廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 鞠火旺

受文[4]研究思路的啟發(fā),我們將蒙日圓問題的約束條件“兩條垂直的切線”改為“兩條切線的斜率之和差積商為定值”,并稱切線交點的軌跡為相應(yīng)圓錐曲線的伴隨曲線,通過在Geogebra 實驗環(huán)境中探究,我們發(fā)現(xiàn)了伴隨曲線的性質(zhì)并給出了證明.

結(jié)論1過橢圓C:外一點P引橢圓的兩條切線PA和PB,若kPB·kPA=δ,其中δ為常數(shù)且δ≠0,則兩切線的交點P的軌跡方程為δx2-y2=δa2-b2,且OA、OB的斜率之積為定值,即

證明設(shè)點P(x0,y0),切線PA、PB的斜率分別為k1和k2,切線方程為y-y0=k(x-x0).聯(lián)立得

(a2k2+b2)x2-2a2(kx0-y0)kx+a2((kx0-y0)2-b2)=0,

由于直線與橢圓相切,于是

Δ=(-2a2(kx0-y0)k)2-4(a2k2+b2)a2((kx0-y0)2-b2)=0,

化簡整理得

因為k1、k2為①式的兩根,由韋達(dá)定理得k1k2=從而兩切線交點P的軌跡方程為δx2-y2=δa2-b2,該伴隨曲線的類型取決于δ的取值范圍.

當(dāng)δ=-1 即兩條切線互相垂直時,伴隨曲線為x2+y2=a2+b2,這就是蒙日圓.

當(dāng)δ＜0 且δ≠-1 時,伴隨曲線1 是橢圓,見圖1.

當(dāng)δ=時,伴隨曲線為兩條直線y=在橢圓C外的部分,見圖2.

當(dāng)δ＞0 且δ≠時,伴隨曲線為雙曲線,其中,當(dāng)時,伴隨曲線是雙曲線在橢圓C外的部分;當(dāng)時,伴隨曲線是雙曲線在橢圓C外的部分,分別見圖3和圖4.

圖1.δ＜0 且δ≠－1 的情形

圖2.δ=的情形

圖3.δ∈(0,)的情形

圖4.δ∈(,+∞)時的情形

下證OA、OB的斜率的乘積為定值,為此不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為H,切點弦方程為即

又A(x1,y1)∈l,于是kPA=-又kOA=因此

同理kPB·kOB=于是kPA·kOA·kPB·kOB=而kPA·kPB=δ,故kOA·kOB=

結(jié)論2過橢圓C:=1 外一點P引橢圓的兩條切線PA和PB,若=δ,其中δ為常數(shù)且δ≠±1,則兩切線的交點P的軌跡方程為且OB、OA的斜率之比為定值,即=δ.

證明因為k1、k2為①式的兩根,于是由韋達(dá)定理得

于是兩切線的交點P的軌跡方程為

注意到方程(*)是x、y的冪都是偶數(shù),因此伴隨曲線關(guān)于x軸,y軸是軸對稱的.又由問題的實際意義可知,當(dāng)δ=1 時軌跡不存在,當(dāng)δ=-1 即kPB=-kPA時,軌跡是橢圓外與坐標(biāo)軸重合的四條射線,見圖5.

圖5.δ=－1 的情形

再注意到伴隨曲線的方程中x、y是對稱的,于是y=±b是其水平漸近線.借助Geogebra 軟件我們可以清晰地看到該伴隨曲線的圖像,見圖6～圖9.

圖6.δ＜0 且δ≠－1 的情形

圖7.δ→－∞時的情形

圖8.δ＞0 的情形

圖9.δ→+∞的情形

結(jié)論3過橢圓外一點P引橢圓的兩條切線PA和PB,若kPB+kPA=δ,其中δ為常數(shù)且δ≠0,則兩切線的交點P的軌跡方程為δx2-2xy=δa2,且OA、OB的斜率的倒數(shù)之和為定值,即

證明由①式結(jié)合韋達(dá)定理知從而兩切線交點P的軌跡方程為δx2-2xy=δa2,注意到該方程可以化為這是常見的“雙刀型”函數(shù).

當(dāng)δ＜0 時,伴隨曲線在(-∞,0)及(0,+∞)都是單調(diào)遞減的;當(dāng)δ＞0 時,伴隨曲線在(-∞,0)及(0,+∞)都是單調(diào)遞增的,即兩切線交點所形成的橢圓的伴隨曲線是“雙刀型”函數(shù)在橢圓C外的那一部分,其圖像見圖10和圖11.

圖10.δ＜0 的情形

圖11.δ＞0 的情形

結(jié)論4過橢圓外一點P引橢圓的兩條切線PA和PB,若kPB-kPA=δ,則兩切線的交點P的軌跡方程為

且OA、OB的斜率的倒數(shù)之差為定值,即

證明將k2-k1=δ代入②式得

消去k1并化簡整理得

于是兩切線的交點P的軌跡方程為

將y用x表示出來(為方便起見,我們只研究y＞0 的情形),得到函數(shù)

該函數(shù)的定義域為

由

得x=或x=0 或x=結(jié)合函數(shù)的定義域及單調(diào)性可得函數(shù)y=f(x)的圖像如圖12所示,因此由⑤式確定的伴隨曲線的圖像如圖13所示,這與直接作圖產(chǎn)生的軌跡曲線是相吻合的;此外,定值的證明與結(jié)論3 中的方法類似,這里略去.

圖12.函數(shù)y=f(x)的圖像

圖13.伴隨曲線的圖像

至此,我們對橢圓的伴隨曲線作了較詳細(xì)的研究,在雙曲線及拋物線中也有類似的性質(zhì),限于篇幅,我們就不再一一贅述.