張燕霞（華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)朝陽學(xué)校）

一、從圖形變換的視角看正方形中的45°角

（一）對(duì)稱變換的視角

已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1）如圖1連接AF，CF，直接寫出 AF與CF的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到線段EC上時(shí)，連接AF， 相交于點(diǎn)O。①請(qǐng)你根據(jù)題意在圖2中補(bǔ)全圖形；②猜想AF與BE的位置關(guān)系，并寫出證明過程；③如果正方形的邊長為2，直接寫出AO的長。

圖1

圖2

分析：（1）（ 根據(jù)正方形的對(duì)稱性，ΔABF? ΔCBF，∴AF=CF ）（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖3所示.②AF⊥BE。

證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°。

∵DF=DF，∴ ΔADF?ΔCDF(SAS)。

∴∠DAF=∠DCF。∵E為AD中點(diǎn)，很容易證得 ΔABE?ΔDCE(SAS)。

圖3

∴ ∠ABE=∠DCE，∴∠DAF=∠ABE。

∵ ∠ABE+∠AEB=90 °， ∴ ∠DAF+∠AEB=90°?！?∠AOE=90°。∴AF⊥BE。

解決此問題的關(guān)鍵正是正方形的對(duì)角線BD平分直角，使得∠ABF=∠CBF=45°，或者 ∠ADF=∠CDF=45°，應(yīng)用正方形的性質(zhì)，依據(jù)“SAS”得出“燕尾型”的基本圖形，進(jìn)而將問題解決。

（二）旋轉(zhuǎn)變換的視角

在正方形ABCD中，點(diǎn)H是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AH，過點(diǎn)H分別作HP⊥AH，HQ⊥BD，交直線DC于點(diǎn)P、Q。

（1）如圖1，①按要求補(bǔ)全圖形；

②判斷PQ和AD的數(shù)量關(guān)系，并證明。（2）如果∠AHB=64°，連接AP，求 ∠PAD的度數(shù)。

圖1

圖2

分析：基本圖形，充分利用對(duì)角線形成的45°角，解決此問題的關(guān)鍵也正是正方形的對(duì)角線BD平分直角，使得∠ADB=∠BDC=∠HQD=45°。進(jìn)一步得出等腰直角三角形、全等三角形，從而將問題解決。

（1）①補(bǔ)全圖形，如圖3、圖4所示；②PQ=AD。

證明：圖3中：

圖3

圖4

∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，HQ⊥BD，

∴ ∠ADB= ∠BDC= ∠HQD= 45°?！郉H=HQ。

∵HP⊥AH，HQ⊥BD，∴∠AHP= ∠DHQ= 9 0°。

∴∠AHP- ∠DHP=∠DHQ-∠DHP，

即 ∠ AHD=∠ PHQ。 ∵∠ ADB=∠ HQD=45°，∴ ΔAHD?ΔPHQ(ASA)。 ∴PQ=AD。圖4中，把角度差改成角度和即可證明 ΔAHD?ΔPHQ。

（2）∠AHB=64°.如圖4：∵∠AHB=64°，HP⊥AH，HQ⊥BD， 可求 ∠PHD=26°。上面已證明 ΔAHD? ΔPHQ，∴AH=HP，

故 ∠PAH=∠HDQ=45°，∵∠DAH=∠QPH，

∴∠PAD=∠PHD=26°。

H點(diǎn)在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)的過程中，等腰RtΔAHP和等腰RtΔDHQ的大小隨時(shí)在發(fā)生變化，但是45°角這一性質(zhì)始終沒有變化，從而使得 ΔAHD?ΔPHQ始終沒有變化。我們還可以看到其中一個(gè)ΔAHD繞著 H點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到ΔPHQ?；谶\(yùn)動(dòng)變換的視角，通過訓(xùn)練可以在復(fù)雜圖形中尋找到含不變的45°角的基本圖形。

二、基于以上方法，問題舉例

如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長線于點(diǎn)H，連接BH。

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明。

分析：（1）連接DF。如圖1所示。

∵A，F(xiàn)關(guān)于DE對(duì)稱?！郃D=FD，AE=FE。

∵DA=DC可知DF=DC∴Rt△DCG?Rt△DFG

∴ CG=FG。

圖1

圖2

可證 ΔDME?ΔEBH?！郙E=BH

在Rt△AME中，

第（2）問解法二：過H點(diǎn)作HM⊥AB交AB的延長線于M點(diǎn)，思路同上。

我們不妨從這樣一個(gè)視角研究： E點(diǎn)首先和B點(diǎn)重合，即DE本是正方形的對(duì)角線，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是C點(diǎn)；但隨著E點(diǎn)在線段AB上的運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），進(jìn)一步呈現(xiàn)了直線DE和直線DG兩條對(duì)稱軸，從而呈現(xiàn)神奇的∠EDG= 4 5°，ΔDEH為等腰直角三角形。在AD上取點(diǎn)M使得AM=AE，連接ME，ΔAME又為等腰直角三角形，成就了結(jié)論中迎刃而解的線段之間的數(shù)量關(guān)系。在這道中考題解決的過程中不得不說正方形中45°角的基本圖形起著至關(guān)重要的作用。