福建省南平市高級(jí)中學(xué)(353000) 江智如 江 偉 蔡 珺

1 問題提出

三角、導(dǎo)數(shù)是高考的必考內(nèi)容,一個(gè)側(cè)重基礎(chǔ),一個(gè)側(cè)重壓軸,考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平與思維深度.二者的交匯融合是近年高考及各類模擬考的?？??？汲Ｐ?是冰與火的碰撞.由于函數(shù)表達(dá)式為三角函數(shù)與其它初等函數(shù)的復(fù)合,無論怎么求導(dǎo)函數(shù),都會(huì)出現(xiàn)含三角函數(shù)且較為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式.解決此類問題,需要利用三角函數(shù)性質(zhì)、分離參數(shù)、分類討論、構(gòu)造函數(shù)等方法來處理,涉及函數(shù)隱零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移等相關(guān)知識(shí)與技巧.總結(jié)歸納此類問題的有效解題思路與方法,能夠幫助考生破解困惑,拓寬數(shù)學(xué)視野,同時(shí)也能踐行新高考從“能力立意”向“素養(yǎng)導(dǎo)向”轉(zhuǎn)變的理念與要求[1],提升考生的學(xué)科素養(yǎng).

2 概念界定

本文探究以三角函數(shù)為載體的函數(shù)模型歸納為四種模型:(1)f(x)=ax+Asin(ωx+φ) 或f(x)=ax+Acos(ωx+φ)模型;(2)f(x)=或f(x)=模型;(3)f(x)=x·sinx或f(x)=x·cosx模型;(4)f(x)=alnx+bsinx或f(x)=aex+bsinx模型.它們是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,難度大,對(duì)考生的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合應(yīng)用能力要求較高[2],體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能.為此,筆者在素養(yǎng)導(dǎo)向指引下探究此類問題的有效解題策略.

3 方法探析

根據(jù)2017年版《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)函數(shù)知識(shí)的要求,我們根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)研究這幾類函數(shù)模型的圖象,運(yùn)用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法步驟求解,同時(shí)也可以巧用特殊三角不等式,如|sinx|≤|x|≤|tanx|,x ∈放縮和構(gòu)造函數(shù),從而更好地認(rèn)清它們的本質(zhì),做到“有圖在心中,解題很輕松”.

3.1 基于f(x)=ax+A sin(ωx+φ) 或f(x)=ax+A cos(ωx+φ)模型

題目1(2016年高考全國課標(biāo)Ⅰ卷文第12 題)若函數(shù)f(x)=x-sin 2x+asinx在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是( )

A.[-1,1] B.C.D.

解析由題意可知,

對(duì)x∈R 恒成立,令t=cosx,考慮g(t)=對(duì)t ∈[-1,1]恒成立,從而由二次函數(shù)圖象性質(zhì)得解得故選C.

評(píng)析本試題以函數(shù)單調(diào)性作為背景,依托三角函數(shù)性質(zhì)為載體考查含參函數(shù)恒成立問題,需要考生能夠敏銳地利用二倍角的余弦公式,把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于余弦的二次函數(shù)模型,再利用換元法,借助二次函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,快速地求出a的取值范圍.考查考生化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,充分考查了考生對(duì)有關(guān)初等導(dǎo)函數(shù)基本知識(shí)的掌握程度,又考查了考生綜合應(yīng)用基本方法解決問題的能力,滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查.

方法總結(jié)“千淘萬漉雖辛苦,吹盡狂沙始到金”,此類模型依托函數(shù)與方程思想,利用三角函數(shù)恒等變換和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,分離參數(shù),借助函數(shù)圖象,列出等價(jià)方程(組)或不等式(組)進(jìn)行求解.解題步驟歸納為:(Ⅰ)求導(dǎo),恒等變換;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),畫出函數(shù)圖象草圖;(Ⅲ)根據(jù)圖象,確定特殊點(diǎn),列出等價(jià)不等式組;(ⅠV)求出參數(shù)的取值范圍;也就是“一變,二畫,三列式”[5].

變式1(2019 高考課標(biāo)Ⅰ卷文科第12 題) 已知函數(shù)f(x)=2 sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(Ⅰ)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);(Ⅱ) 若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解析(Ⅰ)設(shè)g(x)=f′(x),則g(x)=cosx+xsinx-1,從而g′(x)=xcosx.容易知道當(dāng)x∈時(shí),g′(x)＞0;當(dāng)x∈時(shí),g′(x)＜0,所以g(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.又g(0)=0,＞0,g(π)=-2,故g(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn),所以f′(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f′(x)在(0,π)只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x0,且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)＞0;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),f′(x)＜0,所以f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增,在(x0,π)單調(diào)遞減.又f(0)=0,f(π)=0,故當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥0.據(jù)題意,當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,因此,a的取值范圍是(-∞,0].

評(píng)價(jià)本題分步設(shè)問,第(Ⅰ)問既考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用,又為第(Ⅱ)問做了鋪墊,使問題逐步推進(jìn).第(Ⅱ)問則將函數(shù)與不等式有機(jī)結(jié)合,考查由淺入深,對(duì)計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高,重點(diǎn)突出、層次分明,達(dá)到考查目的.試題從多角度考查導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,對(duì)考生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、分類與整合的思想提出了較高的要求,體現(xiàn)區(qū)分度,使考生個(gè)體理性思維的廣度和深度得到了充分展示,考查考生進(jìn)一步數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能[4],促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.

3.2 基于f(x)=或f(x)=模型

題目2(2014年高考北京卷理科第18 題) 已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x∈

(Ⅰ)略;(Ⅱ)若a＜＜b對(duì)x∈恒成立,求a的最大值和b的最小值.

解析(Ⅰ) 略;(Ⅱ) 當(dāng)x∈時(shí),a＜等價(jià)于sinx-ax＞0;＜b等價(jià)于sinx-bx＜0;令g(x)=sinx-cx,則g′(x)=cosx-c.當(dāng)c≤0 時(shí),g(x)＞0對(duì)任意x∈恒成立;當(dāng)c≥1 時(shí),g′(x)＜0 對(duì)任意x∈恒成立,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,從而g(x)＜g(0)=0 對(duì)任意x∈恒成立;當(dāng)0＜c＜1時(shí),存在唯一的x0∈使得g′(x0)=cosx0-c,當(dāng)x∈(0,x0) 時(shí),g′(x)＞0,此時(shí)g(x)＞g(0)=0;當(dāng)x∈時(shí),g′(x)＜0.故g(x)＞0 對(duì)任意x∈恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)即0＜c≤綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)c≤時(shí),g(x)＞0 對(duì)任意x∈恒成立;當(dāng)且僅當(dāng)c≥1 時(shí),g(x)＜0 對(duì)任意x∈恒成立;所以a＜＜b對(duì)x∈恒成立,a的最大值為b的最小值為1.

評(píng)價(jià)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造出函數(shù)g(x)=sinx-cx是解題的關(guān)鍵,考查由淺入深,對(duì)計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高,考查層次分明,重點(diǎn)突出,較好地達(dá)到了考查目的.試題從多維度考查了導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,同時(shí)對(duì)考生邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、分類討論與整合的能力提出了較高要求,尤其是對(duì)邏輯推理能力的考查,層次分明,區(qū)分度較高,使考生個(gè)體理性思維的廣度和深度得到了充分展示,較好地考查了考生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能,提升學(xué)科素養(yǎng).

方法總結(jié)“化歸醲粹兮復(fù)胥庭”,此類模型以分式型復(fù)合函數(shù)為載體,依托化歸與轉(zhuǎn)化的思想,把分式模型等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式模型,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,分類討論,等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參恒成立問題求解.解題步驟歸納為:(Ⅰ)化歸恒等變換為整式模型;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù);(Ⅲ)求導(dǎo)分類討論,得到等價(jià)方程(組)或不等式(組);(ⅠV)運(yùn)算求解,得到結(jié)果;也就是“一整,二構(gòu),三列式”.

變式2(2020年湖南邵陽一模理科第22 題)已知函數(shù)f(x)為反比例函數(shù),曲線g(x)=f(x)cosx+b在x=處的切線方程為

(Ⅰ)求g(x)的解析式;(Ⅱ)判斷函數(shù)F(x)=g(x)+1-在區(qū)間(0,2π]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并證明.

解析(Ⅰ)容易求得g(x)=-1;(Ⅱ) 因?yàn)樗杂之?dāng)x∈時(shí),F′(x)＜0,故F(x)在上單調(diào)遞減,又故F(x) 在上只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x∈時(shí),cosx＜0.從而F(x)＜0,故F(x) 在上無零點(diǎn);當(dāng)x∈時(shí),令h(x)=xsinx+cosx,則h′(x)=xcosx＞0,從而h(x) 在上單調(diào)遞增.又h＜0,h(2π)＞0,故存在x0∈使得h(x0)=0,從而在上h(x)＜0,即F′(x)＞0,所以F(x)在上單調(diào)遞增;在(x0,2π]上h(x)＞0,即F′(x)＜0,所以F(x) 在(x0,2π]上單調(diào)遞減.由于F(2π)=0,F＜0,故F(x)在上有2 個(gè)零點(diǎn),綜上所述,函數(shù)F(x)在(0,2π]上有3 個(gè)零點(diǎn).

評(píng)價(jià)本題第(Ⅰ)問難度不大,考查反比例函數(shù)知識(shí)與導(dǎo)數(shù)切線的定義,考查考生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算求解能力;第(Ⅱ)問以三角函數(shù)為載體,考查函數(shù)零點(diǎn)問題.試題的設(shè)置使得考生需要了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理,從而引導(dǎo)考生利用分類與整合的思想,討論F(x)的單調(diào)性,才能得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù),對(duì)考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找合理的解題策略與推理論證能力都提出了較高要求,突出了選拔功能.

3.3 基于函數(shù)f(x)=x·sin x 或f(x)=x·cos x 模型

題目3(2018年北京東城區(qū)一模理科第20 題)已知函數(shù)f(x)=xsinx+acosx+x,a ∈R.

(Ⅰ)(Ⅱ)略;(Ⅲ)當(dāng)a＞2 時(shí),若方程f(x)-3=0 在區(qū)間上有唯一解,求a的取值范圍.

解析(Ⅲ) 當(dāng)a＞2 時(shí),f′(x)=(1-a)sinx+xcosx+1.設(shè)h(x)=(1-a)sinx+xcosx+1,則h′(x)=(2-a)cosx-xsinx,因?yàn)閍＞2,x∈所以h′(x)＜0.從而h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又h(0)＞0,h=2-a＜0,故存在唯一的x0∈使h(x0)=0,即f′(x0)=0.所以f(x) 在區(qū)間[0,x0]上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.由于f(0)=a,且方程f(x)-3=0 在區(qū)間上有唯一解,故2＜a≤3,因此a的取值范圍是(2,3].

評(píng)價(jià)在高中階段,引進(jìn)導(dǎo)數(shù)概念,有利于學(xué)生更深刻地理解不斷動(dòng)態(tài)變化的事物本質(zhì),提高思維層次.導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,是高中階段的重要知識(shí)之一[6],為考生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好扎實(shí)的基礎(chǔ).本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,不等式的性質(zhì)與推導(dǎo)方法,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,從多角度考查了考生導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)對(duì)考生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、分析歸納能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.試題層次分明、內(nèi)容豐富、區(qū)分度較高,使不同考生的理性思維的廣度和深度得到了充分展示,促進(jìn)考生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)得到提升.

方法總結(jié)“行到水窮處,坐看云起時(shí)”,此類模型以函數(shù)與方程解為載體,利用分類討論思想,運(yùn)用函數(shù)介值定理和三角函數(shù)知識(shí),結(jié)合函數(shù)圖象,得到參數(shù)的范圍.解題步驟為:(Ⅰ)求導(dǎo)構(gòu)造;(Ⅱ)分類討論;(Ⅲ)結(jié)合圖象,確定關(guān)鍵點(diǎn),列出等價(jià)不等式組;(ⅠV)求出參數(shù)的取值范圍;也就是“一化,二分,三列式”.

變式3(2020年吉林省二模理科第21 題) 已知函數(shù)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(Ⅰ) 證明:f′(x) 在區(qū)間上不存在零點(diǎn);(Ⅱ) 若f(x)＞kx-xcosx--1 對(duì)x∈恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解析(Ⅰ)由題意得,f′(x)=令g(x)=sinx-則g′(x)=令g′(x)=0,因?yàn)閤∈所以x=當(dāng)x∈時(shí),g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈時(shí),g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減.又故g(x)＞0 在上恒成立,即f′(x)＞0 在上恒成立,因此f′(x)在區(qū)間上不存在零點(diǎn);(Ⅱ)由f(x)＞kx-xcosx--1,得sinx＞kx-1.因?yàn)閤∈所以k＜令h(x)=則h′(x)=令m(x)=xcosx-sinx-1,則m′(x)=-xsinx＜0 恒成立,從而m(x)在上單調(diào)遞減,故m(x)＜m(0)=-1＜0,即h′(x)＜0 在上恒成立,所以h(x) 在上單調(diào)遞減,從而于是k≤因此k的取值范圍是

評(píng)價(jià)導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是學(xué)生今后工作和學(xué)習(xí)的重要工具[6].試題基于y=x·cosx模型,分兩步設(shè)問,逐步推進(jìn),考查由淺入深,對(duì)計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高,考查層次分明,能較好地達(dá)到考查目的.第(Ⅰ)問考查導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)介值定理的基礎(chǔ)知識(shí)和解題方法,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.第(Ⅱ)問考查參數(shù)恒成立問題,考查分離參數(shù)方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,運(yùn)算求解能力,對(duì)考生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)要求較高.本題涉及三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)很基本,但考查深入,為考生解答提供廣闊的發(fā)揮空間,具有區(qū)分度,突出選拔功能.

3.4 基于函數(shù)f(x)=a ln x+b sin x 或f(x)=aex+b sin x 模型

題目4(2020年金太陽5月模擬文科第21 題)已知函數(shù)f(x)=lnx+xsinx.

(Ⅰ) 證 明:f′(x) 在 區(qū) 間上存在唯一的零點(diǎn);(Ⅱ) 證明:對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有f(x)＜2xlnx+x(1+sinx).

解析(Ⅰ) 設(shè)g(x)=f′(x)=+sinx+xcosx,則g′(x)=+2 cosx-xsinx.因?yàn)閤∈所 以g′(x)＜0,故g(x) 在上單調(diào)遞減.又故由介值定理知,g(x) 在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn),因此原命題成立;(Ⅱ) 要證明f(x)＜2xlnx+x(1+sinx),即證(2x-1)lnx+x＞0.當(dāng)x=時(shí),不等式顯然成立;當(dāng)x＞時(shí),即證lnx+＞0;當(dāng)0＜x＜時(shí),即證lnx+＜0.令h(x)=lnx+則h′(x)=當(dāng)x＞時(shí),在上,h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減;在(1,+∞)上,h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增,此時(shí)h(x)min=h(1)=1＞0,即lnx+＞0.當(dāng)0＜x＜時(shí),在上,h′(x)＞0,h(x) 單調(diào)遞增;在上,h′(x)＜0,h(x) 單調(diào)遞減,此時(shí)h(x)max=＜0,即lnx+＜0.綜上所述,對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有f(x)＜2xlnx+x(1+sinx).

評(píng)價(jià)指對(duì)函數(shù)是高中階段重要的初等函數(shù)之一,與三角函數(shù)的結(jié)合增加試題的復(fù)雜性,提高難度,體現(xiàn)試題的區(qū)分度與選拔性.本題第(Ⅰ)問面向大部分考生,依托函數(shù)零點(diǎn)問題,考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性知識(shí),函數(shù)介值定理基本知識(shí)和基本方法.重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、重視從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變,考查考生三角函數(shù)性質(zhì)的主干知識(shí)和基本方法,要求考生具有扎實(shí)的函數(shù)知識(shí)及運(yùn)算求解能力.第(Ⅱ) 問要求考生具有較高的邏輯推理能力,運(yùn)用分析法,執(zhí)果索因,把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為(2x-1)lnx+x＞0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=lnx+分類討論,通過求導(dǎo),判斷h(x)的單調(diào)性,把不等式問題轉(zhuǎn)化為h(x)的最值問題,最終證明結(jié)論.對(duì)考生化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、推理論證能力、運(yùn)算求解能力有一定的要求,有利于發(fā)揮考生的綜合水平,重視對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

方法總結(jié)“曲徑通幽處,禪房花木深”,此類模型以指對(duì)函數(shù)與三角函數(shù)的基本知識(shí)和性質(zhì)為載體,考查函數(shù)單調(diào)性和最值問題.可以通過分析法,執(zhí)果索因,明確問題的方向,然后等價(jià)變化,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)方法求解.解題步驟為:(Ⅰ)分析推理;(Ⅱ)等價(jià)變化;(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù);(ⅠV)最值求解;也就是“一析,二變,三構(gòu)造”.

變式4(2020年河南高考仿真模擬理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=e|x|-3 cosx.

(Ⅰ) 證明:f(x)+2≥0;(Ⅱ) 當(dāng)x∈時(shí),不等式m＜＜n恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值和n的最小值.

解析(Ⅰ) 當(dāng)x∈[0,+∞) 時(shí),f(x)=ex-3 cosx,則f′(x)=ex+3 sinx.當(dāng)x∈[0,π)時(shí),f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈[π,+∞)時(shí),f′(x)=ex+3 sinx≥ex-3＞0,f(x) 單調(diào)遞增.所以f(x) 在[0,+∞) 上單調(diào)遞增,從而f(x)≥f(0)=-2,故f(x)+2≥0,又f(x) 為偶函數(shù),因此對(duì)x∈R,f(x)+2≥0 均成立;(Ⅱ) 由題條件化簡(jiǎn)得,當(dāng)x＞0 時(shí),問題等價(jià)于

令g(x)=sinx-tx,則g′(x)=cosx-t.當(dāng)t≥0時(shí),在x∈上,g′(x)＞0,故g(x) 在上單調(diào)遞增,則g(x)＞g(0)=0,所以t≥0;當(dāng)t≥1 時(shí),在x∈上,g′(x)＜0,故g(x)在上單調(diào)遞減,則g(x)＜g(0)=0,所以t≤1;當(dāng)0＜t＜1 時(shí),存在唯一的x0∈使得g′(x0)=cosx0-t=0,當(dāng)x0∈(0,x0)時(shí),g′(x)＞0;當(dāng)x0∈時(shí),g′(x)＜0;故g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則g(x0)＞g(0)=0,所以當(dāng)x∈時(shí),g(x)＞0 恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)即0＜t≤綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)0＜t≤時(shí),g(x)＞0 在x∈上恒成立;當(dāng)且僅當(dāng)t≥1 時(shí),g(x)＜0 在x∈上恒成立;因此m的最大值為n的最小值為1.

評(píng)價(jià)本題第(Ⅰ)問的設(shè)計(jì)面向大部分考生,以不等式為載體,考查函數(shù)的最值問題.考生在分析理解函數(shù)f(x)奇偶性的基礎(chǔ)上,利用導(dǎo)數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì),求解f(x)的值域.考查分類與整合的思想、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.第(Ⅱ)問選取含有參數(shù)的不等式為條件,求解參數(shù)的最值,以此考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力.要求考生靈活應(yīng)用知識(shí),將不等式遷移到不同情境中,構(gòu)造函數(shù)g(x)=sinx-tx,通過討論g(x)的單調(diào)性,利用g(x)的取值范圍,根據(jù)恒成立關(guān)系得到參數(shù)m和n的最值,充分考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的思想.

4 探究展望

以三角函數(shù)為載體的四類函數(shù)模型的解題思路可以總結(jié)為:“一構(gòu)造,二討論,三判斷”,解決的關(guān)鍵在于通過求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù),分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立[7]、極值點(diǎn)偏移[8]等問題,運(yùn)用分類與整合的思想,結(jié)合函數(shù)圖象求解,需要考生扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和綜合應(yīng)用能力,體現(xiàn)考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.此外在解決此類問題時(shí),我們可以結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和公式進(jìn)行求解,會(huì)起到事半功倍的效果.三角和導(dǎo)數(shù)也是高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)連接點(diǎn),貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系,從導(dǎo)數(shù)的視角理解含三角函數(shù)的綜合問題,可以更加深入理解問題的本質(zhì),弄清問題的來龍去脈,依托合理的“精致練習(xí)”[9]訓(xùn)練學(xué)生導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用能力,能夠拓寬考生的數(shù)學(xué)視野,培養(yǎng)考生正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法,激發(fā)考生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能,促進(jìn)考生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.