費興華

[摘 ?要] 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，要注重對數(shù)學(xué)思想的滲透，數(shù)學(xué)思想方法很多，最常見的如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想等. 對數(shù)學(xué)思想的滲透，需要結(jié)合具體問題，靈活選擇不同的數(shù)學(xué)思想，以便更快捷地解決問題. 在平時教學(xué)中，教師要注重數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)思想與方法的特點，抓住解題精髓. 在教學(xué)中，教師要抓住數(shù)學(xué)思想滲透契機，讓學(xué)生從反復(fù)多次的解題體驗中，認識數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;滲透策略

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，除了掌握解題方法和技能外，還要注重對數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生從學(xué)會運用數(shù)學(xué)知識，解決實際問題，增強數(shù)學(xué)綜合運用能力. 數(shù)學(xué)思想是無“形”的，但卻是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要內(nèi)容. 學(xué)生要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，并了解概念以及結(jié)論等產(chǎn)生的背景和應(yīng)用，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法. 一方面，教師在講解數(shù)學(xué)問題，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識過程中，要突出對數(shù)學(xué)思想、方法的揭示;另一方面，從梳理解題思路，探究數(shù)學(xué)問題中，有意識地融入數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生深切理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)的精髓.

數(shù)學(xué)教學(xué)中主要的數(shù)學(xué)思想及滲透原則

在高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)被作為重要內(nèi)容. 近年來，對高考題型的分析與梳理發(fā)現(xiàn)，更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識的理解性應(yīng)用，尤其是對數(shù)學(xué)思想的運用，來解決數(shù)學(xué)問題. 有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)對于學(xué)生思維的深刻性、靈活性、概括性、獨創(chuàng)性都具有不可替代的巨大影響和意義. 總的來說，數(shù)學(xué)思想方法很多，最常見的如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想等. 華羅庚提出：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合思想，將“數(shù)”與“形”進行融合，通過“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”等方式，實現(xiàn)解題思路的直觀化、簡潔化. 如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，針對奇偶性、對稱性、最值等問題，都可以通過畫圖方式得出結(jié)論，提高解題準確率. 分類討論思想，其適用范圍體現(xiàn)在算法的多樣性上. 結(jié)合具體情形來分類討論. 如排列組合問題中，有8位翻譯家，3人會英語，2人會日語，3人英語、日語都會，將之分為三組，安排在不同地區(qū)，共有幾種分法？這類問題的討論，實踐性強，學(xué)生需要結(jié)合實際來分類解決. 轉(zhuǎn)化與化歸思想，在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用很廣，可以將未知化為已知，將抽象化為具體，將復(fù)雜化為簡單. 如在數(shù)學(xué)解題中的換元法、參數(shù)法、類比法、等價法、構(gòu)造法等，都能夠?qū)?shù)學(xué)問題進行巧妙變換，為解題創(chuàng)造條件. 函數(shù)與方程思想，將變量、未知數(shù)之間的關(guān)系，利用函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到解題思路. 如數(shù)學(xué)中的不等式問題、解析幾何等問題，都可以運用函數(shù)與方程思想來確定解題思路.

分析數(shù)學(xué)問題，梳理解題思路，對數(shù)學(xué)思想的滲透，需要結(jié)合具體問題，靈活選擇不同的數(shù)學(xué)思想，以便更快捷地解決問題. 在平時教學(xué)中，教師要注重數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)思想與方法的特點，抓住解題精髓. 通常，運用數(shù)學(xué)思想，需要遵循幾點原則. 一是實際性原則. 對數(shù)學(xué)思想的滲透，要尊重學(xué)情，聯(lián)系學(xué)生實際，要契合學(xué)生個體差異性，貼近最近發(fā)展區(qū)，注重數(shù)學(xué)思想的分層、漸進滲透，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想. 二是發(fā)展性原則. 數(shù)學(xué)思想本身是多樣的、發(fā)展的，面對解題實際，教師要放低起點，先讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)思想，再逐步提升數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用難度，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維力的發(fā)展. 如：已知cosα=，求sin（π-α）. 對于該題，很多學(xué)生易受慣性思維的影響，直接對sinα進行求解，再得到sin（π-α）=. 事實上，該題卻暗藏玄機. 由題設(shè)條件cosα=，我們可以求出α=+kπ，其中，k為任意的實數(shù);再根據(jù)所求目標，得出π-α=+kπ，然后代入求得sin（π-α）=±. 可見，滿足該題的是兩個解，而非一個解. 三是參與性原則. 運用數(shù)學(xué)思想求解數(shù)學(xué)問題，必須要讓學(xué)生去主動解題，去逐漸增強解題意識，才能做到科學(xué)、合理、靈活運用數(shù)學(xué)思想.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中對數(shù)學(xué)思想的滲透

數(shù)學(xué)思想具有抽象性，在教學(xué)中，教師要抓住數(shù)學(xué)思想滲透契機，針對以往教學(xué)中存在的問題，采取有效的解決措施和方法，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思想有效結(jié)合在一起，讓學(xué)生從反復(fù)多次的解題體驗中，認識數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想.

1. 在認識新知中滲透數(shù)學(xué)思想

在學(xué)習(xí)新知識時，根據(jù)教學(xué)需要，教師要強調(diào)對數(shù)學(xué)思想的滲透. 數(shù)學(xué)思想的融入，有助于學(xué)生理解和掌握新知，更重要的是，感受數(shù)學(xué)思想的解題方法和魅力. 對于三角函數(shù)，在規(guī)律、性質(zhì)較多，我們可以從特殊函數(shù)入手，讓學(xué)生從特殊轉(zhuǎn)向一般，掌握三角函數(shù)的推導(dǎo)方法. 同樣，我們還可以引入數(shù)形結(jié)合思想，對任意角的三角函數(shù)，設(shè)置真實情境. 在周一升旗儀式上，小明身高1.6 m，站在操場仰望旗桿頂端，頭部仰角α為75°，低頭俯視旗桿底部，俯角β為45°，試求旗桿的高度.對于實際問題的求解，我們可以將之轉(zhuǎn)換為圖形，讓學(xué)生運用三角函數(shù)知識來解決實際問題，增強學(xué)生對三角函數(shù)理論知識的應(yīng)用能力. 數(shù)學(xué)思想蘊藏于數(shù)學(xué)知識中，通過解讀數(shù)學(xué)知識，挖掘數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生從中強化數(shù)學(xué)思想意識. 從數(shù)學(xué)史中來探討數(shù)系的擴充，在數(shù)學(xué)實踐中，認識了正數(shù)，對于相反意義的量如何表示？如2-5應(yīng)該等于多少？怎樣來表示這個數(shù)？有學(xué)生提出“負數(shù)”就可以解決. 但對于數(shù)系的構(gòu)成，由自然數(shù)集N擴充至整數(shù)集Z，但在解決3÷5時，又遇到了難題. 有學(xué)生提出“分數(shù)”就可以解決. 這時，從整數(shù)集Z再擴充至有理數(shù)集Q. 但實際上，在數(shù)系發(fā)展歷史上，卻經(jīng)歷了漫長的過程. 最初，在求解x2=2時，畢達哥斯拉否定這一算法，認為只有整數(shù)和分數(shù)，而他的學(xué)生希帕索斯卻堅信存在這樣的數(shù)，即. 最后，希帕索斯被扔進了大海，但真理依然存在. 后來，有理數(shù)集Q擴充為實數(shù)集R. 當然，數(shù)系的發(fā)展并未停止，16世紀中葉意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹提出新數(shù)i，即i2=-1，這個新數(shù)i就是虛數(shù)單位. 從數(shù)學(xué)史來探究數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)思想體會得更加深刻.

2. 在數(shù)學(xué)知識應(yīng)用中滲透數(shù)學(xué)思想

對于數(shù)學(xué)知識體系中的知識點，在應(yīng)用過程中，教師要突出數(shù)學(xué)思想的滲透，增強學(xué)生數(shù)學(xué)解題意識和實踐能力. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，關(guān)鍵在于解決數(shù)學(xué)問題.在數(shù)學(xué)解題中，可以融入數(shù)學(xué)思想，來為解題創(chuàng)造條件. 如對函數(shù)與方程思想的運用，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)問題中，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)解法思路，運用函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化方法，提高解題邏輯思維和運算能力. 在學(xué)習(xí)冪函數(shù)后，對于f（x）=（m2-5m+6）x-4m，求m為何值時，該函數(shù)為冪函數(shù)？通過運用函數(shù)與方程思想，先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，便于計算和求解，也讓學(xué)生從中體會函數(shù)與方程之間的關(guān)系，夯實學(xué)生數(shù)學(xué)知識點的橫向銜接. 從方程求解目標來看，可以看作是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標. 再如：已知x∈[-2，1]，滿足不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求a的取值范圍. 對不等式的求解，很多時候，可以將不等式轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題，再根據(jù)給定的區(qū)間探析函數(shù)的單調(diào)性，來求其最值問題. 對于該題，引導(dǎo)學(xué)生將參數(shù)a進行分離出來，對之進行轉(zhuǎn)換，來優(yōu)化解題方向. 再如：對于y=，求其最值. 面對該題，常規(guī)思維是去分母，使其變換為三角函數(shù)形式. 根據(jù)三角函數(shù)的有界性，求解y的最值. 但該法相對較復(fù)雜，如果滲透數(shù)形結(jié)合思想，將題意轉(zhuǎn)換為點A（3，2）與點B（cosx，-sinx）所確定的直線斜率最值問題，則求解思路更為直觀且簡化.

結(jié)語

在對數(shù)學(xué)思想進行滲透中，教師要做到主動歸納，積極總結(jié)，讓學(xué)生從認識數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)中，體會數(shù)學(xué)思想的價值，特別是在單元總結(jié)中，結(jié)合典型試題、實例，展開數(shù)學(xué)思想的滲透與解析. 如分類討論思想的運用，在一些數(shù)學(xué)問題中，無法進行統(tǒng)一解題，需要探討局部與整體的關(guān)系，常見的有定義域內(nèi)的極值點，劃分若干區(qū)間，問題中含有參數(shù)變量，需要分段形式進行求解等. 教師要注重解題方法的總結(jié)，通過習(xí)題訓(xùn)練，鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合運用能力，積淀數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 總之，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想的支撐，高中階段，教師要拓展數(shù)學(xué)思想的滲透途徑，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)思想中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦.