河源市田家炳實驗中學(517000) 袁雨紅

縱觀近幾年高考數(shù)學全國卷導數(shù)壓軸題,有如下特點:主要以三次函數(shù)或以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和多項式函數(shù)混合為載體,試題有一定的綜合性,考查導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值,研究方程和不等式,滲透了函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學思想和方法.筆者通過研究近幾年全國卷導數(shù)壓軸題,下面介紹其常用解題策略.

一、虛設零點

導函數(shù)的零點既可能是原函數(shù)單調區(qū)間的分界點,也可能是原函數(shù)的極值點或最值點.在高考導數(shù)壓軸題中,經常會遇到導函數(shù)有零點但求解比較復雜甚至無法求解的問題.此時,無需具體求出,只需設出零點,充分利用其滿足的關系式,謀求一種整體的代換和過渡,再結合其他解決問題,這種方法即是“虛設零點”[1].

例1(2019年高考全國卷Ⅰ理科第20 題) 已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導數(shù).證明:

(1)f′(x)在區(qū)間存在唯一極大值點;

(2)f(x)有且僅有2 個零點.

知識考查函數(shù)的零點,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和零點.

試題難度較大.

思路方法(1)設g(x)=f′(x),對g(x)求導可得g(x)在(-1,a)單調遞增,在單調遞減,由此得到極大值點的唯一性.

(2)對x進行討論,當x∈(-1,0]時,利用函數(shù)單調性確定此區(qū)間上有唯一零點;當時,利用函數(shù)單調性,確定f(x)先增后減且f(0)=所以此區(qū)間上沒有零點;當時,利用函數(shù)單調性確定此區(qū)間上有唯一零點;當x∈(π,+∞)時,f(x)＜0,所以此區(qū)間上沒有零點.

解析(1) 設g(x)=f′(x),則g(x)=cosx-當x∈時,g′(x)單調遞減,而可得g′(x)在上有唯一零點,設為a.則當x∈(-1,a)時,g′(x)＞0,則g(x)在(-1,a)上單調遞增,當時,g′(x)＜0,則g(x)在上單調遞減,故g(x)在上有唯一極大值點,即f′(x)在上存在唯一極大值點.

(2)顯然,f(x)的定義域為(-1,+∞).以下將定義域分成四個區(qū)間,并分別各個區(qū)間中的零點的個數(shù).

①當x∈(-1,0]時,由(1)知,f′(x)在(-1,0)單調遞增,而f′(0)=0,所以當x∈(-1,0)時,f′(x)＜0,故f(x)在(-1,0) 單調遞減.又f(0)=0,從而x=0 是f(x) 在(-1,0]的唯一零點.

②當x∈時,由(1) 知,f′(x) 在(0,a) 單調遞增,在單調遞減,而所以存在使得f′(β)=0,且當x∈(0,β)時,f′(0)＞0;當x∈時,f′(0)＜0.故f(x)在(0,β) 單調遞增,在單調遞減.又f(0)=0,所以當x∈時,f(x)＞0.從而,f(x)在沒有零點.

③當x∈時,f′(x)＜0,所以f(x)在單調遞減.而所以f(x)在有唯一零點.

④當x∈(π,+∞)時,ln(x+1)＞1.所以f(x)＜0,從而f(x)在(π,+∞)沒有零點.

綜上,f(x)有且僅有兩個零點.

評注利用導數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的方法.(1)構建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0 可解),轉化為確定g(x)的零點個數(shù)問題,利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調性、極值,并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等,畫出g(x)的圖象草圖,數(shù)形結合求解.(2)利用零點存在性定理.首先借助該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點,若可斷定存在零點,則利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號,進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).

二、分類討論

分類討論思想在簡化研究對象,發(fā)展思維方面起著重要作用,因此,有關分類討論思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位.分類討論問題的常見題型:問題中的變量或參數(shù)需要進行分類討論;問題中的條件是分類給出的;解題過程不能統(tǒng)一敘述,必須分類討論的.分類原則:分類對象確定,標準統(tǒng)一,分層討論,不重不漏[2].

例2(2019年高考全國卷Ⅲ理科第20 題) 已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)是否存在a,b,使得f(x) 在區(qū)間[0,1]的最小值為-1 且最大值為1? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.

知識考查導數(shù)的運算、函數(shù)的導數(shù)與單調性的關系、利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的最值.

試題難度較大.

思路方法(1) 先求出f(x)的導數(shù),再根據(jù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性,由于導函數(shù)中含有字母參數(shù),需要對參數(shù)進行分類討論.

(2)結合(1)中函數(shù)的單調性,確定函數(shù)的最值,從而建立關于a,b的方程(組)求解,要注意驗證解的合理性.

解析(1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f′(x)=0,得x=0 或x=

①若a＞0,則當x∈(-∞,0)時,f′(x)＞0;當x∈時,f′(x)＜0.故f(x) 在單調遞增,在單調遞減.

②若a=0,則f(x)在(-∞,+∞)單調遞增.

③若a＜0,則當x∈∪(0,+∞) 時,f′(x)＞0;當x∈時,f′(x)＜0.故f(x) 在單調遞增,在單調遞減.

(2)滿足題設條件的a,b存在.

①當a≤0 時,由(1)知,f(x)在[0,1]單調遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件,有即a=0,b=-1.

②當a≥3 時,由(1)知,f(x)在[0,1]單調遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件,有即a=4,b=1.

③當0＜a＜3 時,由(1)知,f(x)在[0,1]的最小值為最大值為b或2-a+b.若

綜上所述,當a=0,b=-1 或a=4,b=1 時,f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為-1 且最大值為1.

評注(1)討論函數(shù)的單調性時,一要注意函數(shù)的定義域,二要注意分類的標準,做到不重不漏;(2)對于探索性問題,求出參數(shù)的取值后要注意檢驗.

三、多次求導

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、值域問題時,往往會遇到判斷不了一次導函數(shù)在其定義域上的正、負取值問題,在這種情況下二次求導可判斷一次導數(shù)的單調性,進而求一次導函數(shù)的值域,由此來判斷原函數(shù)的單調性、求解值域問題等[1].

例3(2018年高考全國卷Ⅲ理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明:當-1＜x＜0 時,f(x)＜0;當x＞0 時,f(x)＞0;

(2)若x=0 是f(x)的極大值點,求a.

知識考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.

試題難度中等.

思路方法對f(x)進行二次示導,設g(x)=f′(x),利用g(x)研究f(x)的單調性,再結合f(0)=0,證明不等式.

解析(1)當a=0 時,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-設函數(shù)g(x)=f′(x)=則當-1＜x＜0時,g′(x)＜0;當x＞0 時,g′(x)＞0.故當x＞-1時,g(x)≥g(0)=0,且僅當x=0 時,g(x)=0,從而f′(x)≥0,且僅當x=0 時,f′(x)=0,所以f(x) 在(-1,+∞) 單調遞增.又f(0)=0,故當-1＜x＜0 時,f(x)＜0;當x＞0 時,f(x)＞0.

(2)略.

評注對函數(shù)進行二次求導,解題過程簡便易懂,因此要強化多次求導的解題意識.

四、構造函數(shù)

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點是導數(shù)一個非常重要的應用,f′(x)=0 經常涉及解超越方程問題,可以通過構造恰當?shù)妮o助函數(shù)與解超越方程問題完美擦肩而過,利用問題的等價性進而研究函數(shù)的零點解決問題[3].

例4(2018年高考全國卷Ⅱ理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1,證明:當x≥0 時,f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點,求a.

知識考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用.

試題難度較大.

思路方法構造函數(shù),利用函數(shù)的單調性與極值(或最值)可完成證明與求解.

解析(1)略.(2) 設函數(shù)h(x)=1-ax2e-x,f(x)在(0,+∞)只有一個零點等價于h(x)在(0,+∞)只有一個零點.

(i) 當a≤0 時,h(x)＞0,h(x)沒有零點;

(ii) 當a＞0 時,h′(x)=ax(x-2)e-x.

當x∈(0,2)時,h′(x)＜0,h(x)在(0,2)上單調遞減;當x∈(2,+∞)時,h′(x)＞0,h(x)在(2,+∞)上單調遞增.故h(2)=是h(x)在(0,+∞)的最小值.

①若h(2)＞0,即在(0,+∞)沒有零點;

②若h(2)=0,即在(0,+∞)只有一個零點;

③h(2)＜0 時,即由h(0)=1＞0,則h(x)在(0,2)有一個零點.由(1)知,當x＞0 時,ex＞x2,則故h(x)在(2,4a)有一個零點.因此,h(x)在(0,+∞)有兩個零點.

綜上所述,當f(x)在(0,+∞)只有一個零點時,

評注根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ex值域的特殊性,巧妙構造函數(shù)h(x)=1-ax2e-x,通過分類討論思想求解.

五、分離參數(shù)

討論含參數(shù)的方程或不等式問題時,進行分類討論有時比較復雜.如果我們將含參數(shù)的方程經過變形,將參數(shù)分離出來,使方程的一端化為只含參數(shù)的的解析式,而另一端化為與參數(shù)方程無關的主變元函數(shù),通過函數(shù)的值域或單調性討論原方程的解的情況,則往往更加快捷.

例5(2013年高考全國卷新課標Ⅰ第21 題) 設函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(xc+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值;

(2)當x≥-2 時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

知識考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,不等式恒成立問題.

試題難度較大.

思路方法第(2)問可以先分離出參數(shù)k,轉化為求函數(shù)的最值問題.

解析(1)a=4,b=2,c=2,d=2,過程從略.

(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).由f(x)≤kg(x),得x2+4x+2≤2kex(x+1),設

則F′(x)=

①當x=-1 時,對任意k ∈R,f(x)≤kg(x)均成立;

②當-2≤x＜-1 時,f(x)≤kg(x) 等價于k≤F(x).由F′(x)≥0 知:F(x) 在[-2,1) 上單調遞增,所以F(x)≥F(-2)=e2,從而k≤e2.

③當x＞-1 時,f(x)≤kg(x)等價于k≥F(x).當x∈(-1,0)時,F′(x)＞0,則F(x)在(-1,0)上單調遞增;當x∈(0,+∞)時,F′(x)＜0,則F(x)在(0,+∞)上單調遞減.所以F(x)≤F(0)=1,從而k≥1.

綜上所述,k的取值范圍為[1,e2].

評注分離參數(shù)法常用于求參數(shù)的取值范圍,通過將參數(shù)分離,將求參數(shù)的取值范圍問題轉化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.在分離變量時要注意以下幾個問題:①分離變量是可分的,可求的;②分離變量的范圍只有一頭,如果得出兩頭可能是分類討論變號產生;③除的時候考慮正負[3].

六、合理放縮

導數(shù)壓軸題中函數(shù)不等式問題常常涉及超越不等式,難度非常高,進行合理放縮是解決此類問題的關鍵所在.常見的一種放縮法是切線放縮法,曲線的切線為一次函數(shù),高中階段大部分函數(shù)的圖像均在切線的同側,即除切點外,函數(shù)的圖像在切線的上方或下方,利用這一特性,可以將參與函數(shù)放縮成一次函數(shù)[1].

例6(2017年高考全國卷Ⅲ理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0,求a的值;

(2)設m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n,求m的最小值.

知識考查導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用、不等式放縮.

試題難度較大.

思路方法第(2) 問可根據(jù)(1) 的結論,可得出結論從而得

通過放縮及對數(shù)的運算法則求得m的最小值.

解析(1)a=1,過程從略.(2) 由(1)知,當x∈(0,+∞)時,x-1-lnx＞0,即lnx＜x-1.令x=得從而

所以m的最小值為3.

評注本題是利用不等式lnx＜x-1 進行放縮,要熟悉不等式ex≥x+1 及其變形ex-1≥x,ex≥ex,lnx≥1-ln(x+1)≤x,ln(x+1)≥的適用范圍及等號成立的條件,這些不等式都是指對放縮時常用的不等式.