吳文芳

[摘 ?要] 對(duì)于數(shù)學(xué)抽象的理解，既有比較學(xué)術(shù)化的，也有比較經(jīng)驗(yàn)化的. 要想在具體的教學(xué)實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光看待事物”，還需要教師付出更多的努力. 數(shù)學(xué)抽象反映學(xué)生的主觀能動(dòng)性，數(shù)學(xué)抽象強(qiáng)調(diào)基于概念（定義）與推理的邏輯性. 培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持這樣的幾個(gè)步驟：第一，精心設(shè)計(jì)，研究學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象基礎(chǔ);第二，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象動(dòng)機(jī);第三，適時(shí)指導(dǎo)，矯正學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象方向;第四，學(xué)習(xí)反思，鞏固數(shù)學(xué)抽象能力，生成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;核心素養(yǎng);素養(yǎng)落地

在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)當(dāng)中，數(shù)學(xué)抽象是第一個(gè)核心素養(yǎng)要素. 對(duì)于數(shù)學(xué)抽象的理解，既有比較學(xué)術(shù)化的，也有比較經(jīng)驗(yàn)化的. 無(wú)論是學(xué)術(shù)化的理解，還是經(jīng)驗(yàn)化的理解，都認(rèn)同數(shù)學(xué)抽象是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中. 對(duì)于高中一線教師而言，經(jīng)驗(yàn)化的理解往往更加能夠讓教師形成認(rèn)識(shí)，并且形成實(shí)踐的能力. 在諸多理解當(dāng)中，筆者比較喜歡的是史寧中先生所作出的解讀：史教授認(rèn)為所謂的數(shù)學(xué)抽象，其實(shí)就是“用數(shù)學(xué)的眼光看待事物”. 與此同時(shí)，筆者也注意到，要想在具體的教學(xué)實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光看待事物”，還需要教師付出更多的努力. 基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地的過(guò)程進(jìn)行了再次探究，取得了一些新的認(rèn)識(shí)，在此總結(jié)出來(lái)與同行們切磋并分享.

超越淺層理解的數(shù)學(xué)抽象再認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素之一，曾經(jīng)在很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，很多數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解就是“將形象的生活事物變成抽象的數(shù)學(xué)研究對(duì)象的過(guò)程”，這樣的理解不能算錯(cuò)，因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象就是從形象走向抽象的過(guò)程，但是僅僅局限于這樣的理解，似乎又不能對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生直接的幫助. 其中的原因究竟在哪里呢？有研究者通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平評(píng)價(jià)框架，并且利用自編的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平測(cè)試卷，對(duì)某省高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平現(xiàn)狀進(jìn)行研究，研究結(jié)果表明：（1）高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平一般;（2）高二與高三學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平存在顯著差異;（3）高中男生與女生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平存在顯著差異. 這樣的研究結(jié)果表明，數(shù)學(xué)抽象遠(yuǎn)不是我們想象的那么簡(jiǎn)單，而要想讓數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要素真正落地，就必須超越淺層理解，真正形成比較深刻的認(rèn)識(shí). 對(duì)此筆者的觀點(diǎn)有二：

一是數(shù)學(xué)抽象反映學(xué)生的主觀能動(dòng)性. 數(shù)學(xué)抽象是發(fā)生在學(xué)生大腦中的過(guò)程，是學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行的抽象反映. 這樣的一個(gè)過(guò)程具有明顯的主觀能動(dòng)性. 由于學(xué)生個(gè)體的不同，所以不同學(xué)生個(gè)體在數(shù)學(xué)抽象上也會(huì)表現(xiàn)出相應(yīng)的特征，盡管班級(jí)授課制無(wú)法兼顧學(xué)生個(gè)體的差異，但客觀上不同學(xué)生個(gè)體在進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的時(shí)候差異確實(shí)是存在的，針對(duì)不同的學(xué)生群體（如上面所提到的學(xué)段差異、性別差異等）進(jìn)行不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要前提.

二是數(shù)學(xué)抽象強(qiáng)調(diào)基于概念（定義）與推理的邏輯性. 沒(méi)有基本的數(shù)學(xué)概念與邏輯，是無(wú)法進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的，從這個(gè)角度來(lái)講，學(xué)生已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)概念包括其定義以及推理能力，是數(shù)學(xué)抽象的工具. 從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程也是一個(gè)自主建構(gòu)的過(guò)程，概念（定義）相當(dāng)于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀所強(qiáng)調(diào)的先前經(jīng)驗(yàn)，而基于邏輯的推理則是一種主觀建構(gòu)活動(dòng). 因此要想培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)要素，教師應(yīng)當(dāng)盡可能地為學(xué)生夯實(shí)定義與推理基礎(chǔ).

基于以上兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)，在數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)要素培育的過(guò)程中，為學(xué)生奠定數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，然后賦予學(xué)生足夠的數(shù)學(xué)抽象時(shí)間與空間，可能更加重要.

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地過(guò)程的再探究

有了上述認(rèn)識(shí)之后，到了具體的教學(xué)過(guò)程中，本著“依靠數(shù)學(xué)抽象過(guò)程生成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)”的認(rèn)識(shí)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持這樣的幾個(gè)步驟：第一，精心設(shè)計(jì)，研究學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象基礎(chǔ);第二，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象動(dòng)機(jī);第三，適時(shí)指導(dǎo)，矯正學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象方向;第四，學(xué)習(xí)反思，鞏固數(shù)學(xué)抽象能力，生成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 下面來(lái)看一個(gè)例子.

在“空間幾何體的三視圖和直觀圖”知識(shí)的教學(xué)中，一個(gè)基本的問(wèn)題是：學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了柱體、錐體、臺(tái)體、球體以及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，那么如何用平面圖形來(lái)表示這些立體呢？在具體的教學(xué)過(guò)程中，這個(gè)問(wèn)題可以作為激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的動(dòng)機(jī)的問(wèn)題. 但是激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)書上動(dòng)機(jī)有一個(gè)前提，那就是教師必須清楚地知道學(xué)生要進(jìn)行這一知識(shí)的數(shù)學(xué)抽象，必須具有什么樣的知識(shí)基礎(chǔ)與推理能力基礎(chǔ).

根據(jù)筆者的教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，知識(shí)基礎(chǔ)的問(wèn)題基本上是不大的，因?yàn)樯厦嫠岬降牧Ⅲw在學(xué)生的生活中是比較豐富的，學(xué)生具有比較豐富的表象. 相比較而言，學(xué)生的推理能力可能存在一些障礙，通俗地說(shuō)就是“學(xué)生的空間想象能力比較薄弱”——空間想象能力薄弱的真正原因就是空間推理能力薄弱. 關(guān)于這一點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師一定要有一個(gè)清醒的認(rèn)識(shí)，盡管高中學(xué)生的抽象思維能力比較強(qiáng)，但是空間想象與空間推理能力確實(shí)比較薄弱，對(duì)學(xué)生的空間推理能力預(yù)期低一點(diǎn)，往往可以在這一知識(shí)的教學(xué)中很好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

有了上述認(rèn)識(shí)，在創(chuàng)設(shè)情境的時(shí)候，可以在上述問(wèn)題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到觀看立體圖形的角度不同，所形成的平面觀感就不同，因此要比較準(zhǔn)確地表示出一個(gè)空間幾何體，就需要從多角度形成認(rèn)識(shí). 在這一基礎(chǔ)上，建立起空間幾何體的“三視圖”就水到渠成，其后也就進(jìn)入了數(shù)學(xué)抽象的核心階段.

在這個(gè)階段，教師可以借助于現(xiàn)代教學(xué)手段，讓學(xué)生去觀看“手影”（如圖1），但是這個(gè)觀看過(guò)程與生活中的觀看有所不同，其強(qiáng)調(diào)學(xué)生在認(rèn)識(shí)三視圖時(shí)的想象與推理.

對(duì)于推理，筆者是這樣設(shè)計(jì)教學(xué)的：首先，提供光源，讓學(xué)生想象如果該光線照著手，那看到的手影是什么樣的？當(dāng)然，此時(shí)學(xué)生更多的還是形成的一種平面認(rèn)知;其后，再提出問(wèn)題：如果改變手的位置，那手影的形狀會(huì)如何變化？學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答就需要推理思維，當(dāng)學(xué)生有了猜想之后，教師再通過(guò)實(shí)際情形去讓學(xué)生驗(yàn)證自己的猜想，這樣的一個(gè)過(guò)程有助于學(xué)生修正自己的錯(cuò)誤猜想，從而形成正確的推理能力. 在此之后，再提出三視圖的三種情形，即“光線從幾何體的前面向后面正投影”“光線從幾何體的左面向右面正投影”“光線從幾何體的上面向下面正投影”，讓學(xué)生去想象投影后的圖形是什么樣子. 由于上面進(jìn)行了想象、推理能力的培養(yǎng)，所以在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生可以更好地建構(gòu)起正視圖、俯視圖和側(cè)視圖三種情形. 考慮到學(xué)生之間的差異，這里的三視圖的建構(gòu)也可以分步驟進(jìn)行，比如說(shuō)第一次建立正視圖的時(shí)候，速度可以放慢一點(diǎn)，可以多次重復(fù)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象與推理能力;而到了后面研究側(cè)視圖和俯視圖的時(shí)候，速度就可以快一點(diǎn)，這種速度上的“快”，實(shí)際上就是在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的熟練程度，以讓學(xué)生形成一種更好的數(shù)學(xué)抽象直覺(jué). 從思維能力培養(yǎng)角度來(lái)看，這種從邏輯推理思維走向哲學(xué)思維的培養(yǎng)過(guò)程，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程變得更加簡(jiǎn)潔，于是數(shù)學(xué)抽象能力也就更容易上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).?

作為核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象再思考

分析上面這樣一個(gè)教學(xué)案例，尤其是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)看數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的過(guò)程，筆者以為有這樣兩點(diǎn)值得肯定：

一是數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程當(dāng)中，允許學(xué)生充分想象，允許學(xué)生抽象的結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師主要的任務(wù)是基于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的實(shí)際結(jié)果（無(wú)論對(duì)錯(cuò)），去分析學(xué)生推理、想象過(guò)程的對(duì)錯(cuò)，然后進(jìn)行相應(yīng)的強(qiáng)化（推理、猜想結(jié)果正確）或引導(dǎo)（推理、猜想結(jié)果錯(cuò)誤），由于足夠的時(shí)間與空間的賦予，學(xué)生的主觀能動(dòng)性就可以得到充分的發(fā)揮.

二是強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中的推理邏輯. 比如上面“空間幾何體的三視圖”教學(xué)中，雖然說(shuō)允許學(xué)生的推理或者猜想出錯(cuò)，但是原則上不允許邏輯的胡思亂想，只有強(qiáng)調(diào)學(xué)生在猜想與推理的過(guò)程中能夠說(shuō)出依據(jù)，學(xué)生才會(huì)重視推理過(guò)程中的邏輯，只有這樣的抽象過(guò)程才是合理的. 總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)抽象的合理性表現(xiàn)在：僅抽取事物對(duì)象量的關(guān)系和空間形式以及抽象的確定性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重貫徹這一特點(diǎn)的教學(xué)策略.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，必須建立在深刻理解的基礎(chǔ)之上，必須強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主觀能動(dòng)性與抽象過(guò)程中的邏輯性，只有這樣，數(shù)學(xué)抽象才有可能從經(jīng)驗(yàn)理解走向素養(yǎng)培育.