鄭淑媛

【摘 ?要】通過(guò)觀(guān)察“多邊形的內(nèi)角和”展示課，概括本節(jié)課的突出亮點(diǎn)，指出教師從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，考慮知識(shí)前后聯(lián)系引出課題，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)和啟發(fā)式引導(dǎo)，讓學(xué)生在探究新知的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】問(wèn)題引領(lǐng);數(shù)學(xué)活動(dòng);學(xué)生發(fā)展

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? 文章編號(hào)：0493-2099（2020）21-0185-02

【Abstract】 By observing the "sum of inner angles of polygons" presentation class， the paper summarizes the highlights of this lesson， points out that teachers start from the students' thinking proximal development area， consider the connection of knowledge before and after leading the subject， and let students understand mathematical thinking methods in the process of exploring new knowledge through problem guidance and heuristic guidance.

【Keywords】 Problem-leading; Mathematics activities; Student developmen

一、從“導(dǎo)入”看，考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，為學(xué)生搭建合理平臺(tái)

宋老師注意知識(shí)的前后聯(lián)系，采用以舊引新直接導(dǎo)入法，在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形與多邊形有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生回顧多邊形的角及對(duì)角線(xiàn)的概念，強(qiáng)調(diào)了對(duì)角線(xiàn)的作用。類(lèi)比三角形學(xué)習(xí)，多邊形“角”之間又有怎樣的關(guān)系，教師提出問(wèn)題：“我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和等于180°，正方形、長(zhǎng)方形這些特殊四邊形內(nèi)角和都等于360°，那么任意一個(gè)四邊形內(nèi)角和是否等于360°？如何證明？”由于教師做了鋪墊，所以學(xué)生馬上想到“引對(duì)角線(xiàn)”的方法很快解決了問(wèn)題，并且宋老師明確指出了研究對(duì)象，即四邊形的內(nèi)角和就是（∠1+∠2+∠B）+（∠3+∠4+∠D），這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)很有用。

二、從“新授”看，以問(wèn)題+啟發(fā)式引導(dǎo)，在探究過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)是一個(gè)融知識(shí)、技能、方法、思想、精神為一體的整體，除了知識(shí)、技能以外，更重要的是數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的理性精神。學(xué)生怎么學(xué)數(shù)學(xué)，這和教師怎么教相聯(lián)系。由特殊的多邊形內(nèi)角和到n邊形內(nèi)角和，是一個(gè)多層次的探索過(guò)程，本質(zhì)上講的是由具體到抽象以及邏輯推理的過(guò)程。首先說(shuō)教師運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法境界較高，有神無(wú)形，將轉(zhuǎn)化的思想方法融合在探索多邊形內(nèi)角和的過(guò)程中，而且將“過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線(xiàn)”的方法作為教學(xué)主線(xiàn)，思路清晰。

當(dāng)教師問(wèn)“你能發(fā)現(xiàn)分成的三角形個(gè)數(shù)與它的邊數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？”學(xué)生表現(xiàn)出遲疑，確定分割后三角形的個(gè)數(shù)的這個(gè)過(guò)程不但結(jié)論隨著多邊形邊數(shù)的變化而變化，而且需要關(guān)注的因素也較多，如邊數(shù)、從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)、分得的三角形個(gè)數(shù)、內(nèi)角和等，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)尋找這個(gè)關(guān)系有一定困難。我們看宋老師抓住這個(gè)“關(guān)鍵問(wèn)題”，借助表格，先引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“列”之間存在的規(guī)律是邊數(shù)減2時(shí)，追問(wèn)學(xué)生“說(shuō)說(shuō)你是怎么發(fā)現(xiàn)的？”讓學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。繼續(xù)追問(wèn)：“你還能從其他角度進(jìn)行解釋嗎？”引發(fā)更深入的思考。我們看到在教師的啟發(fā)下，有兩位學(xué)生分別從頂點(diǎn)和邊的角度做出很好的解釋?zhuān)瑥亩嘟嵌燃由盍藢?duì)這個(gè)“關(guān)鍵問(wèn)題”的理解。學(xué)生潛力是無(wú)窮的，我們一定要相信學(xué)生。這個(gè)過(guò)程蘊(yùn)含的是符號(hào)化以及從特殊到一般的抽象推理過(guò)程，尤其是用與n有關(guān)的代數(shù)式表示內(nèi)角和的過(guò)程是從感性走向理性。

我們看這個(gè)探索過(guò)程，學(xué)生有獨(dú)立思考、小組合作與全班交流，他們親自經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，知識(shí)的獲取不是教師塞給的，而是自己自主獲取的。教師提出的問(wèn)題由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，有利于培養(yǎng)學(xué)生有邏輯的思維能力，像這樣讓知識(shí)慢慢地、一點(diǎn)一點(diǎn)地“浮出水面”的過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生能從中領(lǐng)悟出探索多邊形內(nèi)角和的思想方法，而這種類(lèi)比、轉(zhuǎn)化化歸思想和從特殊到一般研究問(wèn)題的方法，會(huì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得很輕松。得到（n-2）·180°的方法屬于合情推理，宋老師通過(guò)讓學(xué)生探索不同的分割方法，驗(yàn)證了所得結(jié)論的一致性和可靠性。類(lèi)比四邊形的內(nèi)角和是360°的證明方法，讓學(xué)生選擇自己最喜歡的方法，探究五邊形、六邊形...，n邊形的內(nèi)角和，同時(shí)指出“不論這個(gè)點(diǎn)取在哪，都是將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和”?！斑@個(gè)點(diǎn)到底選在哪最好呢？”教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了比較，并告訴學(xué)生“過(guò)頂點(diǎn)引對(duì)角線(xiàn)”是以后經(jīng)常用到的方法。在探索多邊形內(nèi)角和公式的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀(guān)察、猜想、計(jì)算、推理和驗(yàn)證，在相互啟發(fā)中自然而然地培養(yǎng)了探究能力。教師引導(dǎo)學(xué)生用不同的分割方法進(jìn)行驗(yàn)證的探究過(guò)程，學(xué)生積極思考，大膽猜想，推理能力得到了有效的培養(yǎng)，這源于教師對(duì)教材的準(zhǔn)確把握和深刻理解，源于教師對(duì)學(xué)生的理解與尊重。

三、從“應(yīng)用”看，關(guān)注示范引領(lǐng)與興趣激發(fā)，技術(shù)運(yùn)用恰到好處

課本例題是經(jīng)過(guò)專(zhuān)家們反復(fù)論證、精心設(shè)計(jì)的，具有針對(duì)性和典型性，是學(xué)生獲取知識(shí)、發(fā)展能力的重要載體。例1宋老師給出解題的規(guī)范板書(shū)，發(fā)揮了例題的示范作用。選用的練習(xí)突出基礎(chǔ)性和層次性，并運(yùn)用技術(shù)給予了及時(shí)評(píng)價(jià)和反饋。

例2是求六邊形的外角和，而探索多邊形外角和正是由此開(kāi)始，多邊形外角和是作為多邊形內(nèi)角和公式的一個(gè)拓展應(yīng)用，仍按照從特殊到一般的研究方法，宋老師用三個(gè)有關(guān)聯(lián)的具有遞進(jìn)關(guān)系的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，師生一起從六邊形的局部到整體尋找關(guān)系：“六邊形的外角和”是用“六個(gè)平角”減去“六邊形的內(nèi)角和”，得到六邊形外角和為360°。接著學(xué)生思考：若將“6”換為“n”，可以得到同樣結(jié)果嗎？進(jìn)行類(lèi)比遷移，自然得到了：“n邊形的外角和”是用“n個(gè)平角”減去“n邊形的內(nèi)角和”，有相同結(jié)果360°。在這里宋老師做了強(qiáng)調(diào)，n邊形的內(nèi)角和（n-2）·180°是隨著n的變化而變化的，而在這個(gè)過(guò)程中多邊形的外角和是保持不變的。值得一提的是，在幫助學(xué)生理解為什么多邊形的外角和等于360[°]這個(gè)問(wèn)題上，宋老師巧妙地利用了信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)效果和直觀(guān)性，信息技術(shù)運(yùn)用掐時(shí)掐點(diǎn)、非常有效。

四、從“小結(jié)”看，注重過(guò)程與結(jié)果相結(jié)合，構(gòu)建知識(shí)體系

小結(jié)新穎別致，采用問(wèn)題清單的形式，以問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生自我反思。提出四個(gè)問(wèn)題：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）我們是怎樣得到多邊形內(nèi)角和公式的？（3）在探索多邊形內(nèi)角和公式的過(guò)程中，連接對(duì)角線(xiàn)起到什么作用？（4）n邊形的外角和與n有關(guān)嗎？為什么？不僅引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，更關(guān)注內(nèi)容所反映的思想方法以及如何展開(kāi)思考，這樣的小結(jié)是過(guò)程與結(jié)果相結(jié)合的，注重了數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的落實(shí)。同時(shí)，也把如何發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題滲透其中，實(shí)現(xiàn)了“四基”“四能”的融合，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有力舉措。宋老師的用心之處還體現(xiàn)在學(xué)生完成問(wèn)題清單后，又從單元的視角以框架形式幫助學(xué)生建立起知識(shí)間的聯(lián)系，形成知識(shí)脈絡(luò)，這個(gè)很重要。問(wèn)題商榷與建議：第一，點(diǎn)在多邊形外部的情形，課上沒(méi)有“生成”，宋老師讓學(xué)生留作課下思考，這種情形是否能得到相同的結(jié)論？是否需要分類(lèi)討論？值得研究。第二，表格中的多邊形是從四邊形開(kāi)始的，n邊形中n的取值是不小于3的整數(shù)，建議考慮三角形，還有，可以考慮再多放幾個(gè)多邊形，如七邊形、八邊形，給學(xué)生一個(gè)想象的空間，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀(guān)思維。

整節(jié)課上，內(nèi)容的展開(kāi)運(yùn)用了類(lèi)比、推廣的方法，以及把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題、化未知為已知的思想方法等。教師引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般的研究幾何對(duì)象的基本思路，從課程的整體結(jié)構(gòu)上、知識(shí)的內(nèi)在邏輯上提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)抽象的幾何對(duì)象，從特殊的具體對(duì)象進(jìn)行探索，這樣的設(shè)計(jì)呈現(xiàn)給學(xué)生的是一個(gè)宏觀(guān)的數(shù)學(xué)視野，當(dāng)學(xué)生獨(dú)立面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，能遷移、類(lèi)比地去研究，學(xué)生從本節(jié)課中積累的數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)潛移默化地形成和發(fā)展自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.問(wèn)題引導(dǎo)到位 課堂生成精彩[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2018（6）.

（責(zé)任編輯 ?范娛艷）