池紅梅

摘要：數(shù)學(xué)教育，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何解決問(wèn)題重于讓學(xué)生解決問(wèn)題，因?yàn)榍罢卟拍芙o學(xué)生真正“帶得走”、能終身受益的東西。對(duì)于怎樣引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)解”，賁友林老師執(zhí)教的《“雞兔同籠”問(wèn)題》一課給我們的啟發(fā)有：通過(guò)學(xué)習(xí)單讓學(xué)生充分地“先學(xué)”，優(yōu)先選擇“學(xué)困生”匯報(bào)，從學(xué)生作品入手讀懂學(xué)生，用連續(xù)追問(wèn)驅(qū)動(dòng)學(xué)生步步思考，關(guān)注“學(xué)優(yōu)生”的學(xué)習(xí)提升。

關(guān)鍵詞：解決問(wèn)題思想方法學(xué)生主體《“雞兔同籠”問(wèn)題》

“解”是指解決問(wèn)題，得到最終正確的結(jié)果。而“學(xué)解”是指學(xué)習(xí)如何解決問(wèn)題，即學(xué)習(xí)解決問(wèn)題的思路、策略和思想、方法等。當(dāng)下的數(shù)學(xué)教育，無(wú)論從“四基”的角度看，還是從“四能”的角度看，無(wú)論從三維目標(biāo)的角度看，還是從核心素養(yǎng)的角度看，顯然都有“學(xué)解”重于“解”。因?yàn)樽寣W(xué)生“學(xué)解”，才能給學(xué)生真正“帶得走”、能終身受益的東西，才是教育最終的目的、旨趣——一如懷特海、米山國(guó)藏所言。

那么，如何讓學(xué)生“學(xué)解”呢？筆者有幸聽(tīng)了賁友林老師執(zhí)教的《“雞兔同籠”問(wèn)題》一課，受到了不少啟發(fā)。

一、通過(guò)學(xué)習(xí)單讓學(xué)生充分地“先學(xué)”

前置學(xué)習(xí)單由于將一些學(xué)習(xí)內(nèi)容和活動(dòng)前置，既能節(jié)約課堂時(shí)間，又有利于教師了解學(xué)情，所以備受教師們的推崇。這節(jié)課，賁老師也安排了前置學(xué)習(xí)單，具體內(nèi)容如下頁(yè)圖1所示。

這份學(xué)習(xí)單的設(shè)計(jì)非常巧妙：

（一）解題之前先做選擇

基于當(dāng)下的社會(huì)和家庭教育環(huán)境，對(duì)于“雞兔同籠”這個(gè)問(wèn)題，會(huì)有一部分學(xué)生在課外提前學(xué)習(xí)過(guò)。那么，如何更好地了解學(xué)生的認(rèn)知水平？賁老師設(shè)計(jì)了關(guān)于“我會(huì)做這道題”和“我感覺(jué)我不太會(huì)做這道題”的選擇。看似只是個(gè)小細(xì)節(jié)，實(shí)則能為后面的課堂調(diào)整與推進(jìn)埋下很好的伏筆。因?yàn)樗尳處煵粌H能看到學(xué)生的解題結(jié)果，而且能想象出學(xué)生的解題過(guò)程，更能通過(guò)學(xué)生的選擇，分析出哪些學(xué)生是已經(jīng)學(xué)過(guò)的、哪些學(xué)生是從零開(kāi)始的。

（二）解題之后再做思考

完成題目后，賁老師還讓學(xué)生進(jìn)一步給出解題過(guò)程中的體會(huì)和疑問(wèn)，并思考“雞和兔會(huì)關(guān)在一個(gè)籠子里嗎？”以及“為什么要學(xué)習(xí)‘雞兔同籠問(wèn)題？”，然后再編一道類似的問(wèn)題。由此，引導(dǎo)學(xué)生在反思中積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提煉解決一類問(wèn)題的方法，并提出自己的疑問(wèn);進(jìn)一步思考問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)和模型意義;將方法和模型遷移應(yīng)用到其他問(wèn)題情境。賁老師提出的每一個(gè)問(wèn)題或要求，都指向?qū)W生的高階思維能力，指向“學(xué)解”。

二、優(yōu)先選擇“學(xué)困生”匯報(bào)

課上，賁老師特別指出：“在收上來(lái)的學(xué)習(xí)單里，有兩份是空白的，讓人感到非常遺憾。無(wú)論如何，都可以嘗試著寫(xiě)下自己的思考?！睆倪@個(gè)細(xì)節(jié)能夠看到，賁老師關(guān)注每一位學(xué)生，并且注重從情感上對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)，因?yàn)檫@是學(xué)生“學(xué)解”的基礎(chǔ)。

然后，賁老師將學(xué)習(xí)單中選擇“會(huì)做”的學(xué)生隨機(jī)編號(hào)為1—17，選擇“不太會(huì)做”的學(xué)生隨機(jī)編號(hào)為18—44。征得學(xué)生的同意后，賁老師決定先讓“不太會(huì)做”的學(xué)生來(lái)匯報(bào)自己的學(xué)習(xí)成果。而在與聽(tīng)課教師互動(dòng)的基礎(chǔ)上，賁老師選擇了29號(hào)學(xué)生。于是，賁老師將29號(hào)學(xué)生的作品投影到大屏幕上，如圖2所示。

分析數(shù)據(jù)可以看出，全班38.6%左右的學(xué)生是“會(huì)做”的，61.4%左右的學(xué)生是“不太會(huì)做”的，說(shuō)明學(xué)生總體的學(xué)習(xí)起點(diǎn)不太高。因此，賁老師更關(guān)注那些“不太會(huì)做”的學(xué)生，讓他們真學(xué)習(xí)，有變化，所以先讓他們匯報(bào)，重點(diǎn)幫助他們“學(xué)解”。

看到29號(hào)學(xué)生的作品后，筆者大吃一驚。這是一位典型的“學(xué)困生”，他對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的理解存在很大的障礙。經(jīng)過(guò)一番涂涂改改，他在學(xué)習(xí)單左上方留下了最后的答案：5×4+5+1=26。一般上公開(kāi)課的教師，都不太會(huì)選擇這樣的作品來(lái)匯報(bào)交流。然而，就是這樣的一個(gè)選擇，成了后面課堂上的最大亮點(diǎn)，讓筆者對(duì)如何引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)解”有了深刻的認(rèn)識(shí)，也體會(huì)到賁老師的用心良苦。

三、從學(xué)生作品入手讀懂學(xué)生

（教師投影出示29號(hào)學(xué)生的作品后，全班學(xué)生一片嘩然并小聲議論起來(lái)。）

師（對(duì)29號(hào)學(xué)生）×××，我想剛才大家的聲音是想提醒你下次寫(xiě)得認(rèn)真一點(diǎn)，好吧。（對(duì)全班）但是，老師在他的作品里看到他是有想法的。你看到了嗎？掌聲有請(qǐng)×××和我們分享他的想法。

生（29號(hào)學(xué)生上臺(tái)，手拿話筒）我就是想的……嗯……反正……我就是想的多少、怎么加起來(lái)可以湊成26……

師（對(duì)29號(hào)學(xué)生）大聲一點(diǎn)說(shuō)，我覺(jué)得你說(shuō)得非常好，用筆指著說(shuō)。

生（29號(hào)學(xué)生比較猶豫）我就是想的怎么湊起來(lái)可以等于26。

師（對(duì)全班）他的發(fā)言說(shuō)到了一個(gè)字——

生（全班）湊。

師（對(duì)全班）你覺(jué)得這是不是方法？（稍停）有人說(shuō)是，有人說(shuō)不是。

……

引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)解”，首先要讀懂學(xué)生的“解”。雖然29號(hào)學(xué)生的學(xué)習(xí)單比較亂，也不正確，但是賁老師仍然通過(guò)仔細(xì)分析，看到了29號(hào)學(xué)生是有一定想法的，并且一直處于不斷嘗試與調(diào)整的狀態(tài)。所以，賁老師鼓勵(lì)29號(hào)學(xué)生大膽說(shuō)出自己的想法，并且逼出了有價(jià)值的東西——作為初學(xué)者，對(duì)于“雞兔同籠”問(wèn)題，“湊”不就是很好的解題方法嗎？不就是假設(shè)策略的通俗化表達(dá)嗎？這讓暫時(shí)找不到答案的“學(xué)困生”找到了學(xué)習(xí)的信心。

四、用連續(xù)追問(wèn)驅(qū)動(dòng)學(xué)生步步思考

接下來(lái)，賁老師用一連串的追問(wèn)，引導(dǎo)29號(hào)學(xué)生對(duì)自己的錯(cuò)誤答案“5×4+5+1=26”一步步展開(kāi)思考，從而獲得正確的思考方法，并最終正確地解決問(wèn)題。在這個(gè)將近15分鐘的過(guò)程中，賁老師對(duì)29號(hào)學(xué)生（以及全班）提出了如下問(wèn)題：

1.他說(shuō)要湊成26，為什么不湊成28、24、22呢？

2.對(duì)啊，因?yàn)轭}目上說(shuō)了是26。那你接著說(shuō)你是怎么湊的？

3.嗯，你怎么會(huì)用5乘4呢？

4.這個(gè)4能解釋嗎？那個(gè)5又是什么意思呢？

5.我覺(jué)得你很好，你之前說(shuō)5是5只雞，這會(huì)兒發(fā)現(xiàn)不對(duì)，應(yīng)該是5只兔，因?yàn)?只兔乘1只兔有4條腿才有道理。乘下來(lái)是20，20是什么意思呢？

6.有5只兔，剩下的就是雞。你想一下雞應(yīng)該是多少？

7.回頭看題目，你看到腿有26條，還看到什么？你看，這兔有5個(gè)頭，那雞是多少？

8.學(xué)習(xí)就是不斷嘗試、調(diào)整我們的想法。你之前說(shuō)雞是1，你覺(jué)得哪兒不對(duì)？

9.你聽(tīng)懂同學(xué)們的意思了嗎？我們要驗(yàn)證一下，頭是9個(gè)，還要看腿是不是有26條，會(huì)算嗎？兔有多少條腿？雞有多少條腿？

10.你聽(tīng)懂這位同學(xué)的意思了嗎？我覺(jué)得他這里考慮得很好：28條腿多了，所以減少1只雞，這樣腿就夠了，可是頭卻不夠了，只剩8了?？磥?lái)這樣改還不行，那你有辦法改嗎？如果你能改，你就說(shuō)。如果實(shí)在改不了，沒(méi)關(guān)系，可以請(qǐng)同學(xué)幫忙。

11.（29號(hào)學(xué)生思考許久，嘗試性地說(shuō)，可以把兔減少1只，雞增加1只）你能把這個(gè)答案寫(xiě)下來(lái)嗎？

12.（29號(hào)學(xué)生完成板書(shū)，如圖3）這個(gè)16表示什么意思？10呢？

13.算算腿一共多少條，寫(xiě)在旁邊。現(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)了什么？

14.不能只看腿，還要看什么？

15.現(xiàn)在你可以向全班宣布，我湊出來(lái)了……對(duì)嗎？

16.他的方法是什么？

17.（教師板書(shū)“湊”）你們覺(jué)得×××同學(xué)怎么樣？

引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)解”，其次要對(duì)學(xué)生不好的“解”進(jìn)行追問(wèn)，幫助學(xué)生“撥亂反正”。賁老師的每一個(gè)追問(wèn)都包含著智慧。首先，指向意義理解。對(duì)看起來(lái)是錯(cuò)誤的算式，賁老師不斷追問(wèn)每個(gè)數(shù)字、每個(gè)運(yùn)算符號(hào)的意義，從而讓學(xué)生推翻自我，重新建構(gòu)。其次，指向?qū)W法指導(dǎo)。比如，“你怎么會(huì)用5乘4呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考自己列式的意義;“回頭看題目，你看到腿有26條，還看到什么？”引導(dǎo)學(xué)生讀取題目中的信息;“學(xué)習(xí)就是不斷嘗試、調(diào)整我們的想法。你之前說(shuō)雞是1，你覺(jué)得哪兒不對(duì)？”引導(dǎo)學(xué)生注意驗(yàn)證所得結(jié)果是否符合條件;“28條腿多了，所以減少1只雞，這樣腿就夠了，可是頭卻不夠了，只剩8了?？磥?lái)這樣改還不行，那你有辦法改嗎？”引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“湊”的精髓是嘗試、調(diào)整。這些問(wèn)題都是在教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，也就是引導(dǎo)學(xué)生一步步“學(xué)解”。這不也正符合“雞兔同籠”問(wèn)題“假設(shè)—驗(yàn)證—調(diào)整”的解題思路嗎？

此外，賁老師的問(wèn)題還具有開(kāi)放性，更多的并不是給定答案的是非、判斷問(wèn)，而是“還可以怎么思考？”“還可以怎樣改進(jìn)？”等探究、導(dǎo)向問(wèn)，可以充分激活學(xué)生的思維，使得答案的獲得不在問(wèn)題本身，而在對(duì)問(wèn)題的思考。

五、關(guān)注“學(xué)優(yōu)生”的學(xué)習(xí)提升

29號(hào)學(xué)生完成匯報(bào)后，賁老師讓“會(huì)做”的學(xué)生進(jìn)行分享。2號(hào)學(xué)生用的是“正規(guī)”的假設(shè)法：

先假設(shè)全部是雞，腿有9×2=18（條）。

然后，26-18=8（條），8÷2=4（只），9-4=5（只）。

答：兔有4只，雞有5只。

賁老師注意到，這名學(xué)生解法中的后三步缺少理由，于是要求他解釋。在解釋8÷2=4（只）時(shí)，2號(hào)學(xué)生暴露出理解不到位的情況，其他學(xué)生表示沒(méi)有聽(tīng)懂。在賁老師不停地引導(dǎo)和“逼迫”下，他才終于結(jié)合雞和兔的示意圖講解清楚了：假設(shè)全是雞時(shí)，只有18條腿，還差8條腿，于是給一些雞再添上2條腿，讓它們“變成”兔子;而只要給4只雞添上2條腿，就是26條腿了，可知兔子是4只，于是雞有5只。

可見(jiàn)，“學(xué)優(yōu)生”有時(shí)雖然能正確地“解”，但也需要“學(xué)”：說(shuō)清楚背后的“理”，充分體會(huì)解題的“法”。引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)解”，還要對(duì)學(xué)生“標(biāo)準(zhǔn)”的“解”進(jìn)行追問(wèn)，幫助學(xué)生獲得提升。

最后，需要指出的是，因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系，本節(jié)課，賁老師沒(méi)有來(lái)得及組織學(xué)生匯報(bào)交流學(xué)習(xí)單中解題之后的思考。這是一個(gè)小小的遺憾。