方程為雙曲線方程為由橢圓和雙曲線焦點三角形的面積公式得ΔPF1F2的面積為即由性質7(1)得的最大值為故選A.